均值不等式及其运用
均值不等式及其运用(一)
主备人:韩玉杰 记录人:薛彦合 2011.10
教学目标
1. 了解基本不等式的证明过程,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 教学难点:基本不等式
等号成立条件,利用基本不等式
求最大值、最小值。
命题趋势:高考考察的重点内容之一, 题型多种多样, 涉及面广, 经常有综合性强\难度较大的题目出现.
学情分析:在不等式的基础上学习本节, 比较好理解掌握. 高考再现:(见后) 教学过程:
知识点一:2个重要不等式 1.重要不等式: 如果
,那么
(当且仅当
时取等号“=”).
2.基本不等式: 如果
是正数,那么
(当且仅当
时取等号“=”).
注意:
和
两者的异同:
(1)成立的条件是不同的:前者只要求
都是实数,而后者要求
都是正数;
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当
时取等号”。
(3)
可以变形为:
,
可以变形为:
.
知识点二:基本不等式的证明
1. 几何面积法
如图,在正方形
中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、
,那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积
的和是
,正方形
的面积为
。由于4
个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以:
。当直角三角形变为等腰直角三角形,即
时,正方形
缩为一个点,这时有
。
得到结论:如果,那么(当且仅当
时取等号“=”)
特别的,如果,, 我们用、
分别代替、,可得: 如果
,
, 则
,(当且仅当
时取等号“=”).
通常我们把上式写作:如果,, ,(当且仅当时取等号“=”)
2. 代数法
∵,
当时,; 当时,
. 所以
,(当且仅当时取等号“=”). 特别的,如果
,, 我们用
、
分别代替、,可得:
如果
,
, 则
,(当且仅当
时取等号“=”).
通常我们把上式写作:如果
,, ,(当且仅当时取等号“=”)
知识点三:基本不等式
的几何意义
如图,
是圆的直径,点
是
上的一点,
,
,过点
作
交圆于点D ,连
接
、
.
易证
,那么
,即
.
这个圆的半径为,它大于或等于,即,
其中当且仅当点与圆心重合,即
时,等号成立.
注意:
1.
在数学中,我们称为的算术平均数,称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2. 如果把
看作是正数
的等差中项,
看作是正数
的等比中项,那么基本不等式可以叙
述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
经典例题透析
类型一:基本不等式
的理解
1.
,
,给出下列推导,其中正确的有___________(填序号).
(1)
的最小值为
;
(2)的最小值为;
(3)的最小值为.
【答案】(1);(2)
(1)∵,,∴(当且仅当时取等号).
(2)∵,,∴(当且仅当时取等号).
(3)∵,∴,
(当且仅当即时取等号)
∵,与矛盾,∴上式不能取等号,即
【变式1】下列命题正确的是( )
A. 函数的最小值为2. B. 函数的最小值为2
C. 函数最大值为 D. 函数
的最小值为2
【答案】C
解析:A 选项中,∵,∴当时由基本不等式;
当
时
. ∴选项A 错误.
B选项中,∵
的最小值为2
(当且仅当
时,成立)
但是
,∴这是不可能的. ∴选项B 错误.
C选项中,∵
,∴
,故选项C 正确。
均值不等式及其运用(二)
主备人:韩玉杰 记录人:薛彦合 2011.10
教学目标
1. 了解基本不等式的证明过程,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;
2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
教学重点:会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 教学难点:基本不等式
等号成立条件,利用基本不等式
求最大值、最小值。
命题趋势:高考考察的重点内容之一, 题型多种多样, 涉及面广, 经常有综合性强\难度较大的题目出现. 学情分析:在不等式的基础上学习本节, 比较好理解掌握. 高考再现:(见后) 教学过程:
知识点一:用基本不等式
求最大(小)值
在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 ① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;
② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 知识点二:几个常见的不等式 1)
,当且仅当a=b时取“=”号。 2)
,当且仅当a=b 时取“=”号。
3)
;特别地:
;
4)
5);
6); 7)
规律方法指导
1.两个不等式:
与
成立的条件是不同的,前者要求a ,b 都是实数,后者要
求a ,
b 都是正数。如是成立的,而是不成立的。
2.两个不等式:
与
都是带有等号的不等式,对于“当且仅当„„时,取“=”
号这句话的含义要有正确的理解。
当a=b取等号,其含义是
;
仅当a=b取等号,其含义是。
综合上述两条,a=b是的充要条件。
3.基本不等式的功能在于“和积互化”。若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考
虑使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值则“积”有最大值。
4.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件:
①各项都是正数;②和(或积)为定值;③各项能取得相等的值。
5.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行:
①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;③在定义域内,求出函数的最大或最小值;④写出正确答案.
