矩形的判定专项练习30题(有答案)ok
矩形的判定专项练习30题(有答案)
1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E、F为AB上两点,且△DAF≌△CBE. 求证:(1)∠A=90°;
(2)四边形ABCD是矩形.
2.如图,已知平行四边形ABCD,∠ABC,∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F,BE、CF交于点G,点H为BC的中点,GH的延长线交GB的平行线CM于点M. (1)试说明:∠BGC=90°;
(2)连接BM,判断四边形GBMC的形状并说明理由.
3.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E. (1)四边形OCDE是矩形吗?说说你的理由;
(2)请你将上述条件中的菱形改为另一种四边形,其它条件都不变,你能得出什么结论?根据改编后的题目画出图形,并说明理由.
4.△ABC中,AD⊥BC于D,点E、F分别是△ABC中AB、AC中点,当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF是矩形?说明理由.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O.
(1)用尺规作图的方法,作出△AOB平移后的△DEC,其中平移的方向为射线AD的方向,平移的距离为线段AD的长;(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法.)
(2)观察图形,判断四边形DOCE是什么特殊四边形,并证明.
6.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N,ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN,求证:四边形NDMB为矩形.
7.如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,过点C作BD的平行线CE,过点D作AC的平行线DE,CE与DE相交于点E,试说明四边形OCED是矩形.
8.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,点E、F分别是边BC、CD的中点,直线EF交边AD的延长线于点M,连接BD.
(1)求证:四边形DBEM是平行四边形;
(2)若BD=DC,连接CM,求证:四边形ABCM为矩形.
9.如图,在△ABC中,点O是AC边上的中点,过点O的直线MN∥BC,且MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,点P是BC延长线上一点.求证:四边形AECF是矩形.
10.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,点E是BC的中点,连接AC、DE相交于点O. (1)试说明:△AOD≌△COE;
(2)若∠B=∠AOE,试说明四边形AECD是矩形的理由.
11.如图,以△ABC的各边为一边向BC的同侧作正△ABD、正△BCF、正△ACE,若∠BAC=150°,求证:四边形AEFD为矩形.
12.(1)在等腰三角形ABC中AB=BC,∠ABC=90°,BD⊥AC,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC于F.若AE=4,FC=3,求EF长.
(2)如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F. ①求证:△ABF≌△ECF;
②若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:四边形ABEC是矩形.
13.如图,AD是△ABC的中线,过点A作AE∥BC,过点B作BE∥AD交AE于点E, (1)求证:AE=CD;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADBE是矩形?请说明理由.
14.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点,点G在边BC上,且CG=(AD+BC). (1)求证:四边形DEGF是平行四边形;
(2)连接DG,若∠ADG=2∠ADE,求证:四边形DEGF是矩形.
15.已知,如图在△ABC中,AB=AC,点D是AC的中点,直线AE∥BC,过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F,求证:四边形AECF是矩形.
16.已知:如图,在△ABC中,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点,且CE=AB. 求证:四边形CFED是矩形.
17.如图,平行四边形ABCD中,EF过AC的中点O,与边AD、BC分别相交于点E、F; (1)试说明四边形AECF是平行四边形.
(2)若EF过AC的中点,且与AC垂直时,试说明四边形AECF是菱形. (3)当EF与AC有怎样的关系时,四边形AECF是矩形.
18.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D是斜边BC上一点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F. (1)说明四边形AEDF是矩形.
(2)试问:当点D位于BC边的什么位置时,四边形AEDF是正方形?并说明你的理由.
19.如图,△ABC中,D为边AC的中点,过点D作MN∥BC,CE平分∠ACB交MN于E,CF平分∠ACG交MN于F,求证:(1)ED=DF;(2)四边形AECF为矩形.
20.如图,菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O,BE∥AC,CE∥DB.求证:四边形OBEC是矩形.
21.如图,在△ABC中,O是AC上的任意一点,(不与点A,C重合),过点O作直线l∥BC,直线l与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA的平分线相交于点F. (1)OE与OF相等吗?为什么?
(2)探索:当点O在何处时,四边形AECF为矩形?为什么?
22.(2013•沙湾区模拟)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且 AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
23.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,∠OBC=∠OCB,求证:四边形ABCD是矩形.
24.如图M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点,且AD=2AB,AN,BM相交于P,DN,CM相交于Q.求证:PMQN为矩形.
