"命题的否定和量词的运用"疑析
“命题的否定和量词的运用”疑析
314000 嘉兴市秀州中学数学教研组 章亚林
在高中新教材中添加了“简易逻辑”板块,对培养学生的逻辑思维能力起到了一定的
作用.但由于在对命题进行否定时,忽略了其中的“量词”,产生了某些认识上的偏差.下面将针对“命题的否定”作简要的分析.
一、 命题的否定
设p是一个命题,“p不成立”即为对命题 p的否定(非p).
1.三种命题形式及其否定
表示数量的词称为量词.表示整体的全部的叫做全称量词,常用的如“所有”、“一切”、
“每一个”和“任意一个”等;表示整体的一部分的叫做存在量词,常用的如“有些”、“至少有一个”和“存在”等.
根据描述主项的量词,命题可分为:
全称命题,其形式为“所有S是(不是)P”,其否定为“存在S不是(是)P”,即
“至少有一个S不是(是)P”,全称量词常可省略;
特称命题,其形式为“有些(存在)S是(不是)P”,其否定为“所有的S不是(是)
P”,即“不存在S是(不是)P”;
特别地,主项为特定的单个个体的命题,称为单称命题,其形式为“S0是(不是)P”,
其否定为“S0不是(是)P”.
例1 写出下列命题的否定
(1) 张三是人;
(2) 方程xx10两根符号不同;
(3) 有些人早饭吃面包;
(4) 存在一个实数x ,使得xx10;
(5) 哺乳动物是胎生的;
(6) 末位数字是0或5的整数,能被5整除.
分析1:命题⑴、⑵是单称命题,故其否定分别为“张三不是人”和“方程xx10
两根符号相同”;命题⑶、⑷为特称命题,故其否定分别为“所有人早饭都不吃面包”和“对
于任意的实数x,xx10‛;⑸、⑹为全称命题,故其否定分别为“有些哺乳动物不
是胎生的”和“有些末位数字是0或5的整数,不能被5整除”.
结论1:否定一个命题,应注意命题中的“量词”,在理解命题意义的前提下,判断是
何种类型的命题,再加以否定.
例2 写出下列命题的否定
(1) 三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和;
(2) 存在一个矩形,它的四边相等.
分析2:首先,很显然⑴、⑵分别是全称命题和特称命题;其次,特别还应分别注意到
“三角形的外角”和“矩形的边”都具有任意性.故正确答案为:
(1) 存在一个三角形,它有一个外角不等于与它不相邻的两内角之和;
(2) 任意一个矩形,它的四条边不全相等.
结论2:还要注意有的命题含有多个“量词”. 2222
2.命题“若„„则„„”的否定是什么
“若p则q”的否定是“p且非q”;
“对于任意的x,若p(x)则q(x)”(“对于任意的x”常省略)的否定是“存在x,p(x)
且非q(x)”,即只要能否定符合条件的一种情况即可,而不是对符合条件的所有情况加以否
定,亦即“对于任意的x,若p(x)则q(x)”的否定应该是“存在使p(x)成立而q(x)不成
立的情况”.
例3 写出下列命题的否定
(1)若明天下雨,则我不去杭州;
(2)若方程x10有实根,则太阳绕着地球转;
(3) 若方程xax20有实根,则a80.
(4) 若m是奇数,则2m是偶数.
分析3:命题(1)、(2)是“若p则q”形式的命题,故其否定分别为“明天下雨且我
去杭州”和“方程x10有实根且太阳不绕着地球转”;命题(3)、(4)省略了全称量
词,补完整后分别为“对于任意的实数a,若方程xax20有实根,则a80”
222222
和“对于任意的实数m,若m是奇数,则2m是偶数”,都是“对于任意的x,若p(x)则q(x)”形式的命题,故其否定分别为“存在实数a,使得xax20有实根且a80”和“存在实数m,使得m是奇数且2m不是偶数”.
结论3:看到“若„„则„„”的命题要在理解语意的基础上,判断是否是省略了全称量词的情况,再加以否定. 22
二、若干高中数学新教材和教学参考书中问题的重新讨论:
1.([1] P26例1)分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:
(3)平行线不相交.
解:(3)这个命题是非p的形式,其中
p:平行线相交.
分析4:显然,原命题“平行线不相交”是一个省略了全称量词的全称命题,故其应是“存在两条直线互相平行但相交”的否定;而“平行线相交”的否定应是“存在两平行线不相交”.
2.([1]P32例4)用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如图113,在⊙O中,弦AB、CD交于P ,
且AB、CD不是直径.
