第22章二次根式全章教案

二次根式

教学内容：

本节课时从解决实际问题出发，通过人造地球卫星围绕地球运行的事例引入课题，概括出二次根式定义，并明确a的意义，认识二次根式的性质

教学目标

1、知识与技能：理解二次根式的定义，以及二次根式a中字母a的实际内涵

2、过程与方法．

经历“抽象出二次根式概念的过程．理解学习二次根式的意义，培养思维能力以及二次根式的概念的应用方法．

3、情感、态度与价值观．

让学生经历探究的过程、交流的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题的能力和提高数学的应用意识．

重难点、关键

1．重点：理解二次根式的概念和性质

2．难点：对二次根式a中字母a的认识·

3．关键：通过算术平方根的意义来认识二次根式中a，感受到当a是负数时，a没有意义．

教学准备

1．教师准备：实物投影仪，补充到一些现实生活中与二次根式有关的图片，事例

2．学生准备：复习平方根和算术平方根的意义.

教学过程

一、创设情境，合作交流

1．回顾交流．

（1）教师活动：提出以下问题供学生复习．（使用投影仪或小黑板）

①什么叫做有理数？什么叫做无理数？什么叫做实数？请同学们举例说明．

②什么叫做算术平方根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平方根，为什么？

学生活动：先与同桌相互讨论，再举手发言．

学生交流．回答后由教师进行完善和归纳.

（2）教师归纳：

①我们知道，正数a有两个平方根，即“a”，其中正数a的

正的平方根叫做a的算术平方根，记作a，0的平方根也叫做0的算术平方根.．

②注意：当a是正数或0（又叫做非负数）时，a表示a的算术平方根．

③负数没有平方根，因此负数算术平方根也不存在．也就是说：在a中，a必须大于或等于0，a没有意义。

2．导入新知

（1）教师活动：充分应用投影仪，将图片展示给学生，同时引入新知

（2）投影展示

课题：二次根式

图片：如课本第1页中实际的问题以及所收集的有关事例

学生活动：在教师的引导下，观察所展示的图片，思考问题，感受到抽象出无理数二次根式的概念的过程，认识到二次根式的应用价值

在师生完成上述探索之后，教师引导学生形成二次根式的概念

（2）教师归纳：我们已经遇到过如、、a这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或0，也就是说：被开方数只能是非负数，一般地式a（a≤0）叫作二次根式，即有

二．范例学习，加深理解 a≥0（a≥0）; a=a（a≥0） 2

例：x是怎样的实数时，式子x7有意义？ 教师分析：若要使得x7有意义，被开方数x7必须大于0或等于0，即x7≥0

由此得x≥7

教师板书：略

教师提问：请同学们再阅读课本第2页例题材，加深理解，然后做以下练习。

学生活动：参与教师分析和讲例，理解二次根式的涵义，懂得为什么被开方数必为非负数。

三、随堂练习，巩固提高

1、课堂演练一

（1）x是怎样的实数时，式子2x1在实数范围内有意义？

22x1在实数范围内有意义？ x（2）是怎样的实数时，式子

1

（3）x是怎样的实数时，式子2x1在实数范围内有意义？

学生活动：进行课堂练习，然后与同学交流

教师活动：请部分同学上台演示课堂练习，然后引导学生小结出解题方法，上述类型的解题材方法是从二次根式的概念出发，明确被开方数是非负数，由此列出不等式，再通过不等式来解决字母的取值范围，若二次根式在分母，还要考虑分母不为零的问题.

四、合作探究，领会新知

1、教师讲解

4是4的算术平方根，也就是说4是一个平方等于4的非负数，因此有4=4，请同学们思考2=？ 22

学生回答：由于

教师归纳：一般地，我们有 2是2的算术平方根，因此有2=2 2

a=a（a≥0） 2

课堂演练：

计算

0.3

22 57 2277 把下列各式写成平方差的形式，再分解因式

2222（1） x19 （2） a3 （3）4a7 （4）16a－1

活动关注：（1）实数意义； （2）二次根式中a=a的应用； （3）2

因式分解中公式（平方差公式）的应用

五、专题突破，解决问题

1、问题牵引

2a（1）问题：请同学们想一想，等于什么？

2aa（2）教师引导：提示学生取的一些值分别计算对应的的值，

然后再从中寻找规律，注意a的值是不受限制的 .