25.在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,EF过点O,且AF⊥BC,求证:四边形AFCE是矩
形.
26.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上的一点,过点A作AF∥BE,交ED的延长线于点F,连接AE,CF. (1)求证:AF=CE;
(2)如果AC=EF,则四边形AFCE是矩形.
27.如图,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点,
(1)求证:BC=DE;
(2)连接AD、BE,探究:当△ABC满足什么条件时,四边形DBEA是矩形?并说明理由.
28.如图,O是菱形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,CE∥BD,DE、CE交于点E,四边形OCED是矩形吗?说说你的理由.
29.已知:如图,BC是等腰△BED底边ED上的高,四边形ABEC是平行四边形. 求证:四边形ABCD是矩形.
30.如图,已知AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE. 求证:四边形BCED为矩形.
参考答案:
1.(1)∵AD∥BC, ∴∠A+∠B=180°, ∵△DAF≌△CBE, ∴∠A=∠B, ∴2∠A=180°, ∴∠A=90°;
(2)∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD为平行四边形, 又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD是矩形 2.(1)∵∠ABC+∠BCD=180°,BE、CF平分∠ABC,∠BCD,
∴∠GBC+∠GCB=90°,∴∠BGC=90°;
(2)∵点H为BC的中点,∴BH=CH=GH, ∵GB∥CM,∴∠BGH=∠CMH,
∵∠HBG=∠HGB,∴∠HCM=∠HMC, ∴MH=BH=CH=GH, ∴四边形GBMC为矩形 3.(1)四边形OCDE是矩形. 证明:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形, 又∵AC⊥BD, ∴∠DOC=90°,
∴四边形OCED是矩形.
(2)任意改变四边形ABCD的形状,四边形OCED都是平行四边形(答案不唯一). 理由如下:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形.
4.满足△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°. ∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
∴BD=CD,
∵点E、F分别是△ABC中AB、AC中点, ∴DF∥AB,ED∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形, ∵∠BAC=90° ∴AEDF是矩形. 5.(1)所作图形如图所示: (2)四边形DOCE是矩形.
∵△DCE是由△AOB平移后的图形, ∴DE∥AC,CE∥BD.
∴四边形DOCE是平行四边形. 又∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD.即∠DOC=90° ∴四边形DOCE为矩形.
6.∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AO=OC,OD=OB, ∵AN=CM ON=OB, ∴ON=OM=OD=OB,
∴四边形NDMB为平行四边形, ∵MN=BD,
∴平行四边形NDMB为矩形 7.∵DE∥AC,CE∥BD, ∴DE∥OC,CE∥OD
∴四边形OCED是平行四边形, 又∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴∠COD=90°,
∴四边形OCED是矩形 8.(1)证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,即DM∥BE, ∵E、F分别是边BC、CD的中点 ∴EF∥BD,
∴四边形DBEM是平行四边形. (2)证明:连接DE,
∵DB=DC,且E是BC中点,∴DE⊥BC, ∴DE∥AB. 又∵AB⊥BC, ∴AB∥DE
∵由(1)知四边形DBEM是平行四边形, ∴DM∥BE且DM=BE, ∴DM∥EC且DM=EC,
∴四边形DMCE是平行四边形, ∴CM∥DE, ∴AB∥CM.
又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形, ∵AB⊥BC,∴四边形ABCM是矩形.
9.∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE, ∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB, ∴∠OEC=∠OCE, ∴OE=OC, 同理,OC=OF,
∴OE=OF.
∵AO=CO,EO=FO,
∴四边形AECF为平行四边形, ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ACB, 同理,∠
ACF=∠ACP,
∴∠ECF=∠ACE+∠
ACF=(∠ACB+∠ACP)=×180°=90°,
∴四边形AECF是矩形. 10.(1)∵BC=2AD,点E是BC的中点, ∴EC=AD. ∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠CEO,∠DAO=∠ECO. 在△AOD和△COE中
,
∴△AOD≌△COE(ASA);
(2)∵AD=BE,AD∥BE, ∴四边形ABED是平行四边形;
同理可得:四边形AECD是平行四边形. ∴∠ADO=∠B. ∵∠B=∠AOE,
∴∠AOE=2∠B. ∴∠AOE=2∠ADO.
∵∠AOE=∠ADO+∠DAO, ∴∠OAD=∠ODA. ∴OA=OD. ∴AC=DE.