求证:弦AB、CD不被P 平分.
分析:假设弦AB、CD被P平分,连结OP后,可推
出AB、CD都与OP垂直,则出现矛盾.
证明:假设弦AB、CD被P平分,由于P点一定不是
圆心O,连结OP,根据垂径定理的推论,有
OP⊥AB ,OP⊥CD,
即过点P有两条直线与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.
所以,弦AB、CD不被P平分.
分析5:首先,“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”与“弦AB、CD不互相平分”是两回事,“求证”中的“弦AB、CD不被P平分”应改为“弦AB、CD中至少有一条不被P平分”;其次,“弦AB、CD不被P平分”的否定不是“弦AB、CD被P平分”,而是“弦AB、CD至少有一条被P平分”.
3.([1] P26 练习1和P29习题 1(部分小题))分别写出由下列各组命题构成的‚非p‛形式的复合命题:
(1)p:矩形的对角线相等;
(2)p:正方形的四条边相等;
(3)p:三角形的两条边的和大于第三边。
([2] P18) 以上各小题相应的参考答案
(1)非p:矩形的对角线不相等;
(2)非p:正方形的四条边不相等;
(3)非p:三角形两边之和不大于第三边。
分析6:以上⑴、⑵、⑶中的命题p都是省略了全称量词的全称命题,又注意到命题“内部”的“量词”,故正确答案如下:
(1)非p:存在矩形,它的对角线不相等;
(2)非p:存在正方形,它的四条边不全相等;
(3)非p:存在三角形,它有两条边其和不大于第三边。
4.[3]中有以下一段叙述:
“对命题p怎样否定呢?应保留其条件,否定其结论,即如果命题是‘若A则B’,那么¬p是‘若A则非B’‛.
分析7:由“一.2”可知,“若A则B”的否定应该是“A且非B”,且其可能忽略了“对于任意的x,若p(x)则q(x)”这种命题形式的存在.
5.([4]P30例2)写出下列命题的否定:
(1)若mnab0,则实数m、n、a、b全为零;
2(4)若xx20,则x1且x2. 2222
参考答案:
2222(1)若mnab0,则实数m、n、a、b不全为零;或若
m2n2a2b20,则实数m、n、a、b中至少有一个不为零;
2(4)若xx20,则x1或x2.
分析8:命题(1)、(4)都省略了全称量词,结合“一.2”可知,正确答案如下:
2222(1)存在不全为零的实数m、n、a、b,使得mnab0;
2(4)存在x使得xx20成立且‚x1或x2‛.
6.([5] P62例题)写出下列各命题的否定形式及命题的否命题:
(2)有些质数是奇数;
(3)所有的方程都不是不等式;
(4)自然数的平方是正数.
参考答案:
(2)否定形式:有些质数不是奇数;否命题:所有的质数不是奇数.
(3)否定形式:所有的方程都是不等式;否命题:有些方程是不等式.
(4)否定形式:自然数的平方不都是正数;否命题:有些自然数的平方不是正数. 分析9:分析以上参考答案可知,对“命题的否定”的认识偏差以及没有正确区分命题的条件和结论,是本题错解的两大根源.写原命题的逆命题、否命题和逆否命题时,可先将原命题改写成“若„„则„„”的形式(此处略),以便于正确区分命题的条件和结论.⑵是特称命题,⑶、⑷是全称命题.故正确答案为:
(2)否定形式:所有的质数都不是奇数;否命题:(不宜出此题型).
(3)否定形式:有些方程是不等式;否命题:所有的式子,若不是方程,则就是不等式.
(4)否定形式:有些自然数的平方不是正数,或自然数的平方不都是正数;否命题:非自然数的平方不是正数.
参考资料
[1]中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)·数学(第一册上).人民教育出版社,2003年6月.
[2]中学数学室.全日制普通高级中学教师教学用书(必修)·数学(第一册上).人民教育出版社,2003年6月.
[3]谷林海、张月柱.名师视点(高中数学).东北师范大学出版社,2002年.
[4]陈兆镇.新教案(一本为学生而写的书 高一数学).广西师范大学出版社、内蒙古大学出版社,2001年7月.
[5]侯祯涛、庄杰.教与学示范(雨蝶8号 高一数学上册).北京师范大学出版社,2002年. 附:
“命题的否定和量词的应用”一文(毕业论文)已于2003年9月发表于华东师范大学出版社出版的《数学教学》(第9期)中,本文在原文基础上,又有所补充,有所改进。