美国微积分教材的应用性和启发性赏析

第２７卷第６期２０１１年１２月

大　学　数　学

ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　

Ｖｏｌ．２７，№．６

Ｄｅｃ．２０１１

美国微积分教材的应用性和启发性赏析

张　荣，　过榴晓

（）江南大学理学院，无锡２１４１２２

摘　要］美国微积分教材的最大特色是应用性和启发性，即注重把数学理论应用于解决实际问题，并使　　［

学生自始至终带着问题学习和思考微积分．本文通过列举美国微积分教材中的典型内容和例子说明了这两供大家学习借鉴．大特点，

［关键词］微积分教材；微积分基本思想；应用性；启发性

［（）中图分类号］Ｇ文献标识码］Ｃ　　［文章编号］１４２３．３　　［６７２１４５４２０１１０６０２０３０４－－－

微积分的理论与方法广泛地应用于自然科学、工程技术乃至社会科学的各个领域．它提供给人们的不仅是一种高级的数学技术，而且是一种人类进步必需的文化素质和能力．微积分是高等学校众多专业学生对这门课程的掌握情况将直接影响后继课程的学习及理性思维品格和思辨能必修的重要基础课，

力的培养．而学好微积分决不仅仅是掌握其所包含的数学知识，更重要的是学会用微积分的基本思想解决问题，这是大学生应具备的一种解决实际问题的能力，也是大学生创新能力的基础．

１　前　　言

为学习和借鉴国外先进教材的经验，国内有不少学者对中外微积分教材进行了比较研究．如“国内

［１］

一文，选择美国不少大学（包括美国麻省理工大学）采用的微积分外两本微积分教材的比较与启示”

［２］

’教材Ｔ第１与国内工科院校使用比较广泛的同济大学数学教研室编的高等数ｈｏｍａｓＣａｌｃｕｌｕｓ（０版）［３］，学（第４版）从教材内容、应用、与计算机结合、例题与练习题配置方面进行了比较，从中得出了对微４］

积分教学有益的思考和启示；再如同济大学应用数学系郭镜明先生等人［以美国使用面较广的三本教［５］

、、第８版）第５版）以及材：ＤａｌｅＶａｒｂｅｒａｌｃｕｌｕｓ（ＪａｍｅｓＳｔｅｗａｒｔ编著的Ｃａｌｃｕｌｕｓ（　　ｇ等编著的Ｃ

’第１为例，探讨了美国微积分教材中的习题配置的特色．本文通过列举典型内ＴｈｏｍａｓＣａｌｃｕｌｕｓ（０版）

容和例子说明美国微积分教材中的两大特点：应用性和启发性．

２　美国微积分教材的应用性

美国微积分教材的最大特色是其应用性，注重把数学理论应用于解决实际问题，内容丰富、涉及面广，紧密结合最新的实际问题，具有鲜明的时代感．

教材内容的应用性．１．

］“，例如教材［中，在讲到周期函数时提到：周期函数是重要的”请看书中是如何诠释这一点的？２“因为我们在科学中研究的许多现象的性态特征都是周期的，脑电波和心跳及家里的电压和电流是周期的，用以加热食物的微波炉中的电磁场和季节性商业销售中的资金流动以及旋转机器的行为是周

收稿日期］２００９０４２９　［－－

）基金项目］江南大学教育科学基金资助项目（３１４０００５２３１０７３４　［－

期的，季节和气候是周期的，月相和行星的运动是周期的，有强烈的证据表明冰河期是周期的，其周期为”９００００到１０００００年．

这么多现实生活中的例子的说服力自不必说，同时拓宽了学生的知识面．又如在讲到导数（变化率）、问题时，给出的例子涉及各个领域的实际问题，包括赛车的速度（物理学）基因数据对变化的敏感性（生；物学）及生产的边际成本和边际税率（经济学）讲到导数应用问题中的线性化和微分时不仅介绍了医学上的血管照影术和成形术的原理，而且介绍了数值计算中极为重要的Ｎ再比如在讲液体压力ｅｗｔｏｎ法．部分时，引用了美国历史上真实发生的１并配了当时的新闻图片（极为有趣和吸９１９年糖蜜大泛滥事件，，原题如下：引人）

