概念图及其在数学学习中的现实意义

第13卷第3期 2004年8月

数 学 教 育 学 报

JOURNAL OF MATHEMA TICS EDUCATION

Vol.13, No.3

Aug., 2004

概念图及其在数学学习中的现实意义

王 兄1，汤服成2

（1．华东师范大学 数学系，上海 200062；2．广西师范大学 数学与计算机科学学院，广西 桂林 541004） 摘要：概念图是用来组织与表征知识的工具．在数学学习中概念图具有重要的现实意义，它可以激励学习者主动建构概念，培养元认知知识和自主性，激发猜想并检验猜想等．学习制作概念图时，要注意：布置任务的形式由结构化逐渐转向弱结构化；概念图制作时应首先集中在一个主题，然后再与其它概念图或主题相连接．

关键词：关系；概念图；意义学习

中图分类号：G442 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2004）03–0016–03 数学关系可能涉及到数学主题与学习者日常生活的关系，也可能涉及到数学与其它课程领域之间的关系．建立数学关系有助于学习者更好地理解数学．Ginsburg 的研究可以有力地说明这一点，理解可以被认为是在两个信息块之间建立某种联系，学习者理解的程度是由关系的数量、准确性以及强度所决定的[1]．数量越多、准确性和强度越高，那么理解就越深刻，而学习者往往难以建立概念间的关系．一种认知工具—概念图恰好可以用来改善这一情状，颇有“对症下药”的意味．

宽泛的意义来看待概念图，允许学习者以数学式、图形、命题等作为节点来表征知识．

在诺瓦克看来，概念图是用视觉再现认知结构、外化概念和命题的一种方法．由于每个人感知事物及其规律的差异，每个人制作的概念图结构也各不相同．所以学习者制作的概念图在很大程度上反映了学习者的认知结构，教师可以据此了解学生知识的掌握情况，获得教学反馈．教学就是概念图不断完善的过程，教学者和学习者可以通过不断地构建，寻求达成一致的机会．概念图用视觉表征的优势在于：视觉符号容易被快速识别；最低限度地使用文本，使学习者容易扫视概念间关系的大意；视觉表征考虑到发展单独使用语词所不能传达的整体理解力．

如果说概念图使知识由一维线性表征形式转变为二维平面表征形式的话，那么通过教学者和学习者不断建构以及电脑网络技术的支持，概念图已经把知识延伸为三维的立体网络空间．不难看出，概念图的理论内涵和实践价值大大超过了一般意义下的概念关系表，这不能不说是知识呈现的一个里程碑．

1 概念图的内涵

概念图是由美国康奈儿大学诺瓦克（Joseph D. Novak）教授等人提出来的．概念图又可称为概念构图（Concept Mapping ）或概念地图（Concept Maps）．前者注重概念图制作的具体过程，后者注重概念图制作的最后结果．现在一般把概念构图和概念地图统称为概念图而不加以严格区别．

概念图是用来组织与表征知识的工具，它通常是将有关某一主题不同级别的概念置于方框或圆圈中，再以各种连线将相关的概念连接，这样就形成了关于该主题的概念网络，以此形象地说明概念之间的关系，从而表征学习者对于特定的概念是如何相关联的．概念图是由3部分组成：节点、连线、连接语词．节点表示概念；连线表示两个概念之间的意义联系，并用箭头符号指示方向；连接语词是用来标注连线的，描述两个概念间的关系．连线被贴上了标签，被贴上标签的连线解释了节点之间的关系，箭头描绘出关系的方向，这样读起来就像一句话．由于数学概念本身具有对偶性，因此数学概念之间的关系可能是对象与对象、对象与过程，或是过程与过程等之间的复杂关系，也难免牵涉到与运算之间的关系，与图形之间的关系等，它们不是简单的字句所能代表的，因此节点可能会以数学式或图形的形式出现．不仅如此，数学的抽象更以关系为对象，进一步探讨关系的关系，因此节点会出现命题．为此，对于数学概念来说，可以以较

2 概念图的理论背景

诺瓦克在一项科学概念研究中发现，学生常常能完成相应的实验步骤，但是却无法对由此产生的现象做出相应的解释．为了解决学习中的这一问题，诺瓦克根据奥苏伯尔的概念同化理论开发了概念图这样一种认知工具，试图将传统教学导致的机械学习转变为有意义学习[2]．