类型一:利用基本不等式求最值
1. 若, 求的最小值。 思路点拨: 和是应用基本不等式的两个前提条件;
解析:因为
,由基本不等式得
(当且仅当即时,取等号)
故当
时,
取最小值
.
总结升华: 1. 形如
(
,
,
)的函数的最值可以用基本不等式求最值 2. 利用
基本不等式求最值时, 每一项都必须为正数, 若为负数, 则添负号变正.
举一反三: 【变式1】若
, 求的最大值. 【答案】因为
, 所以
, 由基本不等式得:
, (当且仅当
即
时, 取等号)故当时, 取得最大值.
【变式2】已知,当取什么值时,函数的值最小?最小值是多少?
【答案】∵,∴,∴(当且仅当即时,取等号)
故当时,的值最小为18.
【变式3】求函数() 的最小值. 【答案】∵,∴∴
(当且仅当即时,取等号)故
当时,函数() 的最小值为32.
举一反三:
【变式4】已知
,求
的最大值.
【变式1】已知 【答案】∵时,
等号成立)∴
时,的最大值为4.
(当且仅当
,即
时,等号成立)故当
,
,,
,
,求,∴由
的最小值.
(等号当且仅当
时成立)故当
【答案】∵,∴,∴(当且仅当,即时,
的最小值为6.
,
,
,求
的最大值.
【变式2】已知 【答案】
2. 已知
(1
)若
, 求
的最小值;(2)若
, 求
的最大值。
解析:(1)方法一:∵且
, ∴
,即
(当且仅当
时取等
号) ∴
,
的最小值为4.
方法二:∵且, ∴
,即
(当且仅当
时取等号)
∴
,
的最小值为4.
(2)方法一:
∵,∴
,即
(当且仅当
时取等号)∴
,
的最大值为4.
方法二:∵
,∴,(当且仅当时取等号)∴,的最大值为
4.
方法三:∵,, ∴(当且仅当时取
等号)∴,
的最大值为4.
总结升华:
1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,
即若
,且
,
为定值,则
,
等号当且仅当时成立.
2. 两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,
即若,且
,为定值,则
,
等号当且仅当
时成立.
解法一:∵
,
,,
∴
(当且仅当即
时,等号成立)
故当时,
的最大值为16.
解法二:∵
,,
,
即,可得,(当且仅当时,等号成立)
故当
时,
的最大值为16.
【变式3】若实数满足
则
的最小值是___________.
【答案】
,即
的最小值是6.
3. 已知x >0,y >0,且
,求x+y的最小值。
思路点拨: 巧用中的“1”,为应用基本不等式创造条件。
解析:
方法一:∵,∴
∵x >0,y >0,∴
(当且仅当
,即y=3x时,取等号)
又,∴x=4,y=12 故当
,时,的最小值为16.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16。 方法二:由
,得
类型二:利用基本不等式证明不等式
4. 已知
, 求证
。
∵x >0,y >0,∴y >9
思路点拨:因为, 所以可把和分别看作基本不等式中的和, 直接利用基本不等式。
∵y >9,∴y -9>0,
∴
(当且仅当
,即y=12时,取等号,此时x=4)
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16。
举一反三:
【变式1】若, , 且, 求
的最小值 .
【答案】∵
,
,
∴
(当且仅当即
,
时,等号成立)
∴(当且仅当,时,等号成立)
故当,
时,的最小值为64.
【变式2】若,
, 且, 求
的最小值 .
【答案】∵
, ,
∴
(当且仅当时,取等号)
解析:因为
, 所以,
(当且仅当
,即时,取等号)
总结升华:前提条件:和=144(定值).
举一反三:
【变式1】已知
,求证:
【答案】
(当且仅当
即, 等号成立).
【变式2】已知、都是正数,求证:
。
【答案】∵、都是正数 ,∴
,
,
∴(当且仅当即时, 等号成立)
故
.
5. 已知、、
都是正数,求证:
是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为
. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
思路点拨:选择
(
,
)灵活变形,可求得结果.
解析:∵、、都是正数 ∴ (当且仅当
时,取等号)
(当且仅当
时,取等
号)
(当且仅当
时,取等号)
∴
(当且仅当时,取等号)即
.
