电场强度的分析与计算

　　一、利用对称性求电场强度

　　例1 [N(N>1)]个电荷量均为[q(q>0)]的小球，均匀分布在半径为[R]的圆周上，如图1. 若移去位于圆周上[P]点的一个小球，则圆心[O]点处的电场强度大小为 ，方向 . （已知静电力常量为[k]）

　　[图1]

　　解析 若[N]个电荷量均为[q]的小球均匀分布在半径为[R]的圆周上，由对称性知，在圆心[O]点处的电场强度大小为0. 位于圆周上[P]点的一个小球在圆心[O]点处的电场强度大小为[EP=kqR2]，方向沿[PO]指向[O]点. 则剩下的[(N-1)]个小球在圆心[O]点处的电场强度E与[EP]等值反向，所以[E=kqR2]，方向沿[OP]指向[P]点.

　　评析 本题主要考查电场强度的概念，利用对称性思考突破难点，利用等效法发现[(N-1)]个小球和[P]点小球在圆心[O]点处的电场强度[E]与[EP]等值反向是解决问题的关键.

　　二、利用电势分布求电场强度

　　例2 如图2，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点[O]处的电势为0，点[A]处的电势为6V，点[B]处的电势为3V，则电场强度的大小为（ ）

　　[图2]

　　A．200V/m　　　　 B．200[3]V/m

　　C．100V/m　　　　 D．100[3]V/m

　　解析 在匀强电场中，[A、O]间的电势差为6V，取[AO]的中点为[C]，则[C]点的电势为3V. 连接[BC]，得到一条电势为3V的等势线. 过[O]点作[OD⊥BC]，垂足为[D]，则沿[DO]为电场线方向. 由图3可知[OB=3cm]，[CO=3cm]，设角[OBC]为[θ]，则[tanθ=OCOB=3]，得[θ=60°]. 所以[OD=OBsinθ=][1.5cm]，又[UDO=]3V，[E=UDOdDO=31.5×10-2]V/m，即[E]=200V/m.

　　[图3]

　　评析 解决本题的关键是要弄清匀强电场的电势分布特点：在互相平行的直线上，相等长度的两点之间的电势差必相等. 题中若[AC=CO]，则[UAC=UCO]，于是得[?C=3V]，从而得到[BC]是一条等势线，使问题有了突破口. 在匀强电场中，利用[E=Ud]求解电场强度时，应该特别注意物理量“[d]”的涵义是沿着电场线方向上两点间的距离.

　　三、以电场强度的分析与计算为载体，考查新课程三维目标

　　例3 如图4，半径为[R]的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为[σ]，其轴线上任意一点[P]（坐标为[x]）的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：[E=2πkσ1-x(R2+x2)12]，方向沿[x]轴. 现考虑单位面积带电量为[σ0]的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为[r]的圆板，如图5. 则圆孔轴线上任意一点[Q]（坐标为[x]）的电场强度为（ ）

　　[图4][图5]

　　A．[2πkσ0x(r2+x2)12] B．[2πkσ0r(r2+x2)12]

　　C．[2πkσ0xr] D．[2πkσ0rx]

　　解析 由题意知，半径为[R]的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为[σ]，其轴线上任意一点[P]（坐标为[x]）的电场强度为[E=2πkσ1-x(R2+x2)12]，方向沿[x]轴. 由此推知：当[x→0]时，[E=2πkσ]，方向沿[x]轴. 对于[x→0]，半径为[R]的均匀带电圆形平板相当于无限大. 则无限大均匀带电平板其周围的电场可以等效为匀强电场，且场强为[E=2πkσ]. 对于图5的单位面积带电量为[σ0]的无限大均匀带电平板在其周围产生的电场亦为匀强电场，场强为[E1=2πkσ0]，挖去的半径为[r]的圆板在[Q]点产生场强为[E2=2πkσ01-x(r2+x2)12]. 所以图5的圆板在[Q]点产生的场强为

　　[EQ=E1-E2]=[2πkσ0x(r2+x2)12]. 选A项.

