必修五解三角形

纳雍县第四中学 高二数学◆必修5◆导学案 编写：何伟 校审：何伟

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比

相等，即 a b c

． ==

CB 及∠B ，使边AC 绕着sin A sin B sin C 顶点C 转动． 试试：

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎（1）在∆ABC 中，一定成立的等式是（ ）． 样的数量关系？ A ．a sin A =b sin B B . a cos A =b cos B C . a sin B =b sin A D . a cos B =b cos A （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则 ∠B 等于 ．

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大

[理解定理]

而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的

示出来？

正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数

k 使a =k sin A ，c =k sin C ；

a b c （2）等价于，==

sin A sin B sin C 二、新课导学

c b a c ※ 学习探究 ，． ==sin C sin B sin A sin C 探究1：在初中，我们已学

（3）正弦定理的基本作用为： 过如何解直角三角形，下面

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，就首先来探讨直角三角形

b sin A 中，角与边的等式关系. 如如a =；b =． sin B 图，在Rt ∆ABC 中，设

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以BC =a ，AC =b ，AB =c ，

求其他角的正弦值， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

a a b c sin 有=sin A ，=sin B ，又sin C =1=， 如 sin A = B ； sin C = b c c c

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它a b c

从而在直角三角形ABC 中，． 的边和角的过程叫作解三角形． ==

sin A sin B sin C

※ 典型例题(

a =42cm ，探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否例1. 在∆ABC 中，B =

60，

已知A =45，

仍然成立？ 解三角形．

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是

CD ，根据任意角三角函数的定义，

a b

有CD =a sin B =b sin A ，则， =

sin A sin B

c b

同理可得， =

sin C sin B

a b c

从而． == sin A sin B sin C

§1.1.1 正弦定理

◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

变式：在∆ABC 中，已知B =45，C =60，a =12cm ，解三角形．

例2.

在∆ABC 中，c A =45, a =2, 求b 和B , C ．

变式

：在∆ABC 中，b =B =60, c =1, 求a 和A , C ．

三、总结提升 ※ 学习小结

a b c

1. 正弦定理： ==

sin A sin B sin C

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

a b c

===2R ，其中2R 为外接圆直径. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

cos A b

1. 在∆ABC 中，若. =，则∆ABC 是（ ）

cos B a

A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1

∶4 B ．1∶1∶2

C ．1∶1 D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A >B B. A

C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆

ABC 中，sin A :sin B :sin C =1:2:3，则a :b :c

5. 已知∆ABC 中，∠A =60︒，a =

a +b +c

= ．

sin A +sin B +sin C 1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1) ∶2k (k ≠0) ，求实数k 的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

2

◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

变式：在∆ABC 中，若a 2=b 2+c 2+bc ，求角A ．

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展 在△ABC 中，

若a 2+b 2=c 2，则角C 是直角； 若a 2+b 2

222是锐角．

※ 当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分： 1. 已知a

c ＝2，B ＝150°，则边

b 的长为（ ）.

A. B.

C.

D. 2.

已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.

A ．60 B ．

75

C ．120 D ．150 3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、

x ，则x 的取值范围是（ ）.

A

x B

x ＜5 C ． 2＜x D ＜x ＜5

4. 在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB －AC |＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足 b 2+a 2-c 2=ab ，则∠C

等于． 1. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝

13

，求14

最大角的余弦值．

B B ⋅C 2. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，求A

的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）

.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

4

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2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

已知边a,b 和∠A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用 定理．

复习

2：在△ABC 中，已知 A ＝

CH=bsinA

π

，a ＝b 6

＝

二、新课导学 ※ 学习探究

探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.

π

，a ＝25，b ＝

6

π

② A ＝，

a b ＝

6

π

③ A ＝，a ＝50，b ＝6

① A ＝

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．

试试：

1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？

※ 典型例题

b =100，∠A =45︒，例1. 在∆ABC 中，已知a =80，

试判断此三角形的解的情况．

1

变式：在∆ABC 中，若a =1，c =，∠C =40︒，

2

则符合题意的b 的值有_____个．

例2. 在∆ABC 中，A =60︒，b =1，c =2，求

◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

a +b +c

的值．

sin A +sin B +sin C

变式：在∆ABC 中，若a =55，b =16，

且1

C ． a b s i n C =23

2

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展 在∆ABC 中，已知a , b , A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a >b 才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时，

如果a ≥b ，那么只有一解；

如果a b sin A ，则有两解； （2）若a =b sin A ，则只有一解；

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的

sin A 2a +b

对角，且的值=（ ）. =，则

sin B 3b 1245A. B. C. D.

3333

2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.

A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.

A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定

4. 在△ABC 中，sin A :sinB :sinC ＝4:5:6，则cos B ＝ ．

5. 已知△ABC 中，b cos C =c cos B ，试判断△ABC 的形状

． 1. 在∆ABC 中，a =xcm ，b =2cm ，∠B =45︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．

2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足1a 2+b 2-c 2

，求角C ． ab sin C =

24

6

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再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角， 应用正弦定理算出AB 边.

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关测量距离的实际问题

复习1：在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋

b ＝2，

c ＝A 为 新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.

例2. 如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），

sin B +sin C

复习2：在△ABC 中，sin A ＝，判断三设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.

cos B +cos C

角形的形状.

分析：这是例1的变式题，研究的

是两个 的点之间的距离

测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要

确定C 、D 两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与 一边既可求出另两边的方法，分别求出AC 和BC ， 再利用余弦定理可以计算出AB 的距离. 二、新课导学 ※ 典型例题 例1. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点 之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边 选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，

∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).

提问1：∆ABC 中，根据已知的边和对应角，运用 哪个定理比较适当？ 变式：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得

∠BCA =60°，∠ACD

=30

°，∠CDB =45°，∠BDA

=60°.

