高三函数复习专题
第一讲---函数的定义域
一、解析式型
当函数关系可用解析式表示时,其定义域的确定只需保证这个解析式在实数范围内有意义即可. 求解时要由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,此不等式(或组)的解集就是所求函数的定义域.
例1 、求下列函数的定义域.
(1
)y =
(2
)y =;
2
(3
)y =lg(3x +1) ;
(4)y =x
例2、求函数f (x ) =lg(x -k ) +lg(1-x ) 的定义域.
二、抽象函数型
抽象函数就是指没有给出具体对应关系的函数,求抽象函数的定义域一般有两种情况:一种情况是已知函数f (x ) 的定义域,求复合函数f [g (x )]的定义域;另一种情况是已知函数f [g (x )]的定义域,求函数f (x ) 的定义域.
2],求函数f [log1(3-x )]的定义域. 例3、已知函数f (x ) 的定义域是(-1,2
三、实际问题型
四、学过的函数
第二讲---函数的值域
求函数的值域没有通性解法,只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的解法,下面给出常见方法。
一、分析观察法:结构不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出
函数的值域。
例1
、求函数y =(x ≥1)的值域。
例2
、求函数y =
例3、求函数y =
三、换元法
求值域;
注意:(1)新元的取值范围,(2)三角换元法中,角的取值范围要尽量小。 例4、求函数y =x
的值3x -2
例5
、求函数y =x +4的值域
四、配方法:二次函数或可转化为二次函数的复合函数常用此方法来还求解
例6
、求函数y =的值域。
五、判别式法
程,由于方程有实根,即∆≥0从而求得y 的范围,即值域。
注意:①定义域为R ,②要对方程的二次项系数进行讨论。
例7、求函数y =
2x +1的值域。 x 2-2x +2
例8、求函数y =
的值域。 3cos x -2
例9、求函数y =
例10、求函数y =
七、基本不等式法:
2-sin x 的值域。 2+sin x sin x 的值域
2-cos x
得最值。注意“一正、二定、三等”
例11、求函数y =x +
1的值域。 x
例12、求函数y =2x +
八、利用函数单调性:
1(x >0) 的值域 x 2
结合函数的定义域,可求得值域。
例13、求函数y =2x ,x ∈[-2, 2]的值域。
例14
、求函数y
例15
、求函数y =x
x 2+1(x ≥2) 的值域。 例16、求函数f (x ) =x
九、数形结合法
若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法。 例17、求函数y =
十、导数法
例18、求函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2, 2]上的值域
x -22+x +82的值域
第三讲---函数的单调性
一、主要方法:
1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数
的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
2. 判断函数的单调性的方法有:
(1)定义;(2)已知函数的单调性;(3)函数的导数;(4)如果f (x ) 在区间D 上是增(减)函数,那么f (x ) 在D 的任一非空子区间上也是增(减)函数;(5)图像法;(6)复合函数的单调性结论:“同增异减”; (7)奇函数在对称的单调区间内单调性相同,偶函数在对称的单调区间内单调性相反;(8) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(9)在公共定义域内,增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数;增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数;(10)函数y
=ax +b (a >0, b >0) 在x
⎛⎫⎡⎫⎛-∞, 或
+∞或0上单调递增;在 ⎪⎪ ⎢上是单调递减。 ⎪⎪ ⎝⎭⎣⎭⎝
3. 证明函数单调性的方法:利用单调性定义
二、典型例题
例1、求下列函数的单调区间:
(1)
y =log 0.7(x 2-3x +2) (2)
y =
例2、若函数y =f (x ) 在R 上单调递增,f (m 2) >f (-m ) ,求m 的取值范围
例3、函数f (x )=x 2+(a -1)x +2a -2在(-∞, 3]上是减函数,求a 的取值范围。
例4、函数f (x )=-x 2+2(a -3)x +4a -1在[1, +∞)上是减函数,求a 的取值范围。
例5、函数f (x )=x 2-ax +b 在(-∞, 1)上是减函数, 在(1, +∞)上是增函数,求a
例6、求函数f (x )=-log 1x +2log 1x +8的的单调区间. 2
22
⎛π⎫例7、求函数y =log 2sin -2x ⎪的单调区间. ⎝4⎭
⎛1⎫例8、若函数f (x )的图象与函数g (x )= ⎪的图象关于直线y =x 对称,求⎝3⎭
f 2x -x 2的单调递减区间.
例9、函数f (x )=mx 2-(3m +1)x +1在[-1,2]上是增函数, 求m 的取值范围。
例10、已知函数f (x ) =
例11、已知函数f (x )=log 1x 2-ax +a 在区间-∞, 2上是单调增函数,求a 的
2x ()ax +1在区间(-2, +∞) 上是增函数,试求a 的取值范围 x +2()()
取值范围。
第四讲---函数的奇偶性
一、主要知识及方法
(一)主要知识:
1.函数的奇偶性的定义;
2.奇偶函数的性质:
(1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称; 3.f (x ) 为偶函数⇔f (x ) =f (|x |).
4.若奇函数f (x ) 的定义域包含0,则f (0)=0.
(二)主要方法:
1、判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑f (x )与f (-x )的关系。
2、牢记奇偶函数的图像特征,有助于判断函数的奇偶性;
3、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f (x ) ±f (-x ) =0,f (x ) =±1. f (-x )
4.设f (x ) ,g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇.
二、例题讲解
例1、已知函数f (x )=a -
⎛6⎫⎛3⎫例2、f (x ) 是周期为2的奇函数,当0
⎛5⎫c =f ⎪则( ) ⎝2⎭1, ,若f (x )为奇函数,则a =________。 2x +1
(A )a 例3、已知a ∈R ,函数f (x ) =sin x -|a |,x ∈R 为奇函数,则a = ( )
(A )0 (B )1 (C )-1 (D )±1 例4、判断下列各函数的奇偶性:
2⎧(x
)f (x ) =(x -(2)f (x ) =2;(3)f (x ) =⎨2. |x -2|-2(x >0) ⎪⎩-x +x
例5、设a 为实数,函数f (x ) =x 2+|x -a |+1,x ∈R .
(1)讨论f (x ) 的奇偶性; (2)求 f (x ) 的最小值.
例6、(1)已知f (x ) 是R 上的奇函数,且当x ∈(0,+∞
) 时,f (x ) =x (1,
则f (x ) 的解析式为 .
(2)已知f (x ) 是偶函数,x ∈R ,当x >0时,f (x ) 为增函数,若x 10,
且|x 1|
A . f (-x 1) >f (-x 2) B . f (-x 1)
C . -f (x 1) >f (-x 2) D . -f (x 1)
0,2] 例7、 已知f (x ) 是定义在实数集R 上的函数,满足f (x +2) =-f (x ) ,且x ∈[
时,f (x ) =2x -x 2,
(1)求x ∈[-2,0]时,f (x ) 的表达式;(2)证明f (x ) 是R 上的奇函数.