关于庞加莱猜想的思考
关于庞加莱猜想的思考
周秉根
（安徽师范大学国土资源与旅游学院，安徽芜湖，241002）
摘 要：庞加莱猜想混淆了三维体与四维球的概念，三维体因有裁面不具有拓扑性质，n≥4的有相同伦形的n维紧流体必与S同胚。 n关键词：庞加莱猜想；单连通；同胚；理论意义
庞加莱猜想是拓扑学中的一个重要理论问题。拓扑学研究图形在拓扑变换下不变的性质。直观地说，所谓拓扑变换是一种既不撕破也不捏合，但允许将图形伸缩和弯曲的变换。例如球面可经拓扑变换成椭球面，但不能经拓扑变换变成环面或圆周。长度、面积和共线性等经拓扑变换后会改变，但“维数”、连通性和“洞”的个数等不会改变，后者就是拓扑性质。可以经过拓扑变换互变的两个图形称为同胚。庞加莱猜想是拓扑学中著名的猜想之一。球面是数学中最简单而重要的紧流形。二维球面S是单连通的紧曲面，且单连通的紧曲面必和S同胚。那么n维球面S（n≥3）的拓扑特征又是什么呢？1904年庞加莱提出如下猜想，单连通的三维紧流形必与S同胚。高维的广义庞加莱猜想的提法是：n≥4时，与S有相同伦形的n维紧流形必与S同胚。
笔者在研究相对论时，最早发现物体运动的轨迹是：当物体不动时是一个点，沿着一维空间运动是一条线，沿二维空间运动是一个面，沿三维空间运动是一个体，沿四维空间运动是一个圆（立体为球），沿五维空间
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n[2]3n2n2[1]
运动是一个椭圆（立体为椭球），沿六维，七维，„„空间运动是一个扁椭圆（立体为扁椭球），当物体运动的维数越来越多时，扁椭圆（扁椭球）就变成一条线回结到一个点。这就是物体沿n维空间运动的轨迹。根据物体沿n维空间运动的轨迹可知，三维空间的“体”不具有拓扑性质。几何图形的“体”包括立方体、长方体、三角形体、圆柱体、圆锥体等。体有裁面，裁面不具有连通性质，换句话说截面不具有伸缩性，它不具有拓扑性质。例如立方体和长方体，有8条边8个角和6个面，这些边、角、面限制了“体”形的连通性。圆柱体的二个面和圆雉体的一个面同样限制了其连通性。所以笔者认为三维“体”不具备拓扑性质，体与内部的单连通封闭的内接圆是不同胚的。庞加莱所说的三维球面，实际上是物体沿四维空间运动的轨迹，三维球面（严格地讲应是四维球面）与“体”中内接圆同胚，而不是与“体”同胚。三维体围绕一根轴旋转是一个圆球，是四维空间。
圆球与椭球是同胚的，因为它们有相同的伦形，既没有截面，具有一定的伸缩性，可以单连通。扁椭球不管怎么扁它都是有相同的伦形，都可以单连通，所以是同胚的，所以高维的广义庞加莱猜想是，当n≥4时，与S有相同伦形的n维紧流形必与S同胚。当扁椭球变成一个有伦形（既没有截面）的直线时，它也具有拓扑性质，并由线回结到一个点，而这个理想中的“点”也具有拓扑性质。由此可知，二维球面S是单连通的紧曲面，且单连通的紧曲面必S同胚。三维的“体”不具有拓扑性质，其内接圆（圆球）是单连通的与本身的“体”不同胚，因为体有截面。四维的球面是单连通的而且与三维体中的内接圆是同胚的。而n≥4时，与S有相
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n22nn[3]
同伦形的n维紧流形必与S同胚，包括理想中的线和点，在这里n→∞。
通过上述分析可知，流体只能在四维以上（n≥4）空间中流动，其条件是要有相同伦形，没有裁面的管道中流通，水在三维体中没有落差不能流动，有落差是四维空间。管理阻塞主要是管道中形成了三维“体”的物质阻塞的结果，只要打通了管道里的三维“体”，管道就通畅了，这一理论可用于人的血管、气管，工业上的输油管道，输水管道、输气管道、输煤管道及光纤传导等方面，可用流体的动压打通管道中的三维“体”，以便保持流体运行的通畅。
另外，在天文上我们知道天体运动的轨迹大多数是椭圆形，说明它至少是受到五维空间的影响，如果我们知道了椭球具有拓扑性质，具有单连通同胚的性质，则我们可以根据较近的天体而追寻到更远的星体，扩大人们的宇宙视野。
总之，庞加莱猜想迷惑人的地方是把四维球看成三维球面，再去与三维体比较，知道了三维体不具备拓扑性质以后，把三维体与四维球分开来一切就迎刃而解了。愿这一认识能为流体力学带来新机和扩大人们的宇宙视野。
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参考文献：
[1][2]谷超豪主编，数学词典，上海辞书出版社，1993，234，260
[3] 周秉根著，统一相对论，亚太国际出版有限公司，1999，1
作者简介：周秉根，教授，硕士生导师，从事地理、旅游、文化、数论、哲学和相
对论研究。
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