单元滚动检测卷(四)

单元滚动检测卷(四)

[测试范围：第六单元及第七单元 时间：120分钟 分值：150分]

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题(本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各小题中唯一的 正确选项，不选、多选、错选，均不得分)

1．如图4－1，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是 ( D

)

图4－1

A．70° B．55° C．50° D．40° 2．如图4－2中的四个图中，∠1大于∠2的是

( D

)

图4－2

3．如图4－3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点E，F分别为AC和AB的中点，则EF＝

( A

)

图4－3

A．3 B．4 C．5 D．6

【解析】 ∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝10－8＝6.

∵点E，F分别为AC，AB的中点， ∴EF是△ABC的中位线， 11

∴EF＝2＝26＝3. 故选A.

4．如图4－4，一架梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为1米，则梯子顶端A下落了

( A

)

图4－4

A．1米

B．2米

C．3米

D．5米

解：在Rt△ABC中，AB＝5米，BC＝3米，根据勾股定理得AC＝AB－BC＝4米，

Rt△CDE中，ED＝AB＝5米，CD＝BC＋DB＝3＋1＝4米， 根据勾股定理得CEDE－CD＝3米， 所以AE＝AC－CE＝1米， 即梯子顶端下滑了1米．

5．如图4－5，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为( C

)

图4－5

A．3 cm

B．4 cm

C．5 cm

D．6 cm

【解析】 ∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝15°，

∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝15°＋15°＝30°， 11

∴在Rt△ACD中，AD＝2＝210＝5(cm)．

6．如图4－6，AD，BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为

( B

)

图4－6

A．2

B．3

C．4

D．5

【解析】 ∵AD，BE是锐角△ABC的高， ∴∠ACB＋∠DBO＝∠ACB＋∠DAC＝90°， ∴∠DBO＝∠DAC.

又∵BO＝AC，∠BDO＝∠ADC＝90°， ∴△BDO≌△ADC， ∴BD＝AD，DO＝CD. ∵BD＝BC－CD＝5， ∴AD＝5，

∴AO＝AD－OD＝AD－CD＝3.

7．如图4－7，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为

( C

)

图4－7

A．20

B．12

C．14

D．13

【解析】 ∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，

1

∴AD⊥BC，CD＝BD＝2＝4. ∵点E为AC的中点， 1

∴DE＝CE＝2＝5，

∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.故选C.

8．如图4－8，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是

( B

)

图4－8

A．AB＝BE

B．AD＝DC D．AD＝EC

C．AD＝DE

【解析】 根据折叠的性质可得AD＝DE＝EC，AB＝BE，显然DC是等腰Rt△DEC的斜边，不可能有DC＝DE＝AD，故选B.

9．如图4－9所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是( D

)

图4－9

A．∠B＝∠C

B．AD＝AE D．DC＝BE

C．∠ADC＝∠AEB

10．如图4－10，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连结BD.下列结论错误的是

( C

)

图4－10

A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC C．S△BCD＝S△BOD

D．点D为线段AC的黄金分割点 【解析】 A．∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝72°，

∴∠C＝2∠A，故本选项结论正确； B．∵DO是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝36°，

∴∠DBC＝72°－36°＝36°＝∠ABD， ∴BD是∠ABC的角平分线，故本选项结论正确；

C．根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD的面积相等，故本选项结论错误；

D．∵∠C＝∠C，∠DBC＝∠A＝36°， ∴△CBD∽△CAB， BCCD∴ACBC ∴BC2＝CD·AC.

∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠BDC＝72°＝∠C， ∴BC＝BD. 又∵AD＝BD， ∴AD＝BC， ∴AD2＝CD·AC，

即点D是线段AC的黄金分割点，故本选项结论正确． 故选C.

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)

11．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中

一艘船的距离．如图4－11，B是观察点，船A在B的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△EDC的方法是__ASA__．

图4－11

【解析】 在△ABC和△EDC中，

⎧∠ABC＝∠EDC＝90°

⎨BC＝DC

⎩∠ACB＝∠ECD

∴△ABC≌△EDC(ASA)， ∴DE＝AB.

12．四边形ABCD中，AD＝BC，AC与BD相交于点E，若添加下列四个条件：①BD＝AC，②AB∥CD；③∠BCA＝∠ADB，④AE＝EB中的一个条件，能使得△ABD一定全等于△BAC，则添加的这个条件是__①③__(填写正确条件的序号)．

图4－12

【解析】 ①添加BD＝AC时， ∵在△ABD和△BAC中，

⎧AD＝BC，⎨AB＝AB， ⎩BD＝AC，

∴△ABD≌△BAC(SSS)； 故此选项正确；

②当四边形为平行四边形即不成立； ③∵在△ADE和△BCE中，

⎧∠ADB＝∠BCA，⎨∠AED＝∠BEC， ⎩AD＝BC，

∴△ADE≌△BCE(AAS)， ∴AE＝BE，DE＝EC， ∴BD＝AC.

在△ABD和△BAC中，

⎧AD＝BC，

⎨∠ADB＝∠BCA， ⎩BD＝AC，

∴△ABD≌△BAC(SAS)． 故此选项正确；

④当AB不平行于CD，无法证明全等，故此选项错误．

13．如图4－13，在△ABC中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则△ACD的周长为

图4－13

【解析】 △ACD的周长为AD＋DC＋AC，又因为DE垂直平分BC，所以DC＝BD，所以AD＋DC＋AC＝AD＋BD＋AC＝AB＋AC＝5＋3＝8(cm)．

图4－14

14．如图4－14，∠DEF＝60°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A＝度． 【解析】 ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠ACB，

∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝2∠A. ∵BC＝CD＝DE＝EF，

∴同理可得∠DCE＝∠A＋∠ADC＝3∠A， ∠EDF＝∠A＋∠AED＝4∠A. ∵DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝4∠A＝60°， ∴∠A＝15°.