概念图不仅能表征学习者现有的认知结构，而且更重要的是让学生有可能以此为起点，不断地通过概念的上位、下位或并列学习，促使认知结构的进一步分化、清晰化、整合化．显然，诺瓦克在实际应用概念同化理论的过程中，不仅开发有助于人的高级学习以及相应的教学设计的认知工具，而且还克服了概念同化理论的静态性，着重揭示出概念同化的动态发展过程的真实性和复杂性．因此说来，诺瓦克的研

收稿日期：2004–02–19

作者简介：王兄（1973—），女，辽宁大连人，博士研究生，主要从事数学课程与教学论研究．

第3期 王 兄等：概念图及其在数学学习中的现实意义

3.4 强调个人解释

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究丰富、发展了奥苏伯尔的概念同化理论[2]．

后来的研究表明，现代的认知主义学习理论和建构主义学习理论都能为概念图的教学意义提供理论支持．被誉为构建21世纪教育新模式的信息技术和脑科学，也为概念图的合理性和无比广阔的应用前景提供了大量的事实说明．现代脑科学发现，人的大脑是有大约一百四十亿个神经元组成，每个神经元都与其它的神经元形成功能网络．人类对大脑的认识已经发展到泛脑网络阶段，泛脑网络学说认为，人的大脑可从宏观到微观分为回路、神经元群、神经元及分子序列4级层次的网络[3]．人的学习、记忆和思维正是通过这样一个网络系统来进行的．概念图的结构特征完好地符合了人脑的这一生理机制．

概念图可以表现出学习者对一个概念的不同解释．例如，对于梯形的定义，有人从字典中发现梯形的定义是一个封闭的4边形且有两条边是平行的；一些人认为梯形至少有一对平行边；另一些人则认为梯形只有一对平行边．这些不同的解释通过不同的连线语词而显现出来．

3.5 为参与逻辑推理提供契机

在思考概念之间的关联性时，学习者必定涉足演绎推理．例如，由学习者推断出，如果梯形至少有一对平行边，那么平行四边形必定是特殊的梯形，在概念图中，平行四边形是从属于梯形的．也有学习者推断出，如果梯形只有一对平行边，那么平行四边形就是四边形的一个分支，在概念图中，平行四边形与梯形处于同一级别，概念图中平行四边形的不同位置充分展现出数学包含个人解释． 3.6 促进对话以体现数学学习的交往过程

评价他人的概念图可以促进问题的提出和讨论．任何两个人所制作的概念图是不会完全一致的，至少在结构上会有一些差别，由此会为制作者之间展开讨论、争论与达成一致意见提供了对话场景，体现数学知识的建构是一个交往过程．例如，有人认为平行四边形可能是梯形的一个子集，而其他人则提出，梯形不能被认为是平行四边形的一个子集，那么到底哪个解释是正确的？这势必引发制作者进一步思考和讨论．

3.7 提升知识可变观

随着学习者对概念理解的不断加深，他们的概念图也随之发生变化．学习是一个主动的、不断发展的过程，比较某一主题先前和后来的概念图为这一事实提供了例证． 3.8 实践代数表示法

作概念图的空间常常是有限的，代数表示法可以简化比较繁琐的连接语词．例如，当表征加法和减法之间的关系时，采用连接语“要做A −B =? ，就思考B +? =A ”，这比起采用言语解释互补关系更为简捷． 3.9 提供一种有效的评价工具

从概念图中可以观察出制作者的认知结构的组织情形，可以观察出知识运用的熟练程度和效率，可以反映出学习者把握知识的特点和产生新知的能力，可获知学习者概念理解的深刻性和广阔性．因此，概念图可以有效地评价学习者的学习状况．

3 概念图在数学学习中的现实意义

3.1 激励学习者主动建构概念

概念图以简明扼要的形式把相关概念或原理表示出来，是一种对知识高度的浓缩．要制作出好的概念图，学习者必须搞清楚哪些是已有概念，哪些是新概念以及这些概念之间是什么关系且相关到什么程度等问题，然后用清晰语词来说明和描述这些关系．这样，在制作概念图的过程中，促使学习者有意识思考概念之间是如何相关联的，这实际是要求学习者在概念水平上思考问题，所以制作概念有助于学习者发展概念性理解．例如，要准确将梯形置于图中，学习者必须意识到梯形是四边形，要准确标注四边形与梯形之间的关系，学习者必须思考梯形与其它四边形的本质区别，即只有一组对边平行．

