生活中的三角函数问题丰南建模

模式名称：“四三四”模式

学校 ：丰南一中 创建老师： 刘艳波

人类的进步，科学技术的发展突飞猛进，教育改革日新月异。“培养学生自主、合作、探究学习的能力”已成为当今教育流行的话题。当今教育要求学生学会生存、学会学习、学会做人、学会创造„„这些能力形成的过程是学生自主学习，不断探索，大胆实践的过程，学生任何能力的形成，都离不开学生主体地位的发挥。因而，我认为“培养学生自主、合作、探究学习能力的关键是确立学生主体地位”。

面对新世纪的教育，教师应具有新的学生观，新的教师观，新的教学观。把确立学生的主体地位，摆在教学改革的首要位臵。

曾经有教育家说过：“只有教不好的教师，没有教不好的学生。”虽然我不是百分之百的赞成他的观点，但我们不得不因此而深思。我们要站在教育改革的高度，转变人才观，正所谓“三十六行，行行出状元”。要相信学生，人人都能成才。一根木头遇到巧木匠，就能量材而用，达到物尽其用。学生遇到高水平的老师，就能因材施教，达到人尽其材。

培养学生“自主、合作、探究学习的能力”，关键在于确立学生主体地位，只要我们破除了“师道尊严”的观念，构建起民主、平等、和谐的师生关系，把爱心献给每一个学生，让学生真正参与教学过程，才能真真正正地培养学生自主、合作、探究学习的能力。

“给我一次机会，还您一份惊喜”，“我参与，我快乐；我自信，我成长”，在参与中快乐，在快乐中幸福，在幸福中成长。变苦学为乐学，变乐学为会学，变会学为愿学，这就是这节课的教学观。

我们的教学模式“四三四”具体表现形态为——“四突出”、“三转变”和

“四个基本流序”。 (一）“四突出”

1、突出学生 2、突出学习 3、突出合作：全班分成若干小组，每小组4-6人，无论是课前准备还是上课时的学习，每位学生都必须在小组内充分发挥其应有的作用。 4、突出探究：

（二）“三转变”

1、变教师灌输式的教为学生自主性的学，使学生获得学习动力； 2、变“听懂了”为“学懂了”、“会学了”，使学生掌握学习方法；

3、变“他律”为“自律”，使学生获得自信、自尊，激发内在的学习潜能。 （三） 四个基本流序 1、学生先学。

一般是课前预习或前置性作业，不固定，比较灵活。前置性作业也叫学习框架通过前置学习的布置，鼓励学生先学，

2、小组合作学习， 4-6人小组，交流讨论，要求教师放弃逐句逐段的讲解，而是抛出有价值的问题，让学生你一句、他一句地讨论，

3、班级交流， 交流形式比较灵活，人人参与。有小组代表交流，也有学生与学生、学生与教师的互动，教师在倾听的基础上引导点拨，让学生的思维进行碰撞，让智慧之火熊熊燃烧。

4、总结和巩固。 由教师和学生共同完成。 生本教育使学生学得轻松快乐又成绩优秀，是真正的素质教育，是深入推进新一轮基础教育课程改革的重要手段，生本教育为构建有效课堂、提高课堂教学效率、提高教育教学质量提供了理论支撑和实践模式。 生本教育特点

教学流程图

生活中的三角函数问题

典型案例

一、 教学背景

在现实生活中，特别是普通老百姓把数学看似一个非常遥远的独立的神秘王国，人们误解数学就是搞难题，没有什么实际用途。这与我们在数学教学中不讲数学的意义，不讲数学与生活的联系，不讲数学与其他学科的关系及其在实际社会生活中的应用价值，而是讲解题，把数学教学变成了一种纯粹的演题训练，使学生看不见数学的本来面目和它的真正意义，失去了对大自然的“好奇心”有着很大的关系。本课题是在学生学完三角函数这部分内容以后，通过书47页的第4题的启发，把几何图形变式后联系三角函数在生活中的实例，培养学生把实际问题转化为数学问 题的能力。