∴四边形AECD是矩形.
11.:∵△ABD和△FBC都是等边三角形, ∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°, ∴∠DBF=∠ABC. 又∵BD=BA,BF=BC, ∴△ABC≌△DBF, ∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC, ∴AB=EF=AD,
∴四边形DAFEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形) ∵∠BAC=150°,
∴∠DAE=150°﹣∠DAB﹣∠EAC=90°, ∴四边形AEFD为矩形.
12.1)解:∵ABC中AB=BC,∠ABC=90°,BD⊥AC, ∴∠A=∠C=45°,CD=AD,
∴BD=CD=AD,BD平分∠ABC, ∴∠EBD=45°=∠C, ∵BD⊥AC,DE⊥DF, ∴∠BDC=∠EDF=90°,
∴∠BDC﹣∠BDF=∠EDF﹣∠BDF, ∴∠EDB=∠FDC, ∵在△EDB和△FDC中
∴△EDB≌△FDC(ASA), ∴FC=DE=3,
同理△AED≌△BFD, ∴DF=AE=4,
在Rt△EDF中,由勾股定理得:EF=
=5;
(2)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵CD=CE,
∴AB∥CE,AB=CE,
∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AF=FE,BF=FC, ∵在△ABF和△ECF中
∴△ABF≌△ECF(SSS);
②证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠D, ∵∠AFC=2∠D, ∴∠AFC=2∠ABC,
∵∠AFC=∠ABC+∠FAB, ∵∠ABC=∠FAB, ∴AF=FB,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE=2AF,BC=2BF, ∴AE=BC,
∵四边形ABEC是平行四边形, ∴四边形ABEC是矩形.
13.(1)∵AE∥BC,BE∥AD, ∴四边形ADBE是平行四边形, ∴AE=BD,
∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD, ∴AE=CD.
(2)当AB=AC时,四边形ADBE是矩形,理由是:∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,
又∵四边形ADBE是平行四边形, ∴四边形ADBE是矩形
14.1)证明:如图,连接EF.
∵四边形ABCD是梯形,AD∥BC,E、F分别是AB、CD的中点, ∴,EF∥AD∥BC. ∵
,
∴EF=CG.
∴四边形EGCF是平行四边形. ∴EG=FC且EG∥FC. ∵F是CD的中点, ∴FC=DF.
∴EG=DF且EG∥DF.
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)证明:连接EF,将EF与DG的交点记为点O.∵∠ADG=2∠ADE, ∴∠ADE=∠EDG. ∵EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEO. ∴∠EDG=∠DEO. ∴EO=DO.
∵四边形DEGF是平行四边形, ∴
,
.
∴EF=DG,
∴平行四边形DEGF是矩形.即四边形DEGF是矩形.
15.∵点D是AC的中点, ∴DA=DC, ∵AE∥BC,
∴∠AED=∠CFD,
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE≌△CDF(AAS), ∴AE=CF, 又∵AE∥BC,
∴四边形AECF是平行四边形, ∵AE∥BC,EF∥AB,
∴四边形ABFE是平行四边形, ∴AB=EF, ∵AB=AC, ∴AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
16.∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点, ∴DE∥BC,且DE=BC,DF=AB,CF=BC, ∴DE=CF,
∴四边形CFED平行四边形, 又∵CE=AB,
∴CE=DF,
∴平行四边形CFED是矩形, 故四边形CFED是矩形. 17.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,
∴△AEO∽△CFO, ∴
=
,
∵OA=CO,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)证明:∵四边形AECF是平行四边形, 又∵EF⊥AC,
∴平行四边形AECF是菱形;
(3)解:当EF=AC时,四边形AECF是矩形, 理由是:由(1)知:四边形AECF是平行四边形,∵AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形 18.(1)∵DE⊥AC,DF⊥AB, ∴∠AFD=∠AED=∠A=90°,
∴四边形AEDF是矩形;
(2)当D时BC的中点时,四边形AEDF是正方形;JU
理由:∵D是BC的中点, ∴BD=DC ∵AB=AC ∴∠B=∠C
又∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴∠BDF=∠DEC
∴△BFD≌△DCE, ∴DF=DE,
∴矩形AEDF是正方形. 19.(1)∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACG, ∴∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCG, 又∵MN∥BG,
∴∠DEC=∠ECB,∠DFC=∠FCG, ∴∠DEC=∠DCE,∠DFC=∠DCF, ∴DE=DC,DF=DC, ∴DE=DF.