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个 不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，

§1.2应用举例—①测量距离

◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

练：两灯塔A 、B

km ，灯塔A 在观察站C 观察站C 南偏东60°，

三、总结提升 ※ 学习小结

1. （1意图

（2斜三角形的数学模型；

（3（4从而得出实际问题的解. 2．基线的选取：

B 在A 的正东（ ）.

B ．1小时 D ．2小时 2-b 2)sin(A +B ) ， ）.

B. 直角三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

b =6，i s A C =120，4，则n

的速度向东航行，船在A 处60，行驶４h 后，船到15，这时船与灯． 但不能到达，在岸边选并测得∠ACB ＝75°，＝30°，∠ADB ＝45°，A 、A 、B 间的距离. C 与A 相距B 与A 相距. 船由A 向正北方向航行60︒方向. 这时灯塔 ※ 自我评价 A. 很好 B. 较好 ※ 当堂检测（时量：51. 小，用锐角45︒面，P 半径等于（ ）. A ．5cm B ．

C ．1) cm

D ．6cm

2. 台风中心从A 地以

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在∆ACD 中，可测得角 ，线段 ，又有α 故可求得AC

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2. 测量中的有关名称.

cos A b 5

复习1：在∆ABC 中，==，则∆ABC 的

cos B a 3

形状是怎样？ ※ 典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A

的俯角α=54︒40'，在塔底C 处测得A 处的俯角

复习2：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为

∠A 、∠B 、

β=50︒1'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ，求出

∠C 的对边，若a :b :c A:B:C的值.

山高CD (精确到1 m )

二、新课导学 ※ 学习探究 新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平转角 ；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平

线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称

为俯角. 探究：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为 建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的

方法.

分析：选择基线HG ，使H 、G 、B 三点共线，

要求AB ，先求AE

在∆ACE 中，可测得角 ，关键求AC

§1.2应用举例—②测量高度

10

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能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决

一些有关计算角度的实际问题.

π

复习1

：在△ABC 中，已知c =2，C =，且

3

1 ab sin C a ，b .

2

例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里 的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10

海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14

海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该

复习2：设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私

船？ a

b ，c ，且A =60，c =3，求的值.

c

二、新课导学 ※ 典型例题

︒

例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75的 方向航行67.5 n mile后到达海岛B ，然后从B 出发，

沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.

如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎 样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到 0.1︒，距离精确到0.01n mile)

分析：

首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边， 再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .

§1.2应用举例—③测量角度

◆高一 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

※ 动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时

1) km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.

练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？

三、总结提升 ※ 学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. ；

2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

※ 知识拓展

已知∆ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为C =π-5θ，由余弦定理知

a 2+b 2-c 2

为有理数， cos C =

2ab

所以cos5θ=-cos(π-5θ) =-cos C 为有理数.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β

C ．

α+β=90 D ．

α+β=180

2. 已知两线段a =

2，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）. A ．(, ) B ．(0,]

636

C ．(0,) D ．(0,] 24

3. 关于x 的方程sin A x 2+2sin B x +sin C =0有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a 、b 、c 满足（ ）.

A ．b =ac B ．a =bc C ．c =ab D ．b 2=ac 4. △ABC 中，已知a :b :c

则此三角形中最大角的度数为 . 5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解

(3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90°

(4)当A ＜90°，a

(5)当A ＜90°，且b sin A

πππ

π

π

1. 我舰在敌岛A 南偏西50︒相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10︒的方向以10海里/小时的速度航行. 问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 2.

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※ 典型例题

例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：

（1）已知a =14.8cm，c =23.5cm，B =148.5︒；

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一

（2）已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm；

步解决有关三角形的问题；

（3）已知三边的长分别为a =41.4cm，b =27.3cm，

2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

c =38.7cm．

3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

（1）若a =1, b B =120︒，则A

等于 ． （2）若a =b =2，C =150︒，则c = _____．

复习2：

在∆ABC 中，a =b =2，C =150︒，则高变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角BD ，三角形面积 形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角

形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个

区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）

二、新课导学

※ 学习探究

探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那

么它如何用已知边和角表示？

h a =b sin C =c sin B

1

根据以前学过的三角形面积公式S =ah ，

2

代入可以推导出下面的三角形面积公式，

1

S =ab sin C ， 2

或S ，

同理S = ．

新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它 们夹角的正弦之积的一半．

§1.2应用举例—④解三角形

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§1.2应用举例（练习）

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解

决一些有关测量的实际问题； 2．三角形的面积及有关恒等式．

为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：

①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）； ②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；

③确定用哪个定理转化，哪个定理求解； ④进行作答，并注意近似计算的要求．

二、新课导学 ※ 典型例题

例1. 某观测站C 在目标A 的南偏西25方向，从A 出发有一条南偏东35走向的公路，在C 处测得与C 相距31km 的公路上有一人正沿着此公路向A 走去，走20km 到达D ，此时测得CD 距离为21km ，求此人在D 处距A 还有多远？

例2. 在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角

为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高．

例3. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，

∠ABC =60°，AC =7，AD =6，S △ADC ，求AB

的长．

B C

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第一章 解三角形（复习）

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

（1）用正弦定理：

①知两角及一边解三角形；

②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）． （2）用余弦定理：

①知三边求三角；

②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例 ① 距离问题，②高度问题， ③ 角度问题，④计算问题．

练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．

二、新课导学 ※ 典型例题

例1. 在∆ABC 中tan(A +B ) =1，且最长边为1，

1

tan A >tan B ，tan B =，求角C 的大小及△ABC

2

最短边的长．

例2. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方

向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？

tan A 2c -b

例3. 在∆ABC 中，设=, 求A 的值．

tan B b

北

18