　　评析 本题充分考查“提取信息的能力”. 题中告知的信息是：半径为[R]的均匀带电圆形平板，单位面积带电量为[σ]，其轴线上任意一点[P]（坐标为[x]）的电场强度为[E=2πkσ1-x(R2+x2)12]，方向沿[x]轴. 若同学们能意识到对于[x→0]，半径为[R]的均匀带电圆形平板相当于无限大，由此进一步推知，无限大均匀带电平板其周围的电场等效为匀强电场，且场强为[E=2πkσ]，这是解决问题的关键.

　　要解决本题，同学们必须根据已有的知识、物理事实和条件，运用恰当的方法，进行逻辑推理和论证，对自己所不熟悉的问题作出正确的判断，这需要具备相关的物理知识与技能，具有一定的质疑能力，具有判断有关信息是否科学可靠的意识，具备一定的信息加工能力. 这正是从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个维度对同学们的考查.

　　四、推测电场强度的大小和方向，凸显新课程科学探究理念

　　例4 如图6，待测区域中存在匀强电场和匀强磁场，根据带电粒子射入时的受力情况可推测其电场和磁场. 图中装置由加速器和平移器组成，平移器由两对水平放置、相距为[l]的相同平行金属板构成，极板长度为[l]、间距为[d]，两对极板间偏转电压大小相等、电场方向相反. 质量为[m]、电荷量为[+q]的粒子经加速电压[U0]加速后，水平射入偏转电压为[U1]的平移器，最终从[A]点水平射入待测区域. 不考虑粒子受到的重力.

　　[图6]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[待测区域]

　　（1）求粒子射出平移器时的速度大小[v1]；

　　（2）当加速电压变为[4U0]时，欲使粒子仍从[A]点射入待测区域，求此时的偏转电压[U]；

　　（3）已知粒子以不同速度水平向右射入待测区域，刚进入时的受力大小均为[F]. 现取水平向右为[x]轴正方向，建立如图所示的直角坐标系[Oxyz]. 保持加速电压为[U0]不变，移动装置使粒子沿不同的坐标轴方向射入待测区域，粒子刚射入时的受力大小如下表所示.

　　请推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向.

　　解析 （1）设粒子射出加速器的速度为[v0]，由动能定理，得[qU0=12mv20]

　　由题意，得[v1=v0]，即[v1=2qU0m].

　　（2）在第一个偏转电场中，设粒子的运动时间为[t]，加速度的大小为[a=qU1md]

　　在离开时，竖直分速度[vy=at]，竖直位移[y1=12at2]，水平位移[l=v0t]

　　粒子在两偏转电场间做匀速直线运动，经历时间也为[t]，竖直位移[y2=vyt]

　　由题意知，粒子竖直总位移[y=2y1+y2]

　　解得[y=U1l2U0d]

　　则当加速电压为[4U0]时，[U=4U1].

　　（3）(a)由沿[x]轴方向射入时的受力情况可知，磁感应强度[B]的方向一定平行于[x]轴. 且电场强度[E=F/q].

　　(b)由沿[±y]轴方向射入时的受力情况可知，[E]与[xOy]平面平行.

　　[F2 +f 2=(5f)2]，则[f=2F]且[f=qv1B]

　　解得[B=Fq2mqU0].

　　(c)设电场方向与[x]轴方向夹角为[α]，若[B]沿[x]轴正方向，由沿[z]轴方向射入时的受力情况，得

　　[(f+Fsinα)2+(Fcosα)2=(7F)2].

　　解得[α]=30°，或[α]=150°，即[E]与[xOy]平面平行且与[x]轴方向的夹角为30°或150°.

　　同理，若[B]沿[-x]轴方向，则[E]与[xOy]平面平行且与[x]轴方向的夹角为-30°或-150°.

　　评析 本题要求同学们根据所给出的现象来推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向. 同学们首先要根据试题提供的物理现象提出自己的猜想或假说，然后通过分析与论证，评估其合理性. 可见，解决本题的过程，就经历了一次科学探究的过程. 本题旨在考查同学们的科学探究能力，体现新课程改革的理念.