(2)∵D为AC的中点, ∴AD=DC, 又DE=DF,
∴四边形AECF为平行四边形, ∵∠ACE=∠ECB,∠ACF=∠FCG, ∴∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF为矩形 20.∵BE∥AC,CE∥DB, ∴四边形OBEC是平行四边形, 又∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴∠AOB=90°,
∴平行四边形OBEC是矩形 21.(1)解:OE=OE, 理由是:∵直线l∥BC, ∴∠OEC=∠ECB, ∵CE平分∠ACB, ∴∠OCE=∠BCE, ∴∠OEC=∠OCE, ∴OE=OC, 同理OF=OC, ∴OE=OF.
(2)解:O在AC的中点上时,四边形AECF是矩形, 理由是:∵OA=OC,OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形, ∵OE=OF=OC=OA, ∴AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形
矩形的判定30题----
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22.(1)证明:∵AF∥BC, ∴∠AFE=∠DCE(1分) ∵E是AD的中点, ∴AE=DE.(2分) ∵∠AEF=∠DEC, ∴△AEF≌△DEC.(3分) ∴AF=DC, ∵AF=BD ∴BD=CD,
∴D是BC的中点;(4分) (2)四边形AFBD是矩形,(5分) 证明:∵AB=AC,D是BC的中点, ∴AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,(6分) ∵AF=BD,AF∥BC,
∴四边形AFBD是平行四边形,(7分) ∴四边形AFBD是矩形. 23.∵∠OBC=∠OCB, ∴OB=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OC=OA=AC,OB=OD=BD, ∴AC=BD,
∵四边形ABCD是平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形, 即四边形ABCD是矩形
24.∵ABCD为平行四边形, ∴AD平行且等于BC,
又∵M为AD的中点,N为BC的中点, ∴MD平行且等于BN, ∴BNDM为平行四边形, ∴BM∥ND, 同理AN∥MC,
∴四边形PMQN为平行四边形,(5分) 连接MN,
∵AM平行且等于BN,
∴四边形ABNM为平行四边形, 又∵AD=2AB,M为AD中点, ∴BN=AB,
∴四边形ABNM为菱形, ∴AN⊥BM,
∴平行四边形PMQN为矩形.(10分)
25.∵四边形ABCD为平行四边形, ∴OA=OC,AE∥FC, ∴∠EAO=∠FCO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF, ∴AE=CF,
∴四边形AECF为平行四边形, 又∵AF⊥BC, ∴∠AFC=90°,
则四边形AECF为矩形. 26.(1)证明:∵AF∥BE,
∴∠AFD=∠CED,∠FAD=∠DCE, ∵D是AC的中点, ∴AD=DC,
在△FAD和△ECD中
,
∴△FAD≌△ECD(AAS), ∴AF=CE;
(2)证明:∵△FAD≌△ECD, ∴FD=DE, ∵AD=DC,
∴四边形AFCE是平行四边形, ∵AC=EF,
∴平行四边形AFCE是矩形 27.(1)证明:∵E是AC的中点, ∴EC=AC, ∵DB=AC,
∴DB=EC, 又∵DB∥AC,
∴四边形BCED是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形), ∴BC=DE;
(2)解:△ABC满足AB=BC时,四边形DBEA是矩形.
理由如下:∵E是AC的中点, ∴AE=AC,
∵DB=AC,
∴DB=AE, 又∵DB∥AC,
∴四边形DBEA是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形), ∵AB=BC,E为AC中点, ∴∠AEB=90°,
∴平行四边形DBEA是矩形,
即△ABC满足AB=BC时,四边形DBEA是矩形.
28.是矩形.(1分)
理由:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形OCED是平行四边形, 又∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD, ∴DE⊥CE, ∴∠E=90°,
∴平行四边形OCED是矩形
29.∵BC是等腰△BED底边ED上的高, ∴EC=CD,
∵四边形ABEC是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CE=CD,AC=BE, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC=BE,BE=BD, ∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形
30.在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴BD=CE又DE=BC.
∴四边形BCED为平行四边形.在△ACD和△ABE中, ∵AC=AB,AD=AE,
∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠CAE=∠BAE, ∴△ADC≌△AEB(SAS),∴CD=BE. ∴四边形BCED为矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形)
矩形的判定30题---- 12