假日旅乐园

1. “假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图，其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的

平台(点P在y轴上)．滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点，且点B到水面的距离BE=2m，点B到y轴的距离是5m．当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离CG=m，与点B的水平距离CF=2m．

(1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围．

(2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围．

(3)小明从点B滑水面上点D处时，试求他所滑过的水平距离d．

2. 如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒一个单位长的速度

运动t秒(t＞0)，抛物线y=-x2+bx经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0)，B(3，0)，D(1，3)．

(1)求b的值(用t的代数式表示)；

(2)当3＜t＜4时，设抛物线分别与线段AD，BC交于点M，N．

①设直线MP的解析式为y=kx+m，在点P的运动过程中，你认为k的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出k的值；

②在点P的运动过程中，当OM⊥MN时，求出t的值；

(3)在点P的运动过程中，若抛物线与矩形ABCD的四条边有四个交点，请直接写出t的取值范围．

3. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直

线l过点A(-2，0)，且和⊙B相切，与y轴相交于点C．

(1)求直线l的解析式；

(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)经过点O和B，顶点在⊙B上，求抛物线的解析式；

(3)若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

4. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，对称轴与抛物线相交

于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，

B两点，点B的坐标为(3，0)，直线y=-x+3恰好经过B，C两点

(1)写出点C的坐标；

(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；

(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

7. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA

运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．

(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；

(3)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

8. (2006•岳阳)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是边AB上一动点，过点E

作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M．

(1)请判断△DMF的形状，并说明理由．

(2)设EB=x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出x的取值范围．

9. 已知：点A(6，0)，B(0，3)，线段AB上一点C，过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y

轴于E，若四边形ODCE为正方形．

(1)求点C的坐标；

(2)若过点C、E的抛物线y=ax2+bx+c的顶点落在正方形ODCE内(包括四边形上)，求a的取值范围；

(3)在(2)题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式．

10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过A(0，-4)、B(x1，0)、C(x2，0)

三点，且x2-x1=5．

(1)求b、c的值；

(2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

(3)在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由．

11. 如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A(1，1)、B(3，1)．动

点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒(0＜t＜4)，△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．

(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式；

(2)求S与t的函数关系式；

(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

12. 如图，抛物线y=-x2+(m+2)x-3(m-1)交x轴于点A、B(A在B的右边)，直线y=(m+1)x-3

经过点A．若m＜1．

(1)求抛物线和直线的解析式；

(2)直线y=kx(k＜0)交直线y=(m+1)x-3于点P，交抛物线y=-x2+(m+2)x-3(m-1)于点M，过M点作x轴垂线，垂足为D，交直线y=(m+1)x-3于点N．问：△PMN能否为等腰三角形？若能，求k的值；若不能，请说明理由．

13. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于

点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点坐标是(4，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．