（一个非季节性的暖日）一个９１９１９年１月１５日下午１∶０００英尺高，９０英尺直径的圆柱形金属罐

罐中储存的是Ｐ在Ｂｏｓｔｏｎ北端的Ｆｏｓｔｅｒ街和Ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ街拐角处爆炸了，ｕｒｉｔａｎＤｉｓｔｉｌｌｉｎ　ｇ公司的糖蜜．糖蜜淹没街道达３拦住了行人和马匹，冲垮了建筑，并且涌进了房屋．最终糖蜜的踪迹遍布０英尺深，了整个城镇，甚至通过电车车厢和人们的鞋子延伸到了郊区．花费数周才把糖蜜清除干净．假设罐里装满了糖蜜，其比重为１罐破裂时糖蜜作用在罐底的总力是多少？００磅／英尺３，

这样的题目怎能不引入入胜！而书中类似的例子不胜枚举，这不仅是应用性的体现，其中的趣味性也极大地调动了学生的学习积极性．

习题配置的应用性．２．

］）以文献［为例，该教材除了配置大量的练习题（外，还配置了四种类型的小课题，它们是５Ｅｘｅｒｃｉｓｅｓ）、）、）探索课题（实验课题（和写作课题应用课题（ＡｌｉｅｄＰｒｏｅｃｔＤｉｓｃｏｖｅｒＰｒｏｅｃｔＬａｂｏｒａｔｏｒＰｒｏｅｃｔ　ｐｐｊｙｊｙｊ　　（）ＷｒｉｔｉｎＰｒｏｅｃｔ．ｇｊ　

）：例如学习求导规则后，紧接着有这样一个应用课题（飞行员应在离机场多远的地ＡｌｉｅｄＰｒｏｅｃｔ　ｐｐｊ方开始下降？

这是一个非常实际的、就发生在我们身边的问题，而凡是要用数学来解决的实际问题，都是通过数学建模的过程来进行的．但这样的数学建模过程对刚学习微积分不久的学生来说难了些，无从下手，教］：材［是如何解决这一难题的？书中首先给出了假设（建模假设）５

假设飞机的着陆轨迹如图所示，且满足

（）开始下降时，飞机的飞行高度为ｈ，距飞机落地点（原点）的水平距离为ｌ；ｉ

）在整个下降过程中，（飞机的水平飞行速度ｖ为常数；ｉｉ

）飞机的铅直加速度的绝对值不超过常数ｋ（（ｉｉｉｋ远小于重力加速度）．

在此基础上，再进一步明确课题要求：

，）求出满足条件（的立方多项式ｘ）Ｐ′（ｘ）添加适当的条件，ｉ①通过对开始下降点和落地点处的Ｐ（Ｐ（ｘ）ｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ．＝ａ

））和（证明ｉｉｉ②用条件（≤ｋ．２

ｌ２／，，／飞行员应在离机场多远的地方开始下降？６０ｍｉｈｈ＝３５００ｆｔｖ＝３００ｍｉｈ，③假设ｋ＝８

）在③的情形下画出飞机的着陆轨迹图（图１．

从以上例子可以看到美国的微积分教材是怎样通过精心设计应用课题，使问题只涉及学生所学的微积分知识又能体现数学建模过程．经过这样循序渐进的训练，何愁学生应用数学解决实际问题的能力不会提高？何愁学生不具备创新能力？

在学习了定积分及其应用后，学生会求曲边梯形的面积，也会算曲边梯形绕其所在平面中一条直线旋转所得的旋转体的体积，可涉及的曲边梯形的底边是与坐标轴平行的．如果曲边梯形是斜置的，如何求曲边梯形的面积呢？曲边梯形绕其

