时钟与角度

时钟是我们日常生活中不可缺少的计时工具。生活中也时常会遇到与时钟相关的问题。 关于时钟的问题有：求某一时刻时针与分针的夹角，两针重合，两针垂直，两针成直线等类型。要解答时钟问题就要了解、熟悉时针和分针的运动规律和特点。

一个钟表一圈有60个小格，这里计算就以小格为单位。1分钟时间，分针走1个小格，时针指走了1/60*5=1/12个小格，所以每分钟分针比时针多走11/12个小格，以此作为后续计算的基础，对于解决类似经过多长时间时针、分针垂直或成直线的问题非常方便、快捷。

经典例题

例1 从5时整开始，经过多长时间后，时针与分针第一次成了直线？

5时整时，分针指向正上方，时针指向右下方，此时两者之间间隔为25个小格（表面上每两个数字之间为5个小格），如果要成直线，则分针要超过时针30个小格，所以在此时间段内，分针一共比时针多走了55个小格。由每分钟分针比时针都多走11/12个小格可知，此段时间为55/（11/12）=60分钟，也就是经过60分钟时针与分针第一次成了直线。

例2 从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？

6时整时，分针指向正上方，时针指向正下方，两者之间间隔为30个小格。如果要第一次重合，也就是两者之间间隔变为0，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

例3 在8时多少分，时针与分针垂直？

8时整时，分针指向正上方，时针指向左下方，两者之间间隔为40个小格。如果要两者垂直，有两种情况，一个是第一次垂直，此时两者间隔为15个小格（分针落后时针），也就是分针比时针多（绿色圃中小学教育网 http://WWW.Lspjy.cOm 原文地址http://www.lspjy.com/thread-12430-1-1.html）走了25个小格，此段时间为25/（11/12）=300/11分钟；另一次是第二次垂直，此时两者间隔仍为15个小格（但分针超过时针），也就是分针比时针多走了55个小格，此段时间为55/（11/12）=60分钟，时间变为9时，超过了题意的8时多少分要求，所以在8时300/11分时，分针与时针垂直。

由上面三个例题可以看出，求解此类问题（经过多少时间，分针与时间成多少夹角）时，采用上述方法是非常方便、简单、快捷的，解题过程形象易懂，结果正确率高，是一种非常好的方法。解决此类问题的一个关键点就是抓住分针比时针多走了多少个小格，而不论两者分别走了多少个小格。下面再通过几个例题来介绍这种方法的用法和要点。

例4 从9点整开始，经过多少分，时针与分针第一次成直线？

9时整时，分针指向正上方，时针指向正左方，两者之间间隔为45个小格。如果要第一次成直线，也就是两者之间间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走15个小格，此

段时间为15/（11/12）=180/11分钟。

例5 一个指在九点钟的时钟，分针追上时针需要多少分钟？

9时整时，分针指向正上方，时针指向正右方，两者之间间隔为45个小格。如果要分针追上时针，也就是两者之间间隔变为0个小格，那么分针要比时针多走45个小格，此段时间为45/（11/12）=540/11分钟。

例6 时钟的分针和时针现在恰好重合，那么经过多少分钟可以成一条直线？

时针和分针重合，也就是两者间隔为0个小格，如果要成一条直线，也就是两者间隔变为30个小格，那么分针要比时针多走30个小格，此段时间为30/（11/12）=360/11分钟。

注: 本文含88幅图片, 借以直观说明; 另外, 本文也很容易地被改编成教学课件. ???

??? 时钟问题：? 从00：00：00起12个小时内，时钟上的时针与分针

?????????????? 之间有几次重合？几次垂直？几次平角？

?

??? 解：时针12个小时转一周，其角速度为：

??????????? 360゜/12小时=30゜/小时=30゜/60分钟=0.5゜/分钟

??????? 分针1个小时转一周，其角速度为：

?????????? ?360゜/1小时=360゜/60分钟=6゜/分钟

??????? 所以，分针与时针的角速度差为：

???????????? （6-0.5）゜/分钟=5.5゜/分钟

??? 这样，我们就可以通过计算时针和分针的总角差来判断时针和分针之间的夹角特征，即各种重合、垂直、平角的情况。

??? 其计算过程如下表所示：?

?

圆周数总角差几何特征及其编号总耗时(分钟) 时间读数图? 示时分秒00重合10 0 00 0090垂直116.3601622180平角132.7303244270垂直249.090495 1360重合265.451527450垂直381.8212149540平角298.1813811630垂直4114.[1**********]重合3130.9121055810垂直5147.2722716900平角3163.6424338990垂直6180.00300 31080重合4196.[1**********]垂直7212.[1**********]平角4229.[1**********]垂直8245.[1**********]重合5261.[1**********]垂直9278.1843811 1620平角5294.[1**********]垂直10310.[1**********]0重合6327.[1**********]垂直11343.[1**********]平角6360.00600 2070垂直12376.[1**********]0重合7392.[1**********]垂直13409.096495 2340平角7425.4575272430垂直14441.[1**********]0重合8458.[1**********]垂直15474.[1**********]平角8490.9181055 2790垂直16507.[1**********]0重合9523.[1**********]垂直17540.009003060平角9556.[1**********]垂直18572.[1**********]0重合10589.0994953330垂直19605.[1**********]平角10621.[1**********]0垂直20638.[1**********]600重合11654.55105433 3690垂直21670.91111055 3780平角11687.[1**********]0垂直22703.[1**********]960重合720.001200? 结论：本问题中，时针与分针重合11次、平角11次、垂直22次。

?????? 现归类如下：??????

?????? 一、11次重合依次如下图所示：

?

??

?????? 二、11次平角依次如下图所示：

???????

?????? 三、22次垂直依次如下图所示：?

???

注：本文无论是计算还是图示，相应的数值都精确到秒。