学生活动：在教师的引导下进行小组合作讨论，然后在全班发表自己的看法

22、师生达成共识，引入二次根式的性质：（1）当a≥0a=a；

（2）当a

知识联系：从绝对值的概念中可以得出

2

aa0|a|aa0aa0

a2=|a|，因此在以后的人简中也可以进行知识过渡，将二次根2a式问题转化到|a|的问题上来，这种数学化归的思想在解题中常常遇见，根式化简中经常会碰到

六、随堂练习，巩固深化

1、课堂演练：课本P3练习第1（3）（4）、3题

七、课堂总结，提高认识

本节课先给了二次根式的定义，然后讨论简单的二次根式中字母取值范围问题，接下来又从算术平方根的意义出发，学习了二次根式的简单性质：一是

2a（a≥0）是一个非负数； 二是a=a（a≥0）； 2

三是a=a（a≥0），a2=—a（a

八、布置作业，系统跃进

1、课本P4习题材22.1 1、2、3、4

22.2.1二次根式的乘法

教学内容

本节由具体的例子引出二次根式的乘法法则，又由二次根式的乘法法则得出积的算术平方根,围绕着乘法法则和积的算术平方根的性质展开

教学目标

知识与技能

会进行简单的二次根式的简单的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进二次根式的简写运算。

过程与方法

经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法

情感态度价值观

培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质

重点难点

重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，会利用积的算术平方根的性质化简二次根式

难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用

关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序

地展开，由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交替，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识中脉络清楚，条理分明。

教学准备

教师准备：投影仪、制作投影片

学生准备：复习二次根式定义、性质、预习本节课内容

教学过程

回顾交流，导入新知

课堂复习

请同学们完成下列问题

填空

（1）4= （2）49=

（3）25= （4）25=

（5）= （6）36= 参考上述结果用“>”“

49 49 25 25

36 36

学生独立完居上述复习题材，一起讨论找出规律

教师在学生讨论的基础上进行归纳：从上述的练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是把这两个二次根式的被开方相乘，根指数不变。

师生共识：二次根式的乘法法则aab（a≥0，b≥0） 引导关注：同学们应该注意，a≥0，b≥0 这个条件，若没有这个条件，上述法则不成立，因为当a0,b0时，虽然ab有意义，而a、在实数范围内却没有意义，乘法法则显然不能成立。

范例学习，提高认知

例1：计算

（1）7 （2）42

教师活动：板书例1，引导学生参与例1的学习，理解二次根式乘法法则，在讲解中应强调（1）的运算方法，如（2）应将42，然后再运用法则，即：85，这样较为简单； （2）二次根式运算结果，应该尽量化简，如（2）就不要写成850，而不要化成302 教师板书：答案

三．随堂练习，理解新知

1．计算下列各式

（1） （2）62 （3）

2．学生活动：独立完成上述练习，再与同伴交流

教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再强调乘法公式的计算方法：（1）被开方数相乘，根指数不变； （2）最后结果要检验被开方数中是否还能开出来的因数，以达到最简的要求。

四．继续探究，拓展延伸

1．例2：计算

（1）3a2b （2）

思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简。

教师分析：（1）中根号外因数要相乘326，被开方数相乘5a10b50ab，这样就有650ab，再把化成522，把5开出来有：302ab（2）中出现101，关于101的意义，大家在整式乘除一章中学x1xy62723 

121xyxy10过，即=10，这样（2）可用乘法法则化成

2a评析：这里补充例2，其意图是对例1的拓展，这里用到=|a|,

当然，本章没有特殊说明，字母均表示正数。

课堂演练

（1xx （2）

学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题材，进行巩固 教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题材，再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用.

五．逆向思维，专题讨论 乘法法则：aab（a≥0，b≥0） 教师讲述：请同学们观察aab，由于这是一个等到式，因此也可以这样写法，aba（a≥0，b≥0），这里运用了数学中的逆向思维，由abab可以得出积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，这里必须同样a≥0，b≥0.

