导数易错点
第二章 导数与微分
问题1:设函数y =f (x ) 在点x =0可导,且f (0)=0,则一定有f '(0)=0,对吗? 答:不一定. 例如f (x ) =sin x ,f (0)=0,而f '(0)=cos x |x =0=1,错误的原因是将f '(x 0) 与[f (x 0)]' 的含义混淆了. 前者表示f (x ) 在x 0点的导数,后者是函数值(常数) 的导数,必为0.
问题2:设f (x ) 在x 0可导,则f '(x 0) =lim α→0f (x 0) -f (x 0-α) α,对吗?
答:对。可令h =-α, 则
α→0lim f (x 0) -f (x 0-α) α=lim -h →0f (x 0) -f (x 0+h ) f (x 0+h ) -f (x 0) =lim =f '(x 0) h →0h h
问题3:f (x ) 在x 0可导与曲线y =f (x ) 在(x 0, f (x 0)) 有切线是一回事吗?
答:不是一回事. 如果f (x ) 在x 0可导,则曲线y =f (x ) 在(x 0, f (x 0)) 一定有切线,反之,不然.
例如,曲线y =
不可导. (0,0)处有切线y 轴,即x =
0,但f (x ) =x =0处
⎧23⎪x , x ≥1问题4:设函数f (x ) =⎨3,用下列方法求f '(x ) 正确吗?
⎪x 2, x
⎧2x 2, x ≥1解:当x ≥1时,有f '(x ) =2x ,当x
⎩2x , x
答:不正确. 在分段点x =1处,由于不连续,所以f (x ) 在x =1处不可导. 在分段函数的分段处的导数,应该用单侧导数来考察,事实上
232x -2f (x ) -f (1)2(x -1)(x +x +1) ' =lim f +(1)===2,而x →1+0x -1x -13x -1
22x -f (x ) -f (1)不存在. ∴f (x ) 在x =1处不可导. f -' (1)==lim x →1-0x -1x -1
⎧2x 2, x >1⎪正确答案应是f '(x ) =⎨2x , x
⎪不存在, x =1⎩
1⎧2x sin , x ≠0⎪问题5:设f (x ) =⎨,求f '(0). 下列做法是否正确? x ⎪⎩0, x =0
解:当x ≠0时,f '(x ) =2x sin
不存在. 1111-cos ,故f '(0)=f '(x ) =lim(2x sin -cos ) x →0x x x x
答:不正确. 事实上,f '(0)=lim x →0f (x ) -f (0)=lim x →0x x 2sin x 1=0,函数f (x ) 在x 处0可导,但导函数f '(x ) 当x →x 0时不一定存在极限. 但当f (x ) 满足了以下定理条件时,有x →x 0lim f '(x ) =f '(x 0) .
定理:如果f (x ) 在x 0处连续,在x 0的去心邻域内可导,且lim f '(x ) 存在,那么f (x ) x →x 0
在x 0处可导,且有lim f '(x ) =f '(x 0) .(可用以后要学的微分中值定理证明) x →x 0
注意:在本章中,对分段函数在分段点的导数,必须用定义来求.
问题6:若f (x ) 和g (x ) 在x =x 0均不可导,f (x ) ⋅g (x ) 在x 0是否也不可导?
答:不一定. 例如f (x ) =
可导.
问题7:若f (x ) 在x 0处可导,g (x ) 在点x 0处不可导,f (x ) ⋅g (x ) 在点x 0处是否可导? x ,g (x ) =|x |在x =0处均不可导,但f (x ) ⋅g (x ) =x 显然|x |
1⎧⎪x sin , x ≠0答:不一定. 例如f (x ) =x ,g (x ) =⎨,f (x ) 可导,而g (x ) 在x =0不x ⎪⎩0, x =0
1⎧2x sin , x ≠0⎪可导,但f (x ) ⋅g (x ) =⎨在x =0可导. x ⎪⎩0, x =0
又例f (x ) =x 可导,g (x ) =|x |在x =0处不可导,f (x ) ⋅g (x ) =|x |在x =0不可导. x
⎧x =e t cos t , d 2y 问题8:设⎨求2. 问下列运算正确吗? t ⎩y =e sin t . dx
t t )'s i n dy (e s i n t +c o t s ==, dx c o s t -s i t n t )'(e t c o s 解
d 2y d ⎛dy ⎫⎛s i n t +c o t ⎫s '2∴2= ⎪= =. ⎪2dx dx ⎝dx ⎭⎝c o s t -s i t n ⎭(c o s t -s i t )n
答:不正确. 因为一阶导数的表达式是变量t 的函数, 故对变量x 求导时, 可以将t 作为复合函数的中间变量. 正确的解法为
d 2y d ⎛dy ⎫d ⎛dy ⎫dt = ⎪= ⎪⋅dx 2dx ⎝dx ⎭dt ⎝dx ⎭dx d ⎛sin t +cos t ⎫dx 2= =. ⎪/dt ⎝cos t -sin t ⎭dt (cos t -sin t )3
问题9: 函数f (x ) 的导数与微分的关系?有什么联系?有什么区别?
答:对于一元函数y =f (x ) 来说,可导与微分是等价的,且dy =f (x ) dx . 但导数与微分是两个完全不同的概念,导数是函数对自变量的变化率,只依赖于自变量x ,而微分是函数增量的线性主部,不仅依赖于x ,还依赖于自变量的增量. 从几何上看,导数f '(x ) 是曲线y =f (x ) 上一点的切线斜率;而微分表示曲线在该点处切线上点的纵坐标的增量.