混泥土结构(第四版)第四章答案

第4章 受弯构件的斜截面承载力

4.1钢筋混凝土简支梁，截面尺寸b ⨯h =200mm ⨯500mm ，a s =35mm ，混凝土

为C30，承受剪力设计值V =1. 4⨯105N ，环境类别为一类，箍筋采用HPB235，求所需受剪箍筋。

解：查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f yv =210N /mm

（1）验算截面尺寸

h w =h 0=500-35=465mm

2

h w b

=

465200

=2. 325

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯200⨯465=332475N >V =140000N 截面符合要求。

（2）验算是否需要按计算配置箍筋

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯200⨯465=93093N

故需要进行配箍计算。 （3）计算箍筋

2

箍筋采用6，双肢箍，则A sv 1=28. 3mm

V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv

1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0

nA sv 1

s

h 0

s ==

1. 25⨯210⨯2⨯28. 3⨯465

140000-93093

=147mm

取s =120mm

故箍筋为6@120，双肢箍。 验算：ρsv =

nA sv 1bs

=

2⨯28. 3200⨯120

f t f yv

=0. 236%

1. 43210

ρsv min =0. 24

=0. 24⨯

=0. 163%

4.2梁截面尺寸同上题，但V =6. 2⨯104N 及V =2. 8⨯105N ，应如何处理？

解：查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f yv =210N /mm

a. 当V =6. 2⨯104N 时 （1）验算截面尺寸

h w =h 0=500-35=465mm

2

h w b

=

465200

=2. 325

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯200⨯465=332475N >V =62000N 截面符合要求。

（2）验算是否需要按计算配置箍筋

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯200⨯465=93093N >V

故只需按构造选取配箍即可。箍筋选用6@200，双肢箍。 b. 当V =2. 8⨯105N 时 （1）验算截面尺寸

h w =h 0=500-35=465mm

h w b

=

465200

=2. 325

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯200⨯465=332475N >V =280000N 截面符合要求。