学生活动：在教师的引导下，理解积的算术平方根的性质，并且联系二次根式的乘法法则进行比较

评析：在讲述本节第二部分积的算术平方根性质时，要注意与第一部分联系，一是化简与运算的关系，二是积的算术平方根的性质.

六．范例学习、加深理解

2xy1bax （3ab

1．例3：化简

（1）思路：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对

2225，然后再运用性质解题. 2000于（2）应先分解因数，即：

教师讲例：（1）2581=2559=45

222000251025=205 （2）

学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用

方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，上述例题材用到a2a（a≥0）

例4：化简

（1） （2）

思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，

22ay会遇到这个式子，请注意这个式子不能再开方了 9x2y2a4a2y2

师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，请一位学生上讲台来讲解例4

学生解答：略

评析：由例4可以看出，在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可能将能开得尽方的因式和因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来。

七．随堂练习，巩固新知

1．课本P7做一做

2．探究时空

1）化简

222223412 （1） （2） （3）12x

（4） ab2c12 （5） x6x4y2

2）一个长方形的长a6cm，宽bcm，求这个长方形的面积

3）设直角三角形的两条直角边分别是

八．课堂总结，提高认识

本节主要学习了二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简和运算，这里化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式和分数的性况，这里提出公式a、

a,b,斜边是c，如果a4，c12，求b

b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然还要注意产生字母只表示正数的片面认识

九、布置作业

1．课本P9练习22.2第1、2（1）～（3）3题

22.2.2 二次根式的除法

教学内容

本小节仍然是从实例引出二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质，然后学习它们的运用方法.

教学目标

知识与技能

会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算,会运用商的算术平方根的性质化简二次根式.

过程与方法

经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程,掌握其应用方法.

情感、态度、价值观

培养学生分析问题和逆向思维的能力,体会合作交流的乐趣,感悟数学的应用价值

重点:利用二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质进行简单运算和化简

难点:二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用

关键:由特殊到一般,通过类比,归纳,结合练习,让学生在认识过程中脉络清楚,条理分明

教学过程

回顾交流,优化导入

填空

4（1）49 ; 1625 ;

10036 ; （2）25（3）36

参考上述结果,用“>”、“>”、“=”填空

4164 9 25 25

100

36

2、利用计算器计算，并用“>”、“>”、“=”填空

2

（1）`____222____3 （2）55 588____6 （4）22 （3）6

学生活动：通过完成上述问题，从中寻找其中的规律

教师引导：从上面的练习中可以得到这样的结论，那就是两个二次根式相除，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相除，根指数不变.

a____a

b（a≥0，b>0） 引入法则:二次根式除法法则教师说明:同学们应该注意a0,b0这个条件,如果没有这个条

aa

件,上述法则不能成立,因为a0,b0时,虽然b有意义,但是都无意义了,和乘法法则不同的.这里的b是不可以取0的,这是因为分母不能为0.

二、范例学习，领会新知

例1、计算

72

（1） 6 （2）

教师活动：引导学生参与例1的学习，理解二次根式的除法法则 思路点拨：例1中的（2）含有÷号，运算过程中要将除法转化成乘法即：

教师板书答案

学生活动：参与例题的解答，从中领悟除法法则的运用方法

三．随堂练习，理解新知

1．（1）计算下列各式 1335 37 5421126 11136326=2

（2）课本P9练习第2（3）（4）题

学生活动：在练习中加深对法则的理解，在交流中掌握其应用方法

拓展：二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法进行，如计算

23，先将23写成

2

3，然后把分子、，

化去分母中的根号，就得到

2332 26

这样就完成了除法运算，把分母中的根号化去，我们称为分母有理化

教师活动：讲解上述问题，引入分母有理化概念，引导学生完成下面训练.