15．如图4－15，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D.若AC＝6 cm，则AD＝

__2__cm.

图4－15

【解析】 连接BD.

第15题答图

∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝180°－∠ABC＝30°， ∴DC＝2BD.

∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD＝BD，

∴DC＝2AD. 又∵AC＝6， 1

∴AD＝36＝2.

16．如图4－16是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，„，然后依此类推，若正方形①的边长为64 cm，则第4个正方形的边长为

图4－16

【解析】 根据题意：第一个正方形的边长为64 cm； 2

第二个正方形的边长为264＝322(cm)； 2

第三个正方形的边长为2322＝32(cm)； „„

2

此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的2 2⎫n－1

所以第n个正方形的边长为64× ⎪(cm)，

⎝2⎭2⎫3

则第4个正方形的边长为64× ⎪＝2 cm.

⎝2⎭

三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23 题每题12分，第24题14分，共80分)

17．如图4－17，在△ABC中，已知∠ABC＝46°，∠ACB＝80°，延长BC至D，使CD＝CA，连结AD，求∠BAD的度数．

图4－17

解：∵∠ACB＝80°，

∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－80°＝100°. 又∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠D. ∵∠ACD＋∠CAD＋∠D＝180°， ∴∠CAD＝∠D＝40°，

∴∠BAD＝180°－∠ABC－∠D＝180°－46°－40°＝94°.

18．如图4－18，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB，BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B＝30°，求∠C的度数．

图4－18

解：∵DE是AB边的垂直平分线， ∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠1. 又∵∠B＝30°， ∴∠1＝30°. 又∵AE平分∠BAC，

∴∠2＝∠1＝30°，即∠BAC＝60°， ∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝90°.

19．如图4－19，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.

图4－19

证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C.

⎧AB＝AC，

在△ABD与△ACE中，⎨∠B＝∠C，

⎩BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE.

20．如图4－20，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE

.

图4－20

【解析】 证明BD，CE所在的两个三角形全等．

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°.

在Rt△ABD和Rt△ACE中，

∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.

121．如图4－21，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到D，使AD＝2，点

E、F分别为边BC、AC的中点．

(1)求证：DF＝BE；

(2)若CF＝2，CE5.求tan∠ADF.

图4－21

解：(1)证明：∵F，E是AC，BC的中点，

1∴FE＝2，BE＝CE，AF＝FC.

1又∵AD＝2，

∴AD＝FE.

又∵∠DAF＝∠CFE＝90°，AF＝FC，

∴△DAF≌△EFC，

∴DF＝EC，

∴DF＝BE.

(2)由(1)知△DAF≌△EFC，

∴∠ADF＝∠FEC.

∵CF＝2，CE＝5，∠CFE＝90°，

∴EF＝1，

∴tan∠ADF＝tan∠CEF＝2.

22．如图4－22，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交

1AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于2长为半径作圆弧，

两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M

.

图4－22

(1)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；

(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.

解：(1)∵AB∥CD，

∴∠ACD＋∠CAB＝180°，

又∵∠ACD＝114°，

∴∠CAB＝66°.

由作法可知，AM是∠CAB的平分线，

1∴∠MAB＝2CAB＝33°.

(2)证明：由作法可知，AM是∠CAB的平分线，

∴∠MAB＝∠CAM.

∵AB∥CD，

∴∠MAB＝∠CMA，

∴∠CAM＝∠CMA.

∵CN⊥AM，

∴∠CNA＝∠CNM＝90°，

又∵CN＝CN，

∴△ACN≌△MCN.

23．如图4－23，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．

图4－23

【解析】 连结BD，构造全等三角形，利用勾股定理求解．

解：连结BD，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC边上的中点，

1∴∠ABD＝2ABC＝45°＝∠A＝∠C，

∠ADB＝∠CDB＝90°.

又∵∠EDF＝90°，

∴∠EDB＋∠BDF＝∠BDF＋∠CDF＝90°，

∴∠EDB＝∠CDF.

又∵∠EBD＝∠DCF＝45°，

1BD＝2＝CD，

∴△EBD≌△FCD，

∴BE＝FC＝3.

又∵AE＋BE＝BF＋FC，

∴AE＝BF＝4，

∴在Rt△EBF中，EF＝BE＋BF＝5.

24．如图4－24，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足分别为E，F.

(1)如图①，过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE＋CF；

(2)如图②，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求EF的长．

图4－24

解：(1)证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，

∴∠EAB＋∠CAF＝90°，∠EBA＋∠EAB＝90°，

∴∠CAF＝∠EBA.

⎧∠BEA＝∠AFC＝90°，

在△ABE和△AFC中，⎨∠EBA＝∠CAF，

⎩AB＝AC，

∴△BEA≌△AFC，

∴EA＝FC，BE＝AF，

∴EF＝EA＋AF＝FC＋BE.

(2)∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，

∴∠EAB＋∠CAF＝90°，∠ABE＋∠EAB＝90°， ∴∠CAF＝∠ABE.

⎧∠BEA＝∠AFC＝90°，

在△ABE和△ACF中，⎨∠EBA＝∠CAF，

⎩AB＝AC，

∴△BEA≌△AFC，

∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10，

∴EF＝AF－EA＝10－3＝7.