（2）验算是否需要按计算配置箍筋

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯200⨯465=93093N

故需要进行配箍计算。 （3）计算箍筋

2

箍筋采用10，双肢箍，则A sv 1=78. 5mm

V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv

nA sv 1

s

h 0

s =

1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0

=

1. 25⨯210⨯2⨯78. 5⨯465

280000-93093

=102. 5mm

取s =100mm ，故箍筋为φ10@100，双肢箍。

nA sv 1bs

2⨯78. 5200⨯100

f t f yv

验算：ρsv =

==0. 785%

ρsv min =0. 24

=0. 24⨯

1. 43210

=0. 163%

4.3钢筋混凝土梁如图4-39所示，采用C30混凝土，均布荷载设计值

q =40kN /m

，纵筋采用HRB335，箍筋采用HPB235，根据活荷载的不利布置作

出梁的弯矩包络图、剪力包络图，并设计该梁，给出材料抵抗弯矩图，画出梁的抽筋图。

解：（1）作梁的内力图

梁自重q Gk =25⨯0. 2⨯0. 4=2kN /m 进行荷载组合，由可变荷载效应控制的组合：

q =1. 2⨯2+1. 4⨯40=58. 4kN /m

由永久荷载效应控制的组合：

q =1. 35⨯2+1. 4⨯40⨯0. 7=41. 9kN /m

取最不利荷载效应组合q =58. 4kN /m 进行梁的设计。 活荷载分布在梁的AB 跨时梁的内力图：

B C

145.887

130.536

M 图（kN ⋅m ）

4.32

A — B C

V 图（kN ）

132.264

活荷载分布在梁的BC 跨时梁的内力图：

A B C

M 图（kN ⋅m ）

105.120

A + C

15.624

V 图（kN ）

活荷载分布在梁的AB 、BC 跨时梁的内力图：

94.608 A B C

104.305

M 图(kN ⋅m ）

110.376

+

+ 152.424

V 图(kN ）

下面给出梁的弯矩包络图和剪力包络图：

A — B C

94.608

B C

145.887

M 图（kN ⋅m ）

A B C 15.624 152.424

V 图（kN ）

（2）正截面计算

B 支座抵抗负弯矩钢筋的计算： αs =

M

=

94. 608⨯10

6

2

α1f c bh 0

2

1. 0⨯14. 3⨯200⨯365

=0. 248

ξ=1--2αs =1--2⨯0. 248=0. 29

1+

-2αs 2

1+

-2⨯0. 248

2

6

γs =

==0. 855

A s =

M f y γs h 0

=

94. 608⨯10

300⨯0. 855⨯365

=1011mm

2

选用3

2

25 A s =1473mm

AB 跨中在活荷载作用位置不确定的时候，可能为正弯矩，也可能为负弯矩。AB 跨中抵抗负弯矩钢筋选用2

2

25（A s =982mm ），经过计算可以满足要求。

AB 跨中承受正弯矩钢筋的计算： αs =

M

=

145. 887⨯10

6

2

α1f c bh

2

1. 0⨯14. 3⨯200⨯365

=0. 383

ξ=1--2αs =1--2⨯0. 383=0. 516

1+

-2αs 2

1+

-2⨯0. 383

2

γs =

==0. 742

A s =

M f y γs h 0

=

145. 887⨯10

6

2

=1795mm

300⨯0. 742⨯365

选取232+1

25 A s =2099. 9mm 2

经过验算满足要求。 （3）腹筋的计算

0. 25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯200⨯365=260975N >V

故梁的截面尺寸符合要求。

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯200⨯365=73073N

故梁的A 、B 左、B 右截面需进行计算配置箍筋。 A 支座截面： 利用1

25以45°弯起，则弯起钢筋承担的剪力：

22

=83. 308kN

V sb =0. 8f y A sb sin αs =0. 8⨯300⨯490. 9⨯

混凝土和箍筋承担的剪力：

V cs =V -V sb =130. 536-83. 308=47. 228kN

故按构造配置箍筋，选取8@150，双肢箍。 B 左截面：

利用125以45°弯起，则弯起钢筋承担的剪力：

V sb =0. 8f y A sb sin αs =0. 8⨯300⨯490. 9⨯

22

=83. 308kN

混凝土和箍筋承担的剪力：

V cs =V -V sb =152. 424-83. 308=69. 116kN

故按构造配置箍筋，选取8@150，双肢箍。 B 右截面：

2

箍筋采用6，双肢箍，则A sv 1=28. 3mm

V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv

1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0

nA sv 1

s

h 0

s ==

1. 25⨯210⨯2⨯28. 3⨯365

105120-73073

=169mm

取s =150mm

故箍筋为6@150，双肢箍。 经验算满足要求。

（5）经计算纵筋弯起点截面和剪力突变截面处选用8@150的双肢箍筋也能满足要求。

（6）材料抵抗弯矩图、梁的抽筋图

4.4图4-40所示简支梁，均布荷载设计值q 50kN /m （包括自重），混凝土为

C30，环境类别为一类，试求：（1）不设弯起钢筋时的受剪箍筋；（2）利用

现有纵筋为弯起钢筋，求所需箍筋；（3）当箍筋为8@200时，弯起钢筋应为多少？

+

—

剪力图（kN ）

解：（1）验算截面尺寸：

h w =h 0=600-35=565mm

150

A 、B 支座边缘

处的剪力值大小为144kN

h w b

=

565250

=2. 26

混凝土为C30，βc =1. 0

0. 25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯250⨯565=504968. 75N >V =144⨯10N

3

截面符合要求。

（2）验算是否按照计算配置箍筋

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯250⨯565=141391. 25N

3

需按照计算配置箍筋。

（3）不设弯起钢筋时配箍计算 V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv nA sv 1

s

V -0. 7f t bh 01. 25f yv h 0

nA sv 1

s

h 0

3

==

144⨯10-0. 7⨯1. 43⨯250⨯565

1. 25⨯210⨯565

=0. 018mm

2

/mm

选取箍筋8@200，双肢箍。 实有

nA sv 1

s

=

2⨯50. 3200

nA sv 1bs

=0. 503mm

2

/mm

验算：ρsv ==0. 2012%>ρsv , min =0. 24

f t f yv

=0. 163%，可以。

（4）利用125以45°弯起，则弯起钢筋承担的剪力：

22

=83. 31kN

V sb =0. 8f y A sb sin αs =0. 8⨯300⨯490. 9⨯

混凝土和箍筋承担的剪力：

V cs =V -V sb =144-83. 31=60. 69kN

故按构造配置箍筋，选取6@200，双肢箍。

经过验算可知，纵筋弯起点处箍筋亦选取6@200，双肢箍。 （5）由以上计算可知，箍筋选取8@200时，不用设弯起钢筋。

4.5一简支梁如图4-41所示，混凝土为C30，设计荷载为两个集中力F =100kN ，（不计自重），环境类别为一类，纵筋采用HRB335，箍筋采用HPB235，试求：（1）所需纵向受拉钢筋；（2）求受剪箍筋（无弯起钢筋）；（3）利用受拉纵筋为弯起钢筋时，求所需箍筋。

