如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一.三象限的角平分线

1、 (06年树人期末，14分) 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为直角梯形，OA

∥BC ，BC ＝14，A （16，0），C （0，2）。（单位：厘米）

1、 若点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 以2cm/s速度由C 向B 运动，点Q 以4cm/s

速度由A 向O 运动，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动。设运动时间为t s(0≤t

（1） 求当t 为多少时，四边形PQAB 为平行四边形；

（2） 求当t 为多少时，直线PQ 将梯形OABC 分成左右两部分的面积比为1：2，

求出此时直线PQ 的解析式；

2、 若点P 、Q 为线段BC 、AO 上任意两点（不与线段BC 、AO 的端点重合），且四边

形OQPC 的面积为10cm ，试说明直线PO 一定经过一定点，并求出定点坐标

2

2、 (07年树人期末，14分) 如图①，在矩形 ABCD 中，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ．点P

从A 出发，沿A 、B 、C 、D 路线运动，到D 停止；点Q 从D 出发，沿 D →C →B →A 路线运动，到A 停止．若点P 、点Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度变为每秒dcm ．图②是点P 出发x 秒后上△APD 的面积S 1（cm ）与x （秒）的函数关系图象；图③是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积S 2（cm ）与x （秒）的函数关系图象． ⑴ 参照图②，求a 、b 及图②中c 的值； ⑵ 求d 的值；

⑶ 设点P 离开点A 的路程为y 1（cm ），点Q 到点A 还需走的路程为y 2（cm ），请分别写出动点P 、Q 改变速度后y 1、y 2与出发后的运动时间x （秒）的函数关系式，并求出P 、Q 相遇时x 的值．

⑷ 当点Q 出发

秒时，点P 、点Q 在运动路线上相距的路程为25cm ．

2

2

3、 (08年树人期末，14分)

1、 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线。 （1） 实验与探究

由图观察易知A(0,2)关于直线l 的对称点A ’的坐标为（2,0），请在图中分别标明B(5,3)、C （-2,5）关于直线l 的对称点B ’、C ’的位置，并写出他们的坐标：B ’、C ’。 （2） 归纳与发现：

结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内作一点P （a ，b ）关于第一、三象限角平分线l 的对称点P ’的坐标为 （不必证明） （3） 运用与拓展：

已知点D(1,-3),E（-1,-4）。

① 试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出点Q 的坐标。

② M 、

N 是直线l 上的两动点，且MN ，求使四边形DEMN 周长最小时M 、N 两点的坐标。

4、 （09年树人期末，本题14分本题）如图①所示，直线L ：y=ax+10a与x 轴负半轴、y 轴正

半轴分别交于A 、B

两点。

（1）当OA=OB时，试确定直线L 的解析式；

（2）在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点

分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=8，BN=6，求MN 的长。

（3）当a 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶

点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连接EF 交y 轴于P 点，如

图③。问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出

其值，若不是，说明理由。

5、 （2009年衡阳市）如图，直线y =-x +4与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线

段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ． （1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？

（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移

的距离为a （0

）

图（2

）

图（

3）

6、 （09湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴、y 轴分别相

交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，设运动时间为t 秒（0

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；

（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2， ①当2

间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 面积的

5

？ 16

7、 （2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别

在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点. 现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y =x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y =x 于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形OABC 旋转的度数；

（3）设∆MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.

x

8、 （2010年金华） (本题12分)

如图，把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中，A ，B 两点坐标分别为

（3

，0）和(0，. 动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P 在AO ，

OB ，BA 上运动的速度分别为12 (长度单位/秒) ﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开始以

3

3

(长度单位/秒) 的速度向上平行移动（即移动过程中保持l ∥x 轴），且分别与OB ，AB 交于E ，F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发，运动时间为t 秒，当点P 沿折线AO -OB -BA 运动一周时，直线l 和动点P 同时停止运动．

请解答下列问题：

（1）过A ，B 两点的直线解析式是；

（2）当t ﹦4时，点P 的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P 与点E 重合； （3）① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为 菱形，则t 的值是多少？

② 当t ﹦2时，是否存在着点Q ，使得△FEQ ∽△BEP ? 若存在, 求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

(第24题

9、 （2010，浙江义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC

上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .

（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ ▲ °，猜想∠QFC ＝ ▲ °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝23，设BP ＝x ，点Q 到射线BC

的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

Q

A

A

B

F 图1

P C

B

P

Q

F

图2

图3

答案：

第8题：解：（1）y =-3x +33；………4分

（2）（0, 3），t =

（3）①当点P 在线段AO 上时，过F 作FG ⊥x 轴，

G 为垂足（如图1）

9

；……4分（各2分） 2

(图1)

∵OE =FG , EP =FP , ∠EOP =∠FGP =90° ∴△EOP ≌△FGP ，∴OP =PG ﹒

又∵OE =FG =

FG 13

t , ∠A =60°, ∴AG ==t 3tan 6003

2

而AP =t ，∴OP =3-t , PG =AP -AG =t

3

29

由3-t =t 得 t =；………………………………………………………………1

35

分 当点P 在线段OB 上时，形成的是三角形，不存在菱形；

当点P 在线段BA 上时，

过P 作PH ⊥EF ，PM ⊥OB ，H 、M

∵OE =

BE t 33

t ,

∴BE =33-t , ∴EF = =3-0333tan 60

19-t

， 又∵BP =2(t -6) EF =

26

∴MP =EH =

在Rt △BMP 中，BP ⋅cos 60=MP 即2(t -6) ⋅分

②存在﹒理由如下：

∵t =2，∴OE =

2

3, AP =2，OP =1 3

19-t 45

，解得t =．…………………………………………………1=

267

将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到

△B 'EC （如图3）

∵OB ⊥EF ，∴点B '在直线EF 上， 22

C 点坐标为（3，3－1）

33

过F 作FQ ∥B 'C ，交EC 于点Q ,

则△FEQ ∽△B 'EC

由

BE B 'E CE 32

===3，可得Q 的坐标为（－，）………………………1分 FE FE QE 33

根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q '（－

2

，3）也符合条件．……1分 3

第9题【答案】（1）∠EBF = 30°. ∠QFC ＝ 60° （2）∠QFC ＝

60°

不妨设BP , 如图1所示

∵∠BAP ＝∠BAE+∠EAP ＝60°+∠EAP ∠EAQ ＝∠QAP+∠EAP ＝60°+∠EAP ∴∠BAP ＝∠EAQ

在△ABP 和△AEQ 中 AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ， AP ＝AQ ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ） ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°

∴∠BEF =180︒-∠AEQ -∠AEB =180︒-90︒-60︒=30︒ ∴∠QFC ＝∠EBF +∠BEF ＝30°+30°＝60°

(事实上当BP 时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3) 在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G ∵△ABE 是等边三角形

∴BE ＝AB ＝23，由（1）得∠EBF =30°

BE BG

= ∴BF ＝=2 ∴EF ＝2 2cos30︒

∵△ABP ≌△AEQ ∴QE ＝BP ＝x ∴QF ＝QE ＋EF =x +2 过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H

在Rt △BGF 中，BG =

在Rt △QHF 中，y =QH =sin 60︒QF =

x +

2) （x ＞0）

即y 关于x 的函数关系式是：y =

第4题答案 10、 11、

x +2