3.2 培养元认知知识和自主性

在制作概念图的过程中，通过对不同概念间关系的思考，学习者很快会意识到他们对哪些概念是不清晰的，哪些概念是完全理解的，这样，对于不清晰的概念，学习者通过把自己制作的概念图跟其他同学或老师制作的概念图做比较，就能使含糊不清的问题变得明朗，这种自我评价可以促使学习者推断出概念之间的关系、研究主题、探寻问题．例如，对于梯形的概念，学习者会清晰地意识到是完全不知呢，还是只有些模糊的想法呢，还是完全理解呢． 3.3 激发猜想并检验猜想

在对概念间关系进行标注时，能促进学习者做出推测并评判这些推测．例如，在一个小组中，几位学习者针对梯形的定义给出了不同的猜测，有人说梯形是4条边不等的四边形；也有人说梯形有两条边是平行的，另外两条边是相等的．为了检验后一种推测是否正确，一位学习者画了两个图形，并问老师它们是否都是梯形，令大家惊奇的是，老师说它们都是梯形．于是大家做出总结，梯形必有两条边是平行的，且4条边可以不等．

4 教学建议

概念图的制作没有严格的程序规范．但对于初学者，特别是文字运用能力较差的初学者而言，入门比较困难．以下建议对于概念图制作初学者可能有所裨益．

布置任务的形式由结构化逐渐转向弱结构化．开始的任务可以是验证，让学习者评价一个完整的概念图；也可以是

18 数 学 教 育 学 报 第13卷

添加任务，向已有概念图中添加一个概念或几个概念．随后，可以进行限定清单任务，只给学生一个概念名单和连接语词；也可以进行无限制的清单任务，给学生一个概念名单以及连接语词，学习者可以随意添加其它概念或连接语词，这样有利于向较难制作的任务过渡．

概念图制作时首先集中在一个主题，然后再与其它概念图或主题相连接，这样可使建构较庞大的概念图易于操作．

为了使初学者入门，教师首先组织整个班级对一个概念图进行评价、修改和完善，经过几次实践后，学习者会逐渐掌握概念图的制作逻辑．作概念图是一项富有挑战性的问题解决任务，采用小组合作学习可以减轻学习者的压力．同时，由于小组成员共同建构的概念图往往更适用于多种情境，学习者习惯画概念图之前，他们往往需要监督和反馈．例如，在作层级结构图时，需要提醒最一般的概念要放在顶部，最

具体的例子要放在底部．从以上可以看出，概念图的制作及其学习是一个建构的过程．

初学者标注的词语常常是难以区分的，如包含和相关联．尽管这些连接语词有时是正确的，但他们不能清晰地说明两个概念之间的关系，因此要鼓励学习者详尽地思考连接语词，以明确的连接语词来标注概念之间的关系．例如，以4条边相等作为矩形和正方形之间的连接语词，不仅揭示出矩形于正方形是相关联的，而且揭示出它们之间是如何相关联的．

总之，概念图有助于学生建构概念间的关系，从而加深概念理解．制作概念图需要学生清晰地描绘出概念间的关系，从而有意识促进学习者反思、猜测和推理概念意义和关系．对于培养有意义的数学学习和数学探究能力而言，概念图无疑是一种强有力的工具．

［参 考 文 献］

[1] [美] Douglas A Grouws. Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning [M]. New York: Macmillan

Publishing Company, 1992.

[2] 高文．教学模式论[M]．上海：上海教育出版社，2002．

[3] 沈德立．脑功能开发的理论与实践[M]．北京：教育科学出版社，2001．

Concept Maps and Its Realistic Significance in Mathematical Learning

WANG Xiong1 , TANG Fu-cheng2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200062, China;

2. School of Mathematics and Computer Science, Guangxi Normal University, Guangxi Guilin 541004, China) Abstract : Concept maps were tools for organizing and representing knowledge. There were given realistic significance about maps in mathematical learning, included encouraging active construction of concepts, fostering meta-cognitive knowledge and autonomy, motivating conjecture making and testing, underscoring personal interpretation, providing an opportunity to engage in logical reasoning, kindling dialogue and a perception of the construction of mathematical knowledge as a social process, promoting a view of knowledge as changeable, creating a need for practicing algebraic notation, providing a effective tool for assessing.

Key words: connections; concept maps; meaningful learning

[责任编校：周学智]