图4-41

解：（1）作梁的内力图

A

B

C

100kN ⋅m

M 图

100kN +

A

B

C

_ 100kN

D

V 图

（2）纵向受拉钢筋计算 弯矩设计值M =100kN ⋅m

22

查表得：f c =14.3N /m m 、f t =1.43N /m m 、f y =300N /mm

2

α1=1.0、β1=0.8、ξb =

0.55

设a s =35m m ，则h 0=400-35=365mm αs =

M

=

100⨯10

6

2

α1f c bh

20

1.0⨯14.3⨯200⨯

365

=0.262

ξ=1-=1-=0.310

2

γs =

=0.845

6

A s =

M f y γs h 0

=

100⨯10

300⨯0.845⨯365

=1081m m

2

选用3

22 A s =1140m m 2

验算：x =0.31⨯365=113m m

ρ=

A s bh

=

1140200⨯400

h h 0

=1.425%>ρmin

h h 0

=0.45

f t h f y h 0

=0.235%

同时ρ>0.2%⨯=0.22%，可以。

（2）无弯起钢筋时，配箍计算 剪力设计值V =100kN a. 验算截面尺寸

h w =h 0=400-35=365m m h w b =365200

=1.825

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0.25⨯1.0⨯14.3⨯200⨯365=260975N >V 截面符合要求。

b. 验算是否需要按计算配置箍筋

λ=

a h 0

=

1000365

=2.74 1.75

1.75

λ+1.02.74+1.0故需要进行配箍计算。

f t bh 0=

⨯1.43⨯200⨯365=48845.6N

c. 计算箍筋

2

箍筋采用8，双肢箍，则A sv 1=50.3m m

V =

1.75

λ+1.0

f t bh 0+1.0f yv

nA sv 1

s

h 0

s =

1.0f yv nA sv 1h 0V -

1.75

=

1.0⨯210⨯2⨯50.3⨯365100000-48845.6

=151m m

λ+1.0

f t bh 0

取s =120mm

故箍筋为8@120，双肢箍。 验算：ρsv =

nA sv 1bs

=

2⨯50.3200⨯120

=0.419%

ρsv min =0. 24

f t f yv

=0. 24⨯

1. 43210

=0. 163%

（3）设置弯起钢筋时，配箍计算 根据已配钢筋322，利用1则弯起钢筋承担的剪力：

22以45°弯起。

V sb =0.8f y A sb sin αs =0.8⨯300⨯380.1⨯

2

=64505N

混凝土和箍筋承担的剪力：

V cs =V -V sb =100000-64505=35495N

因

1.75

λ+1.02.74+1.0

故只需按照构造要求配置箍筋，选取箍筋6@150。

f t bh 0=

1.75

⨯1.43⨯200⨯365=48845.6N >V cs

4.6图4-42所示简支梁，环境类别为一类，混凝土为C30，求受剪钢筋。

图5-47

解：（1）作出梁的剪力图

207

D 86 V 图（kN ）

（2）验算截面尺寸

查表得：f c =14. 3N /mm 2、f t =1. 43N /mm 2、f yv =210N /mm

a s =25+

252

=37.5m m

2

+

E _

B

207

h w =h 0=600-37.5=562.5mm h w b =562.5250

=2.25

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0.25⨯1.0⨯14.3⨯250⨯562.5=502734N >V =207000N 截面符合要求。