总结升华: 1. 在运用
时,注意条件、均为正数,结合不等式的性质,进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式,以便于利用基本不等式。 举一反三: 【变式1】证明:
【答案】方法一:∵,(当且仅当
,
时,取等号)
∴(当且仅当
时,取等号); 方法二:∵(当且仅当
,
时,取等号)
∴
.
【变式2】已知、都是正数,求证:.
【答案】∵、都是正数,∴,
,
,
,
,
(当且仅当时,取等号)
(当且仅当
时,
取等号)(当且仅当
时,取等号)
∴
(当且仅当
时,取等号)
即
.
类型三:基本不等式在实际问题中的应用
7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位:) 的矩形. 上部
解析:由题意可得
, ∴
。
于是,框架用料长度为
。 当
,即
时等号成立。 此时,
,
。
故当约为2.343 m,约为2.828 m时用料最省。 总结升华:
用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.
举一反三:
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元. 并规定不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次. 某班有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少学生,每次的包车费为40元. 要使每个学生游8次,每人最少交多少钱? 【答案】设购买x 张游泳卡,活动开支为y 元,
则
(当且仅当x=8时取“=”)
此时每人最少交80元.
【变式2】某农场有废弃的猪圈,留有一面旧墙长12m, 现准备在该地区重新建立一座猪圈,平面图为矩形,面积为,预计(1)修复
旧墙的费用是建造
新墙费用的
,(2)拆去
旧墙用以
改造建成
新墙的费用是建新墙的
,(3)为安装圈门,要在围墙的适当处留出的空缺。
试问:这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙,才能使所需的总费用最小? 【答案】显然,使旧墙全部得到利用,并把圈门留在新墙处为好。
设修复成新墙的旧墙为 ,
则拆改成新墙的旧墙为,
于是还需要建造新墙的长为
设建造
新墙需用元,建造围墙的总造价为元,
则
(当且仅当即时,等号成立) 故拆除改造旧墙约为
米时,总造价最小.
课后习题
1. 已知a ,b 都是正数,则a +b
a +b 2、
2
的大小关系是 。 2. 已知
1m +2
n
=1(m >0, n >0), 则mn 的最小值是3. 已知:2x
+2y
=6, 则 2
x +y
的最大值是___
4 某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站__________5. 已知正数x 、y 满足xy =x +y +3,则xy 的范围是
6. 给出下列命题:
①a,b 都为正数时, 不等式
a+b≥y=x+1
x
的最小值为2。 ③y=sinx+
2sin x
(0
π
2) 的最小值为④当x>0时,y=x2
+16x≥当x 2
=16x 时,即x=16,y取最小值512。其中错误的命题是 。 7. 已知正数x , y 满足x +2y =1, 求
11
x +y
的最小值有如下解法: 解:∵x +2y =1且x >0, y >0. ∴111x +y =(x +1y )(x +2y ) ≥21xy
⋅22xy =42 ∴(
1x +1
y ) min =42. 判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确,请给出正确解法. 8. 已知1a +4
b
=1,且a>0,b>0,求a+b最小值。
9. 已知x >0,函数y =2-3x -4
x
有 值是 .
10.设x >-1,则函数y =x +4
x +1
+6的最小值是 。 11. 函数y =x +
4
x
的值域是 。 7. 已知a 、b 是正数,且a x b
y
1(x ,y ∈R +,求证:x +y ≥a b ) 2.
12.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元,试计算: (1)仓库面积S 的最大允许值是多少?
(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长? 13、若实数x ,y 满足x 2+y 2=4,求xy 的最大值 14、若x>0,求f (x ) =4x +
9
x
的最小值; 15、若x
1
x 的最大值 16、若x
x 的最大值
17、求f (x ) =4x +9
x -5
(x>5)的最小值.
18、若x ,y ∈R +
,x+y=5,求xy 的最值 19、若x ,y ∈R +,2x+y=5,求xy 的最值
20、已知直角三角形的面积为4平方厘米,求该三角形周长的最小值
21、求y =
1
x -3
+x (x >3) 的最小值. 22、求y =x (5-x ) (0
23、求y =x (1-4x )(0
4
) 的最大值。
24、求y =12
x
+3x (x 2,求y =2x -5+1
x -2
的最小值
26、若x
x
的最大值。
27、求y =2的最小值.
28(1)用篱笆围成一个面积为100m 2
的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?
(2)段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?