所在平面中的一条斜线旋转所得的旋转体的体积又如何计算呢？教材［给出的一道探究课题５］

图１

２

（）就是要求学生研究解决这个问题的：ＤｉｓｃｏｖｅｒＰｒｏｅｃｔｙｊ　

），）间的一段设Ｃ为曲线ｙ＝ｆ（ｘ）上两点Ｐ（Ｑ（ｐ，ｆ（ｐ）ｑ，ｆ（ｑ）弧，斜线ｙ＝ｍ在Ｃ的下面）及分别从Ｐ，Ｄ是由弧Ｃ，ｘ＋ｂ（Ｑ出发与斜

）如图２线垂直的直线所围的平面区域（．

①证明区域Ｄ的面积是

１＋ｍ２

［］ｘ）ｘ－ｂ］１＋ｍ′（ｘ）ｄｘ．－ｍｆ（ｆ

［

ｐｑ

ｘ＋ｂ旋转所得的旋转体的体积公式．②导出区域Ｄ绕斜线ｙ＝ｍ

学生自己动手解决这一课题富于挑战，而且可以巩固刚刚学习的定积分元素法，只需加上一点初等数学的知识．

图２

）书中的实验课题（同样是精心设计，不仅有趣，而且与实际应用密切相关．例如ＬａｂｏｒａｔｏｒＰｒｏｅｃｔｙｊ　（：学习了参数方程的求导方法之后）

，，，研究由四个控制点Ｐ０（给出的立方ＢｘＰ１（ｘＰ２（ｘＰ３（ｘéｚｉｅｒ曲线ｙｙｙｙ０，０）１，１）２，２）３，３）

３２２３

）（）（），＝ｘ１－ｔｘｔ１－ｔｘｔ１－ｔｔ＋３＋３＋ｘ０（１２３

）．０≤ｔ≤１　（３２２３

（）（）（）ｔ＋３ｔ１－ｔ＋３ｔ１－ｔ＋ｙｔ＝ｙｙｙ０１－１２３研究的问题包括：

绘出立方Ｂéｚｉｅｒ曲线；①给定四个控制点，

éｚｉｅｒ曲线；②通过改变第二个控制点绘出有闭环的Ｂ

改变控制点找出可用来表达字母Ｃ的Ｂéｚｉｅｒ曲线代表字母和符号，éｚｉｅｒ③某些激光打印机用Ｂ

曲线；

研究如何使２个Ｂéｚｉｅｒ曲线表示更复杂的字母和符号．éｚｉｅｒ曲线光滑连④可用２个或２个以上Ｂ

，接（书中有一些具体指导）并找出其中的控制点用来表达字母Ｓ．

众所周知，学生在刚刚学习微积分不Ｂéｚｉｅｒ曲线是工业自动化中用于计算机辅助设计的重要曲线，无疑会极大提高学生特别是相关专业的学生进一步学好微积分积极性．再比如学久就接触这样的课题，

）：要求做如下实验课题（习数列的极限之后，ＬａｂｏｒａｔｏｒＰｒｏｅｃｔｙｊ　

研究种群数量增长的Ｌ课题要求的问题完全是围绕生态学家感兴ｏｉｓｔｉｃ模型ｐｋ１－ｐ．ｇｐｎ（ｎ１＝ｎ）＋

趣的问题，如随着时间的推移，①预测种群数量的变化情况；②种群数量会稳定在某一极限值吗？③种群数量会周期性变化吗？④种群数量呈现随机变化形态？

这些课题背景强，有真实感，这使得学生非常愿意借助计算机去完成这类课题．完成课题的过程本身就是数学教学的一个重要环节，即如何用计算机表现数学．引导学生借助计算机探索解决应用问题，有效地提高数学实践能力，培养探索精神，进而提高学生的创新能力．还有一种写作课题（Ｗｒｉｔｉｎｇ），），要求学生参考一些书籍和文献就某一专题写出报告（这些专题包括：ＰｒｏｅｃｔＲｅｏｒｔＬ’Ｈｏｓｉｔａｌ法ｊｐｐ

、则的起源、学生完成这些报告的同时也了解了微积分发展史上ＮｅｗｔｏｎＬｅｉｂｎｉｚ与微积分的发明等等，著名人物．了解微积分促使学生更喜爱微积分、希望学好微积分、乐于应用微积分．的重要事件、

３　美国微积分教材的启发性

美国微积分教材的另一个特点是注重启发性，从以上我们列出的内容和例子可以看到，无论教材的教学内容还是配置的习题，都有大量富于启发性的讨论和思考内容．特别是其中的应用和探索课题极具通过精心设计的、只涉及较为初等的数学，而又能体现数学建模教学的课题和习题，教学生如何启发性，

