直线方程综合题
高考要求
理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握由一点和斜率导出直线方程的方法;掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程知识点归纳 1数轴上两点间距离公式:=x B -x A 2直角坐标平面内的两点间距离公式:P 1P 2=(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
3直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角
当直线和x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°
可见,直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
4直线的斜率:倾斜角α不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示,即k =tanα(α≠90°)
倾斜角是90°的直线没有斜率;倾斜角不是90°的直线都有斜率,其取值范围是(-∞,+∞)5直线的方向向量:设F 1(x 1,y 1)、F 2(x 2,y 2)是直线上不同的两点,则向量F 1F 2=(x 2-x 1,y 2-y 1)称为直线的方向向量向量y -y 11)=(1,k )也是该直线的方向向量,k 是直线的斜率F 1F 2=(1,2
x 2-x 1x 2-x 1x 轴的直线的一个方向向量为a =(0,1) 6求直线斜率的方法
①定义法:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则斜率k =tanα②公式法:已知直线过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则斜率k 21③方向向量法:若a =(m ,n )为直线的方向向量,则直线的斜率k =n m
对于直线上任意两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),当x 1=x 2时,直线斜率k 不存在,倾斜角α=90°;当x 1≠x 2时,直线斜率存在,是一实数,并且k ≥0时,α=arctank ;k <0时,α=π+arctan7直线方程的五种形式 点斜式:y -y 0=k (x -x 0) , 斜截式:y =kx +b
两点式:y -y 1x -x 1x y , 截距式:+=1 =a b y 2-y 1x 2-x 1
一般式:Ax +By +C =0
例2 已知两直线a 1x +b 1y +1=0和a 2x +b 2y +1=0的交点为P (2,3),求过两点Q 1(a 1,b 1)、Q 2(a 2,b 2)(a 1≠a 2)的直线方程分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答解:∵P (2,3)在已知直线上,
∴ 2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0∴2(a 1-a 2)+3(b 1-b 2)=0,即b 1-b 2=a 1-a 2∴所求直线方程为y -b 1=-2(x -a 1)3
∴2x +3y -(2a 1+3b 1)=0,即2x +3y +1=0点评:此解法运用了整体代入的思想,方法巧妙例3 一条直线经过点P (3,2),并且分别满足下列条件,求直线方程:
(1)倾斜角是直线x -4y +3=0的倾斜角的2倍;
(2)与x 、y 轴的正半轴交于A 、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点)分析:(2)将面积看作截距a 、b 解:(1)设所求直线倾斜角为θ,已知直线的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=tan θ=tan2α=1,48, 15从而方程为8x -15y +6=0(2)设直线方程为y x +=1,a >0,b >0, a b
623+=1≥2,得ab ≥24, ab b a 代入P (3,2),得
1ab ≥12, 223b 此时=,∴k =-b a a 从而S △AOB =
∴方程为2x +3y -12=0点评:此题(2)也可以转化成关于a 或b 的一元函数后再求其最小值例4 过点(2,1)作直线l 分别交x,y 轴正并轴于A ,B 两点(1)当ΔAOB面积最小时,求直线l 的方程;
(2)当|PA|⨯|PB|取最小值时,求直线l 的方程解:(1)设所求的直线l 方程为
由已知x y +=1(a >0,b>0), a b 21+=1a b ⎛21⎫+⎪1121
于是⨯≤ ⎪=, ∴S Δ AOB=ab ≥4,
2a b 2⎪4 ⎪⎝⎭2
211==, 即a =4,b=2时取等号, a b 2
x y 此时直线l 的方程为+=1, 即x+2y─4=042当且仅当
(2)解法一:设直线l :y─1=k(x─2),分别令y=0,x=0,得A(2─1,0), B(0,1─2k ) k
则|PA|⨯|PB|=(4+4k )(1+21122=≥4, 当且仅当k =1,即k=±1时, 取最小) 8+4(k +) 22k k
值,
又k
∴|PA|⨯|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ≥4,
∴当且仅当sin2θ=─1即θ=3π/4时,|PA|⨯|PB|取最小值4, 此时直线l 的斜率为─1,方程为x+y─3=0 点评:本题分别选用了截距式和点斜式,应根据条件灵活选用直线方程的形式例5 直线l 被两条直线l 1:4x+y+3=0和l 2:3x─5─5=0截得的线段中点为P (─1,2),求直线l 的方程