课堂演练,化简

422a

（1）3 （2）ab

解:略

四:逆向思维,情境合一

a

除法法则:导入新知:请同学观察上面的式子,由于这是一个等式,因式可以a

（a≥0，b>0）,通过逆向思考,我们得到了商将b

的算术平方根的性质,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,a,b满足 （a≥0，b>0）

学生活动:理解商的算术平方根的性质,并与除法法则进行比较 评析:在讲述本节第二部分的算术平方根性质,要注意与第一部分联系,了解其作用.一是化简与运算的关系,二是商的算术平方根的性质

五.范例学习,加深理解

1.例2 化简

25a41572（149 （2100 （39b aab写成baab（a≥0，b>0）

思路点拨:例2是商的算术平方根的应用,化简时,注意运用abab进行转化,其中b不能省略.

15644919648497 a2.教师讲例板书 （1）77 （2）100

b（3）

评析:化简二次根式在本节中只限于被开方数的分母可以完全开得尽方的情况,如果被开方数是带分数,在运算时,一般先化成假分数

师生活动:教师引导学生共同参与例2的解答,形成互动交流的良好氛围.

六、随堂练习

1．课本P9练习第1（3）（4）、3题 2．探究时空

25a4

2

9b

25a4

2

5a23b

9x

x6已知

x25x49x

1x

x6，且x为偶数，求x21的值

a

b才能成立.

a

b思路点拨：只有在（a≥0，b>0）时，式子

七、课堂总结，提高认识

本节内容是以二次根式的除法法则以及商的算术平方根的性质为主线展开的，主要是进行简单的二次根式的化简与计算，并从中引出简单的分母有理化内容，本节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中分母可以完全开得尽方的情况，分母有开不尽方的情况在下节介绍.

八、布置作业，专项突破 课本P9习题22.2第2（4）（5）（6）、4题

22．2．3 最简二次根式

教学内容

本节课主要学习最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法.

教学目标

1．知识与技能

理解最简二次根式的概念，并且会运用它进行二次根式的化简 2．过程与方法

经历计算或化简的过程，提炼出最简二次根式的概念，学会检验最简二次根式的方法

3．情感、态度、价值观

培养学生严谨的数学思想，合作交流的意识，体会数学在实际生活中的应用价值

重点：

掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法

难点：判断二次根式是否是最简二次根式

关键：运用二次根式的性质以及法则进行推断，注意检验条件 教学准备

教师准备：收集有关本节课内容的题材目充实到教学中去 学生准备：复习上一节课内容，理解其应用方法 教学过程

回顾交流，复习导入

2

827

32

1．计算：（1 （227 （3）

学生活动：计算上述三个题目，并与同学交流

教师活动：操作投影仪，巡视，几分钟后请同学上台演示 2．合作探究

1

问题牵引：如果把31.732，能不能求出3、27的似值呢？

思路：

1

先试着把3、27化简

1133332733332



3

;3

1

化简后再将31.732代入计算就可以求出3、27的近似值了.

教师活动:使用投影仪先将”问题牵引”显示,而后先让学生化简

1

3、27,然后再延伸到近似值问题,从而引导学生得出这样的一个

结论:遇到一个二次根式,将它化简会给解决问题带来方便.

3.导入新知

最简二次根式的条件(投影显示) 被开方数的因数是整数,因式是整式 被开方数中不含能开得尽方的因数因式

学生活动:通过引例,认清判断最简二次根式的条件,明确今后二次根式的运算都必须把它化成最简二次根式

二.范例学习,加深理解

例1:把下列各式化成最简二次根式

5

x2y4x4y4x2y212（1） （2） （3

3

教师活动:在讲例中让学生明确怎样的二次根式才是最简二次根

式,学会检验结果是否是最简二次根式.

学生活动:参与例1的学习,与教师一起进行思维互动

思路点拨: （1）关键是分母12是如何开出来,实际上可利用分

535

32

2

数基本性质将被开方数12分子、分母都乘以3，得32，从而得

312442

xyxy因式分解，即62出；（2）将22x2y22y，得到22x2y22y，从而有2xy2y

.