应用数学解决实际问题，为创新教育提供了保障．此外，美国微积分教材还有一个特色就是通过问题启发学生，使学生自始至终带着问题学习和思考微积分．现从美国微积分教材中摘录数例如下，供读者参考赏析．

］）”，教材［在开始正式之前，先有“微积分简介（通过微积分中的典型问题如５ＡＰｒｅｖｉｅｗｏｆＣａｌｃｕｌｕｓ　　　面积问题、切线问题、数列的极限、数列的和等对微积分处理问题的思想和方法作一介绍，紧接着提出了

一系列与现实生活密切相关的、有趣的问题，如如何解释超市货架上那些易拉罐的形状？坐在电影院里一个壁球、一根钢棒、一根铅管同时从斜坡滚下，谁最先看电影的最佳位置是哪里？假如一个玻璃弹子、到底？……

学生带着这些问题学习微积分，就会时时想着该如何用自己所学的微积分知识解决这些问题？自己所学的微积分知识还能解决什么其它问题？

］教材［在预备知识一章中讲了三角函数、周期函数之后，指出“为什么三角函数在研究周期性现２象中如此重要呢？回答就在于一个令人惊讶且优美的高等微积分的定理之中，该定理说我们在数学建一旦我们学会了正弦和余弦的微积分，我模中用到的每个周期函数都可以表为正弦和余弦的代数组合．”们就能对大多数周期现象的数学表征进行建模．

提出的问题不仅启发学生思考，而且为后面的教学留下伏笔．

］教材［在讲授经济学中的导数时，提出“经济学家为什么要用低次的多项式来说明像成本和收入２这样复杂的现象？下面的陈述就是理由：尽管在任何给定的情况下很少有表示实际现象的公式可以利用，但是经济学理论仍然可以提供有价值的指导．三次多项式就提供了在处理方便和复杂到足以抓住经”济行为特征之间的一种很好的均衡．

这样的问题不仅为学生及时解惑，而且清楚地向学生表明：微积分就在我们身边，解决实际问题有时并不像人们想象的需要高深的数学知识，只要有心去想、去做，你的数学知识就能解决一些实际问题．

４　结束语

目前，国家高等教育的发展已由规模扩张转向质量提高，强调本科毕业生的创新能力、应用数学解决实际问题的能力，大学微积分教学方式和教学理念的变革面临前所未有的挑战和机遇．我们列举了美国微积分教材中的一些反映其启发性和应用性特点的典型内容和例子，希望通过我们对美国微积分教材的认真研读体会，带给大家启示和思考，学习和借鉴一些先进的数学教育观，坚持数学教育主要是教会学生“数学的思维”微积分的教学不仅是传授数学知识，更重要的是知识的应用性，还应考虑对学生．如何引起学生的“好奇心”使我们的微积分教学更好地体现用数学的理念，享受做数学的快的启发性，．“乐．正如中国科学院院士李大潜先生所倡导的：在数学教学中突出数学思想的来龙去脉，揭示数学概念

６］

”恢复并畅通数学与外部世界的血肉联系［和公式的实际来源和应用，．

［参　考　文　献］

［］］）：１Ｊ．大学数学，２００７，２３（１１８７－１９０．　叶赛英，胡月．国内外两本微积分教材的比较与启示［

［］’）（托马斯微积分第１２ｉｎｎｅｅｉｒ，Ｇｉｏｒｄａｎｏ．Ｔｈｏｍａｓｃａｌｃｕｌｕｓ（ｔｅｎｔｈｅｄｉｔｉｏｎ０版）［Ｍ］．叶其孝，王耀东，唐　Ｆ　ｙ，Ｗ

高等教育出版社，兢，译．北京：２００３．

［］高等教育出版社，３Ｍ］．４版．北京：２００４．　同济大学数学教研室．高等数学［

［］］）：４Ｊ．大学数学，２００５，２１（２１３－１６．　郭镜明，应明，朱晓平．美国微积分教材中的习题配置特色［［］［５ａｍｅｓＳｔｅｗａｒｔ．ＣａｌｃｕｌｕｓＭ］．５ｔｈｅｄ．北京：世界图书出版公司，２００４．　Ｊ　　

［］大学数学课程报告论坛论文集［６Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５．　大学数学课程报告论坛组委会．