解:设点(a,b)在l 1上,依题意,(─2─a,4─b)在直线l 2上,
∴⎨⎧4a +b -3=0⎧a =-2 , 解之得:⎨ ⎩3(-2-a ) -5(4-b ) -5=0⎩b =5
由两点式得直线AB 的方程为:3x+y+1=0例6 已知两点A (-1,2)、B (m ,3)(1)求直线AB 的斜率k 与倾斜角α;
(2)求直线AB 的方程;
-1,-1],求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 3
π解:(1)当m =-1时,直线AB 的斜率不存在,倾斜角α=. 2
1当m ≠-1时,k =, m +1
1当m >-1时,α=arctan , m +1
1当m <-1时,α=π+arctan . m +1
(2)当m =-1时,AB :x =-1,
1当m ≠1时,AB :y -2=(x +1). m +1
π(3)①当m =-1时,α=; 2
②当m ≠-1时, (3)已知实数m ∈[-
31∈(-∞,-3]∪[,+∞), 3m +1
2ππππ∴α∈[,)∪(,]3622
2ππ故综合①、②得,直线AB 的倾斜角α∈[,]36
例7 求满足下列条件的直线l 的方程
⑴在y 轴上的截距为-3,且它与两坐标轴围成的三角形面积为6∵k =
⑵与直线2x -y +4=0的夹角为45,且焦点在x 轴上0
1x y +=1,由题意得⋅a ⋅-3=6,∴a =±4 2a -3
x y =1即3x -4y -12=0 当a =4时,直线l 的方程为+4-3
x y +=1即3x +4y +12=0 当a =-4时,直线l 的方程为-4-3解:⑴设直线的方程为
⑵直线2x -y +4=0交x 轴于点(-2,0),可设l 的方程为y =k (x +2) 公式有tan 45=012-k ,∴k =31+2k 或k =-
1∴l 的方程为y =(x +2) 或y =-3(x +2) , 3
即x -3y +2=0或3x +y +6=0点评:求直线方程时,可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式,再根据题中其他条
件确定方程中的待定系数小结:
1理解;直线方程有五种形式,其中点斜式要熟练掌握,这五种形式的方程表示的直线各有适用范围,解题时应注意不要丢解;含参数的直线方程问题用数形结合法常常简捷些3但又都有一些特定的限制条件,因此应用时要注意它们各自适用的范围,以避免漏解4据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键;克服各类方程局限性的手段是分类讨学生练习 π+y =0的倾斜角是 7
πA 71x tan
解析:k =-tan ππ6π6π=tan(π-)=tan且∈[0,π)7777
答案:D 21,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是 A 32 B - D 23解析:求出过(-1,1)、(3,9)两点的直线方程,令y =0即得答案:A 3x cos α+y +2=0的倾斜角范围是 πππ5ππ5π,)∪(,] B 0,]∪[,π) 622666
5ππ5πC [0,] D ,] 666A 解析:设直线的倾斜角为θ,
则tan θ=-1
cos α又-1≤cos α≤1, π5π≤tan
θθ∈[0,]∪[,π)366
答案:B ∴-4y =1与直线y =3x +3的夹角为___________ 解法一:l 1:y =1与l 2:y =3x +3的斜率分别为k 1=0
,k 2 tan α=|k 2-k 1|=,所以两直线的夹角为60°1+k 1k 2
解法二:l 1与l 2表示的图象为y =1与x 轴平行,y =3x +3与x 轴倾斜角为60°,所以y =1与y =3x +3的夹角为60°答案:60°
5P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示;②经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(x 2-x 1)(x -x 1)=(y 2-y 1)(y -y 1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程x y +=1表示;④经过定点A (0,a b
b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示其中真命题的个数是
A B D 解析:对命题①④,方程不能表示倾斜角是90°的直线,对命题③,当直线平行于一条坐 答案:B
6.过点(10,─4)且倾角的正弦为5/13(5x─12y─98=0或5x+12y─2=0);注意两种情况
7.过点(1,2)且与圆x 2+y2=1(x=1或3x─4y+5=0);8.若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限,则实数m 的取值范围是
(1/2≤m ≤1); 从直线的斜率或截距去观察9.过点A(2,1),且在x,y (x+y=3或y=x/2)10.如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位,再沿个单位,再沿y 轴正方向平移1个单位后,又回到原来的位置,那么直线l ( ─1/3解:由于将直线平移不影响其斜率的值, 故可设点O(0,0)在直线上,则依题意O 点经平移后的坐标为P(─3,1), 故直线l 过两点P,O, 求出斜率即可