第5讲 直棱柱及表面展开图
第5讲 直棱柱及表面展开图
【知识要点】 1. 由若干个平面围成的几何体叫多面体；多面体上相邻两个面之间的交线叫多面体的棱；几个面的公共顶点叫多面
体的顶点。
2. 棱柱的上下底面平行且全等，每个侧面都是平行四边形。
3. 根据侧棱与底面是否垂直，棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的每个侧面都是长方形（含正方形）。
4. 根据底面多边形的边数，直棱柱可分为直三棱柱、直四棱柱……长方体和正方体都是直四棱柱。
5. 欧拉公式：V+F－E=2(V:顶点数， F: 面数， E: 棱数）
。
6. 几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）
7. 常见的几种几何体的表面积的计算公式
①圆柱体表面积：2πR 2+2πRh （R 为圆柱体上下底圆半径，h 为圆柱体高）
②长方体表面积：2（ab+ah+bh） （a 为长方体的长，b 为长方体的宽，h 为长方体的高
③正方体表面积：6a 2（a 为正方体棱长）
8. 几何体的展开图：
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，立体图形的展开图是平面图形。
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
9. 正方体相对两个面上文字：
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想像。
（2）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
【典型例题】
〖讨论1〗在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 点，那么它所行的最短路线的长是____________．
〖讨论2〗如图是一个正方体纸盒的展开图，当折叠成正方体纸盒时，A 点与_______点重合,C 点与_______点重合.
〖讨论3〗一个简单多面体的各个面都是三角形，请你说明它的顶点数V 和面数F 之间的关系为F=2V－4.
学 力 训 练
一．选择题（共15小题）
第3题
棱柱的所以侧面都是长方 ）
、DH 是三角柱的边．若图1中，AD=10，CD=2，则下列何者可为AB 长度？（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第7题
第8题 第9题
）
）
12．（2011•河北）将图1围成图2的正方体，则图1中的红心“”标志所在的正方形是正方体中的（ ）
7，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（ ）
14．已知三棱柱有5个面6个顶点
9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，…，由此可以推测n 棱柱有 _________ 个面， _________ 个顶点，棱有 _________ 条．
15．一个直棱柱有7个面，则它有个顶点，条棱，表面上至少有个直角．
三．解答题（共6小题）
16．（2010•宁波）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V ）、面数（F ）、棱数（E ）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
_________ ．
（2）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 _________ ．
（3）某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x+y的值．
b ）（c ）（d ）（e ）的木块．
个面，请你将图（b ）、（c ）、（d ）、（e ）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；
（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x 、棱数y 、面数z 之间的数量关系式．
18．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方
形的边长为1．
（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？
（2）试比较立体图中∠BAC 与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？
19．如图，是一个无盖立方体盒子，请把下列不完整的展开图补充完整．（请画出三种）
20. 马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形用阴影表示）
21. 如图是一个正方体的展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面，如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x 、y 的值．
22. 一个简单多面体的各个面都是五边形，请你说明它的顶点数V 和面数F 满足以下关系式：2V=3F+4