二、教学目标

1、知识目标：巩固三角函数知识，建立函数模型；

2、能力目标：掌握数学建模的方法和应用；培养学生的化归的思想和抽象概括及计算能力；

3、情感目标：渗透数学建模的思想，培养数学的应用意识；体会具体的实际问题如何转化为抽象的数学问题，让学生意识到数学来源于生活，数学有用。

三、教学方法

1、启发式讲授法； 2、探究发现法；

以主体——主导相结合，情景——探究模式。

四、教学分析

1、重点：如何把问题转化为数学问题，并通过变式对问题加深理解； 2、难点：如何把问题转化为数学问题（如何建立数学模型）；

五、教学过程 1、设置情景

欣赏图片说明随着人类的进步和科技的发展，数学的应用已经渗透到社会的各个方面。人们的日常生活和工作都离不开数学，“数学已无处不在”。让学生举一些生活中有关数学的例子，那么对于我们这学期所学的三角函数有哪些应用呢？这就是我们这节课所要学习的内容——三角函数的应用问题。（引出课题） 2、探索研究 前一段时间，针对三角函数在生活中的 老师用几何画板动画演示在纵多矩 应用，我们学习了这样一个例题： 形中内接矩形的面积慢慢变大，学 把一段半径为R 的圆木，锯成横截面为矩 生简述两种方法解题过程，比较两 形的木料，问怎样锯才能使横截面积最大？ 种方法得出三角函数方法解题的优

越性。引出变式题让学生用三角函

数方法解题。

生1：设边为自变量的方法

生2：设角为自变量的方法

师：学生讲述完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引出变式例题：

在一住宅小区里，有一块空地，这块空 两种情况分小组探究解决，小组 地可能有这样两种情况： 探究时，是把两种图形放在几何 （1）是半径为10米的半圆；如图（1） 画板中，让学生把静的数学图形

（2）是半径为10米，圆心角为60的扇形； 通过电脑转化成动态，培养学生 如图（2）

现在要美化小区，准备在这块空地里分别种 的动手能力和观察能力，通过图

植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上且 形观察结果，再用数学知识来求 内接于这块空地，应如何设计，使得此草皮 解，然后找小组代表发布探究成 面积最大？并求出面积的最大值。 果，小组间相互评价成果，培养 学生的数学的应用意识和小组

合作意识。

(各个小组的代表用实物投影展示小组成果，并解释设计方案：)

生3：(略)

生4：(略) C

O 生5：(略) E F A B 生6：(略) （图1） （图2）

学生展示完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引例中的题的联系。归纳出求解应用题的步骤过三关, 走四步： （先由学生总结，老师再归纳总结。） 三关：

（一）、事理关：需要读懂题意，知道讲的是什么事件，即需要一定的阅读理解能力；

（二）、文理关：需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数量关系；

（三）、数理关：在构建数学模型的过程中，要根据已知的知识结构，构建相应的函数模型，完成由实际问题向数学问题的转化。 四步：

（一）、读题理解题意；

（二）、挖掘数量关系，建立数学模型； （三）、求解数学问题； （四）、回归实际，进行答题

3、随堂练习：（试试身手，看谁做得快又准确）

如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一座半径为90米的扇形小山，P 是弧TS 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建在一个边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR ，求长方形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。

解：设∠PAB =θ(0

延长RP 交AB 于M ，则AM =90cos θ，MP =90sin θ

∴PQ =AB -AM =MB =100-90cos θ

PR =MR -MP =100-90sin θ

故矩形PQCR 的面积为

D S

R

C Q B

S =PQ ⋅PR =(100-90cos θ)(100-90sin θ) =10000-9000(sinθ+cos θ) +8100sin θ⋅cos θ

M t 2-1令t =sin θ+cos θ (1

2

t 2-1810010

=(t -) 2+950 ∴S =10000-9000t +8100⨯229

故 当t =

当t =

2时 S m a x =1405-0902≈132(m 42)

10

时 S m i n =95(0m 2) 9

答：长方形停车场PQCR 面积的最大值是1324平方米，最小值是950平方米。

4、课后小结

通过我们的研究，我们领会了数学建模的思想，同时也深深地体会到，身边就有数学，数学就在身边，在以后的学习过程中，只要我们勇于探索，就可能会成为真正的发明家、创造者，我们现在的研究让它作为一个奠基，通过我们的研究开拓思路，为将来成为一名数学家、发明家创造良好的条件。

5、课后作业

其实在我们生活中，还有许多关于三角函数的问题，请同学们课后研究一下我们自己周围可以研究的事物，例如以下两个作业题：

㈠、书面作业：

在变式例题中的扇形空地中，把条件“使得其 一边在半径上”去掉而只要求矩形在空地内且内接空

地，看结果又是怎样的是不是比我们有这个条件限制 C 时的面积更大？（如右图所示） 六、教学评价

B 本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系. 本节在教学中注重这一目的的实现，首先从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，通过动手对几个变式实例的研究，抽象出三角函数模型，并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力. 此外还将生活中的实例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机的穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学. 七、教学多媒体

（powerpoint 课件、几何画板课件、实物投影）