第五讲 同余的性质
第五讲 同余的性质
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基本知识点
同余定义:若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数,那么称a 、b 对于模m 同余,用式子表示为:
a ≡b (modm ). 上式可读作:a 同余于b ,模m 。
补充定义:若m (a-b ),就说a 、b 对模m 不同余,用式子表示是:
a b (modm )
我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似. 同余式有如下一些性质(其中a 、b 、c 、d 是整数,而m 是自然数)。
性质1:a ≡a (mod m),(反身性)
性质2:若a ≡b (mod m ),那么b ≡a (mod m ),(对称性)。 性质3:若a ≡b (mod m ),b ≡c (mod m ),那么a ≡c (mod m ),(传递性)。
性质4:若a ≡b (mod m),c ≡d (mod m),那么a ±c ≡b ±d (mod m),(可加减性)。
性质5:若a ≡b (mod m ),c ≡d (mod m ),那么ac ≡bd (mod m )(可乘性)。
性质6:若a ≡b (mod m),那么a n ≡b n (mod m),(其中n 为自然数)。
性质7:若ac ≡bc (mod m ),(c ,m )=1,那么a ≡b (mod m ),(记号(c ,m )表示c 与m 的最大公约数)。
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注意同余式性质7的条件(c ,m )=1,否则像普通等式一
样,两边约去,就是错的。
例题精讲
例1 求2003×59除以7的余数。
例2 自然数16520,14903,14177除以m 的余数相同,m 的最大值是多少?
例3 求753×281+432×23-256×48除以11的余数。
例4 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例5 今天是星期日,再过364365天是星期几?再过365364天又是星期几?
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练习
1. 判定288和214对于模37是否同余,74和20呢?
2. 求4321×3275+2983-19×876除以17的余数。
3. 已知1990年元旦是星期一,那么2000年5月1日是星期几?
4. 不算出乘积,求2003×1997÷9的余数。
5. 求29×31×37×41×43×47÷9的余数。
6. 111+222+333+444+…+999的和被11除的余数是几?
7. 一个整数除300、262、205,得到相同的余数,问这个整数是多少?
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8. 求123+2×123+3×123+4×1232+……123×123被11除所得的余数是多少?
9. 999+2×999+3×999+4×999+…+999×999除以13所得的余数是多少?
10. 若今天是星期六,从今天起102003天后的那一天是星期几?
11. 分数
12. 求11…1除以7的余数。
13. 求123123+456456+789789被3除的余数。 2003个1 9化成小数后,小数正后面第2003位上的数字是多少? 13
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