三．随堂练习，巩固深化

1．把下列各式化成最简二次根式

32

2ab （1 （2）（3）

.5

20a2b4

（4）3 （5）c （6）

x2

18x2

答案：略

2．在Rt△ABC中，∠C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长 答案：6.5cm

媒体使用：投影显示随堂练习

评析：当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把它化成分母中不含二次根式样的式子，也就是把它的分母有理化

四、辨析理解，讨论交流

1．例题：下列计算是否正确？

11111142

2 （14923 （24923 （32x2y2xy5225

xyx2y299（4） （5）

学生讨论：上述（1）～（4）都不正确，（1）、（2）是犯了运算

11193

44化为2

2，2，顺序错误；（3）2实际上应先将2然后再化简为2；

4

（4）

932，因此2

5293

教师活动：引导学生辨析问题，加深对化简的理解 2．探研时空

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式

12112



112121







1

21



21

2121

32

2

1



2



2

32

32

同理可得：4=43„„

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

111120021

3242002200121



思路点拨：由题意可以得出，本题所给的是一组分母有理化的式

子，所以分母有理化就可以达到化简的目的.

2002120021 20021 2001

师生互动：在教师的引导下，学生充分应用分数基本性质，将分母有理化.

五、课堂总结、提高认识

1．本节课内容较为简单，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法，明确怎样的二次根式才能称得上是最简二次根式，并且知道遇到二次根式，一般应把它先化简，这 会给解决问题带来方便.

2．将一个二次根式化简成最简二次根式只有以下两种： （1）如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.

（2）如果被开方数整式和整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开得尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简

六．布置作业，专题突破

第三课时作业优化设计

42

1．化简xx= x0

解：原式21242002200120021

2．

a

a1

a2化简二次根式后的结果为

1122343．计算

x24x4x2时，求的值为

|2x|4．当

y

(y0)是二次根式，那么，化为最简二次根式是x5．如果（ ）

x

A y6．把

(y0)

xy

B xy(y0) C

y

(y0)

D 以上都不对

a1

1

a1a1移入根号内得（ ）

A a1 B a C a1 D a

7．在下列各式中，化简正确的是（ ）

5

33A B

11

222

42abab D C x3x2xx1

32

8．化简



的结果是（ ）

211

22

A 36 B 12 C 2 D 以上答案

都不对

22.3.1 二次根式的加减法（一）

教学内容

本节首先通过比较简单的二次根式相加的实例，得出二次根式加减的方法，并从中归纳出同类二次根式的概念，然后在此基础上，通过一组巩固学生对加减法运算方法的掌握

教学目标 知识与技能

知道什么是同类二次根式，会进行二次根式的加减运算 2．过程与方法

经历探索二次根式加减的过程，掌握其计算方法 3．情感、态度、价值观

认识数的拓展过程，感受事物的演绎过程，培养乐学、会学的思想

重点：二次根式的加减法

难点：如何进行二次根式的加减法

关键：运算中，首要任务是将式中的各项进行化简，而且必须最简，然后合并同类根式

教学准备

教师准备：收集与本节课有关的事例加以充实

学生准备：复习前一节课内容，对最简二次根式要有一个明确的认识

教学过程

回顾交流，运算导入 敢于尝试

计算：4232

学生活动：运用分配率可计算出423243272 （2） 计算：27

学生活动：在教师的引导下，先将与27分别化简

22

2323,273333，然后再用上一个事例结合

的方法。

教师活动：引导学生完成上述两个计算，并从中归纳出同类二次根式的概念

导入概念：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式

导入方法：（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配率进行加减运算，（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再考虑进行加减运算.

范例学习，加深理解

例：下列各式中，哪些是同类二次根式？

思路点拨：首先将上述二次根式中未化简的二次根式化成最简，然后再进行判断.

2112axy2,6b502732b是同类二次根式.

2,75,

112a

,,,,8xy2,6b502732b

教师活动：板书例1，讲解例1，在讲解中教会学生应用方法，

然后进行概括； 同类二次根式的判断关键是能熟练准确地化二次根

式为最简二次根式.

学生活动：参与例1的解题，掌握别的解题方法 2．迁移探究

教师归纳：二次根式相加减，第一步是把各个二次根式化成最简二次根式，第二步就是合并同类二次根式，学习中可以对整式的加减进行.

