平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程
粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
一.平稳随机过程
1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n和任意t1
fX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)
=fX(x1,x2,...,xn;t1+Δt,t2+Δt,...,tn+Δt)则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数RX(t1,t2)=
CX(t1,t2∫∫xx⋅f)=∫∫(x−m121
2XX(x1,x2;τ)dx1dx=RX(τ)2)(x2−mX)fX(x1,x2;τ)dx1dx22=CX(τ)=RX(τ)−mX2CX(0)=RX(0)−mX=σX=D[X(t)]
综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间
进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数RX(t1,t2)=
CX(t1,t2∫∫xx⋅f)=∫∫(x−m121
2XX(x1,x2;τ)dx1dx=RX(τ)2)(x2−mX)fX(x1,x2;τ)dx1dx22=CX(τ)=RX(τ)−mX2CX(0)=RX(0)−mX=σX=D[X(t)]
综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。
a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间
进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。
例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。
b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。
因此，工程中平稳过程的定义如下：
c)：一般在工程中，通常只在的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与有关的问题。
二、宽平稳过程
1、定义2E[X(t)]
E[X(t)]=mx←常数
Rx(t1,t2)=Rx(τ) ←只与时间间隔(τ=t2-t1)有关
则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。
可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。
对于随机过程X(t)=αcos(ωot+ϕ)而言，当ϕ在(0，2 π)或(-π，π) 上均匀分布时，X( t )是平稳的。
当ϕ在(0，π)上或ϕ在(0，π/2) 上均匀分布时，X(t) 是非平稳过程。
因为当ϕ在(0，π)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2 α/ π)sin ωot≠常数当ϕ在(0,π/2) 上均匀分布时，E[X(t)]=2 α/ π(sin ωot-cosωot) ≠常数τ