（3）验算是否需要按计算配置箍筋 梁承受集中力和均布荷载的作用。 V 集V 总

=51%

故按均布荷载作用下的计算公式计算梁的抗剪承载力。

0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯250⨯562. 5=140765. 6N

故需要进行配箍计算。 （3）计算箍筋

2

箍筋采用6，双肢箍，则A sv 1=28. 3mm

对梁分段进行配箍计算，分别为AC 段、CE 段、EB 段。

AC 段和CE 段的剪力设计值取A 或者B 支座边缘的剪力值，V =202. 92kN CE 段的剪力设计值为V =86. 00kN AC 段和CE 段的配箍计算 V =0. 7f t bh 0+1. 25f yv

nA sv 1

s

h 0

s =

1. 25f yv nA sv 1h 0V -0. 7f t bh 0

=

1. 25⨯210⨯2⨯28. 3⨯562. 5

202920-140765. 6

=134. 5mm

取s =120mm

故箍筋为6@120，双肢箍。 验算：ρsv =

nA sv 1bs

=

2⨯28. 3250⨯120

f t f yv

=0. 189%

ρsv min =0. 24CE 段的配箍计算

=0. 24⨯

1. 43210

=0. 163%

因0. 7f t bh 0=0. 7⨯1. 43⨯250⨯562. 5=140765. 6N >V =86000N 故只需按照构造要求配置箍筋，选取箍筋6@200。

4.7图4-43所示钢筋混凝土简支梁，采用C30混凝土，纵筋为热轧HRB335级钢筋，箍筋为HPB235级钢筋，若忽略梁自重和架立钢筋的作用，环境类别为一类，试求此梁所能承受的最大荷载设计值F ，此时该梁为正截面破坏还是斜截面破坏？

图5-48

解：（1）作出梁的内力图

45

P

M 图 +

23P

—

V 图

13

P

（2）极限抗弯承载力的计算

查表得：f c =14.3N /m m 2、f t =1.43N /m m 2、f y =300N /mm 、f yv =210N /mm

α1=1.0、β1=0.8、ξb =0.55

a s =60mm ，则h 0=h -a s =550-60=490mm

2

2

ρ=

A s bh

=

f y

2281220⨯550

=1. 885%>ρmin

3001. 0⨯14. 3

ξ=ρ

α1f c

=0. 01885⨯

=0. 395

2

M

u

=α1f c bh 0ξ(1-0. 5ξ) =1. 0⨯14. 3⨯220⨯490

2

⨯0. 395⨯(1-0. 5⨯0. 395) =239. 438kN

由弯矩图可知，

45

P =M u 解得：P =299. 3kN

（3）极限抗剪承载力的计算

λ=

a h 0

=

1200490

=2. 45

V u =

1. 75

λ+1

f t bh 0+1. 0f yv

nA sv 1

s

h 0=

1. 752. 45+1

⨯1. 43⨯220⨯490+1. 0⨯210⨯

2⨯50. 3150

⨯490

=147. 2kN

h w b

=

490220

=2. 227

混凝土为C30，故取βc =1. 0

0.25βc f c bh 0=0. 25⨯1. 0⨯14. 3⨯220⨯490=385385N >V u ，可以。 由剪力图可知：

23

P =V u ，解得：P =220. 8kN

综上所述：P u =220. 8kN ，此时梁将发生斜截面破坏。

4.8图4-44所示简支梁，求其能承受的最大集中荷载设计值F 。混凝土为C30，环境类别为一类，忽略梁的自重，并认为该梁正截面受弯承载力足够大。

·

解：梁的剪力图如下图所示：

32

1

P P

+

C

2

+

A

D

—

12P

E

—

B

32P

根据剪力的变化情况，将梁分为AC 、CD 、DE 、及EB 四个区段来计算斜截面受剪承载力。

h 0=h -a =550-35=515mm

AC 、EB 段： λ=

a h 0

=1500515

=2. 9

V u ==

1. 75

λ+1

f t bh 0+f yv

nA sv 1

s

h 0

2⨯50. 3150

⨯515

1. 752. 9+132

⨯1. 43⨯250⨯515+210⨯

=155. 15kN V u =

p

所以，p =103. 43kN CD 、DE 段： λ=

a h 0

=3000515

=5. 83>3, 取λ

=3

V u ==

1. 75

λ+1

f t bh 0+f yv

nA sv 1

s

h 0

2⨯28. 3200

⨯515

1. 753+1

⨯1. 43⨯250⨯515+210⨯

=111. 156kN V u =

12p

所以，p =222. 31kN

综上所述，该梁所能承受的极限荷载设计值p u =103. 43kN 。