3．阅读理解

教学方略：在教师的引导下由学生阅读课本P10例1，课本P11思考课本例2，采取分四人小组的讨论方法，交流心得，教师巡视各小组，并请一些学生讲解课本例1和例2，归纳计算方法。

随堂练习，加深理解

课本P12练习第1、2、3（1）（2）

探研时空：（1）

24

1

34827

2x19x62x

4x （2）3

（

2

2

3）

x

y2

已知：

22

4xy4x6y100,求xxy3



思路点拨：第（3）题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得2x1y3

的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值.

教师活动：分小组合作学习，交流自己的做法，并踊跃上台演示 解：略

课堂总结，提高认识

本节课从研究、解决问题的实际需要出发，得出一个新概念——同类二次根式，在所给出的二次根式中，哪些是同类二次根式，能熟练准确地化二次根式为最简二次根式，对于二次根式的加减首先是化简，在化简之后，就是类似整式加减的运算了，整式实际就是去括号与合并同类项，二次根式加减也是如此，注意加法运算律仍然适用，应注意：

2

2

21yx的值5xxx

1

x，y3

0，即2，其次，根据二次根式

该化简的没有化简，如结果中有不该合并却合并了，如23

五、布置作业、专题突破

2

12；（2）化简得不正确；（3）

P12习题22.3第1、2、4

第一课时作业优化设计 计算：3 在

122

75aa3a2,3.2,2

33a

5x3x7x9

计算二次根式

1

，与3a是同类二次根式的有8 y的结果是

2

2

以下二次根式①;②2;③3;④27中，与是同类二次

根式的是（ ）

A ①和② B ②和③ C ①和④ D ③和④

1

71

3336;75、下列各式：① ②；③222；24

223④其中错误的有（ ）

A 3个 B 2个 C 1个 D 0个

414

352.236,求45555的值，6．已知（结果精确

到0.01）

7．先化简，再求值

y3x326x,其中x，y27xy4xxyx4y2

8．求证：

22.3.2 二次根式的加减法（二） 教学内容：

利用二次根式的概念，性质解决实际问题 教学目标 知识与技能

会运用二次根式的概念、性质、法则解决实际问题 过程与方法

经历探究二次根式的应用过程，掌握其应用方法 情感、态度与价值观

感受数学中的数感，体验过程性学习中的知识延伸和变化 重点：二次根式的概念、性质、法则的运用

难点：合理应用二次根式概念、性质、法则解决实际问题

x是

52x3x3x13是方程0的根2236

关键：正确地进行二次根式的化简 教学准备

教师准备：投影仪，补充资料制作成投影片 学生准备：复习上一节课内容 教学过程

回顾知识，复习检测 课堂小测 计算：（1）

3489

1

33；

（2）4820()；

2x19x62x

4x （3）3

答案：（1）153;(2)14;(3)3x

复习引入

教师讲述：上节课，我们对二次根式的加减进行了研究，可以归纳出解题方法：第一步，先把二次根式化成最简二次根式；第二步，再把被开方数相同的二次根式进行合并.

本节课要学习实际应用问题.

学生活动：进行自我检测，而且回顾上一节课内容，并且踊跃发言

范例学习，拓展新知

如图22.3-1所示的Rt△ABC中，∠C=90，点P从点B开始沿BA边以每秒1厘米的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以每秒2厘米的速度向点C移动，请同学们探究：几秒后△PDQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

思路点拨：对这类问题，关键是将“动”转动成“定”，可设x秒钟后，△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值

教师活动：操作投影仪，显示例1，然后引导学生解决例1 学生活动：在教师引导下，弄清题意，解答例1 解：设x秒钟后△PBQ的面积为35平方厘米 则有PB

x，，B2x

1

x2x352

x22x35x235

依题意有：xPQPB2BQ2

x24x25x253557

所以秒钟后△PBQ的面积为35平方厘米

答：略

2．例2：要焊接如图22.3-2所示的钢架，大约需要多少钢材？（精确到0.1m）

思路点拨：要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材这个问题中，首先要明白此框架是由AB、BC、BD、AC所组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.

教师活动：操作投影仪，显示例2，然后引导学生分析例2 学生活动：思考例2中的问题，与同伴交流，弄清本题的解题工具是勾股定理、解题方法是利用二次根式化简

学生板演：

解：由勾股定理得

AB

AD2BD24222202BCBD2CD222125所需要的钢材长度为：

ABBCACBD252

3732.247

13.7(m)

答：焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材 评析：本题是勾股定理与二次根式的综合运用. 三、随堂练习，加深理解

1．设三角形三边是a、、b、c周长是C （1）如果a7，b472，c298，求C

（2）如果a40m，，bm，，c9m，求b

2．如图22.3-3在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，E在AB上，DE=AE=EB=a，求平行四边形ABCD的周长C.

3．探究时空 若最简根式

2a

4a3b与根式2ab2b36b2不

是

最，首先

简

二次

将它化简成|b|2ab6，再由同类二次根式的定义得3ab2，2ab64a3b，解出a1，b1

四、课堂总结，提高认识

本节课主要掌握二次根式概念，性质，法则的运用，从实际问题出来，来认清应用的本质，学会列式和计算.

五、布置作业，专题突破 课时作业优化设计

第二课时作业优化设计

1．张村有一个长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽是2倍，它的面积是1600㎡，鱼塘的宽是 m

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周期性长是 .（结果用二次根式）

3．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长度应为（结果用最简二次根式表示）

A 52 B C 2 5

5．小刚想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm长方形木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线上又是钉上了一根木条，木条的长应为（结果用最简二次根式表示）

A 13cm B cm C 10cm D

5cm

22

3m22与n4m210

5．若最简二次根式3是同类二次根式，求m、

n的值

22

6．同学们，我们过去曾经学过完全平方公式a2abb，你一定熟练掌握了，今天又是学习了二次根式，那么所有的正数（包括0），都可以看作是一个数的平方，如

你知道是谁的二次根式呢？下面 我们来观察：

212122221322

2

反之，322222121 21

3

32

，5



2

2

2

2



322

21

32221



2

请你阅读上面事例，解答下面的算式

（1322 （242 （3） 4n

（2）a2mn，则m、n与a、b的关系是什么？说明理由

2．迁移拓展

教师提问：如果把下面的x，y，z改写成二次根式呢？以上的运算律是否仍然成立？学生回答：仍然成立

二、范例学习，加深理解 1．例1：计算

6 46222 （1）（2）

思路点拨：例1是运用运算律进行二次根式的加减法和乘法

教师讲例：（1）先运用分配律将式子变为33，然后

再运用乘法和加法运算求得+24322.（2）类似于第（1）题.

学生活动：参与教师讲例，从事例中小结计算方法 2．例2：计算

思路点拨：例2借助了整式乘法公式，进行二次根式的和与差的乘法运算

师生活动：在教师的指导下，学生完成例2，采取的方法是：先让学生练习，然后有代表性地请部分学生上台讲例，教师最后进行纠正或总结.

随堂练习

课本P12练习第4题 补充练习

865327 （2） （1）

77

（1）5635 （2）

565

223

2

（3）2332232 （4）45







(5)2ax5bx2ax5



评析：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们称这个两个代数式互为有理化因式，如

by



2

32与232为互为有理化因式，（注意：这个概念也可以不



介绍）

应用拓展，解决问题

x1x

思路点拨：由于x1xx1x1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得到结果即可

答案：4x2

教师活动：操作投影仪，讲例

学生活动：参与教师讲例，学会化简方法

评析：分母有理化的问题，实际上也就是二次根式除法运算与混合运算的综合练习，在进行二次根式的混合运算时，也有一个与分式运算相比较的问题，有时加上因式分解、约分等技巧，可以大大简化计算过程，这是要灵活运用的.

2．课堂演练

1

2

例3：化简x1x



x1xx1x

1b1

3 （1） （2） 3 （3） 1 （4）2

评析：在分母有理化时，有时也可以利用分解因式的方法，先约分，如（3）题

课堂总结，提高认识

本节课主要是对数的运算进行扩充，使之应用于二次根式混合运算之中，如整式中的单项式乘以单项式，多项式乘以多项式等都可以适用于二次根式运算.本节课还被充学习了分母有理化问题，主要是拓展知识

布置作业，专题突破

课本P12习题22.3第3（1）（2）、5题 课时作业优化设计

第三课时作业优化设计



1

122

的计算结果是 （用最简根式表示） 1．

2

2．123122式表示）

31的计算是 （用最简二次根

2

2

x21，则x2x1 3．若

22

4．已知a322322，则abab

5．若2x1y30，则化简4xxy2y等于（ ）

2

A 2 B 22 C 2 D 1

316

22

2的结果是（ ） 6．化简

9972222 A B C 2 D 72

7．计算

1322 （2）4773 （1）

2



abba （4）（3）

2

xy

2

xy



2

复习与小结

复习内容

本节课主要是对二次根式进行系统复习，巩固所学知识，提升应用方法

复习目标 知识与技能

会理解二次根式的意义，会简化二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算.

过程与方法

经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法 情感、态度与价值观

培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神 重点：二次根式的化简以及运算

难点：二次根式的性质、法则的正确使用

关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法，体会二次根式的混合运算的算法

复习准备

教师准备：投影仪、收集有关资料 学生准备：写一份本单元知识结构图 复习过程

创设情境，回顾交流

教学方略：将学生分成四人小组，交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结

师生共识：

2a|a|；aaa二次根式：(≥0)的式子：



2

a（a≥0）

运算法则

加减法首先要化简二次根式，但二次根式的被开方数不含分母，不含能开得尽的因数，然后合并被开方数相同的二次根式

乘法：abab（a≥0，b≥0）

aa

b（a≥0，b>0） 除法：b

注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等

式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式

二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减，对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并

注意：二次根式运用算结果应尽可能化简 范例学习，加深理解

1．例1：下列各式中，正确的是（ ）

A 4 B 255 C 273 D

272

27

答案C

教师评析：A错，等号左边表示的是算术平方根，右边却是正负两个值； B错，等号左边表示的是算术平方根，右边应是5； C对，－27的立方根只有一个实数－3；D错，任何一个非负数的算术平方

22

2727根是非负数，表示的是的算术平方根，结果应该是27，

此类利用平方根、算术平方根、立方根的定义及符号含义来判断题目，

常常用到

2．例2：计算

48

32

23



2

答案：125

教师评析：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，使运算过程简便，此题利用根式乘法将32也能算出结果，但这样计算量较大，不如将各根式化简后再乘方便，还要特别注意不要出现23

2

2

2

此类常见的错误，另外，根式的分数必须写成假分数或真分数， 不

171

2不能写成8222能写成带分数，例如.

习题精练，应用知识

课堂演练

4

2

1．当x 时，xx有意义

2．化简3．已知

a

1

a= ，2x



2



a0b，化简

ba

2ab

1



1

4、分母有理化3aa ，xy

32

263 5．比较大小：32 4

xy



xy





6．化简

7．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A x B

x29 C

x

9 D

x92

8．下列各组的两个式中，x的取值范围相同的是（ ）

x1x1

与

x2 A x1与|x1| B x2

32

x1与x1x1与x1

C D

2

9．计算：



221

4

1

2

2

2

231bab3a3b

23a 10．计算：b

11．已知x3，y48，化简并求值：

xy

12

yx

xy

x2y2xy

2xyxyyxx2y2

2xy

．

x、、都是实数，且|2xy1|2x2y40，那么

2xy2x

y

等于多少呢？

四、布置作业，专题突破

1．课本P14复习题第1（1）（2）（3）（5）（7）（9）、2、3、4、5题

课时作业优化设计

x1有意义的x的取值范围是（ ） 1．使

A 1≤x≤3 B 1

2xx|等于 （ ） x02.若则|

x

1

A 0 B -2x C 2x D 0或2x

3

a0，b0则ab化简得（ ） 3．若

A aab B aab C ab D aab

y

1

4．

1y2

m，则的结果为

yy

（ ）

22

A m2 B m2 C m2 D m2

5．若2x1的平方根是5,则4x1

3x

6．x 时，式子|x|4有意义.

7．若

xy0，且x2y2xyx成立的条件是

2

2

11

0x1，则x4x4

xx8．若等于

9．计算 （1）



3120653

（2）

13a4

27a3a23aa3a33

10．已知x、y是实数，且

y

x299x22

,求5x6y的值

x3