牛吃草问题方法总结

牛吃草问题方法总结

1、基本公式:

1) 设定一头牛一天吃草量为“1”

2）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

2、方程法

有些考生认为公式不好记，或者容易记混，则也可以从理解的角度简单地列出方程组： 草的消耗量=草的供应量，而草的消耗量就是牛吃草的总量，即

牛吃草的总量=草场供应草的总量

牛数×天数×每头牛每天吃草量=草场原有草量+新长草总量

牛数×天数×每头牛每天吃草量=草场原有草量+天数×每天新长草量

其中，“每头牛每天吃草数”、“草场原有草量”、“每天新长草量”均为未知数，它们之间的关系是比例关系，所以可以把“每头牛每天吃草量”设为1，“每天新长草量”设为x，“草场原有草量”设为y；则有：牛数×天数×1=y+天数×x

例1、牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15 头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？

方法一：

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份 10×20=200份„„原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份 15×10=150份„„原草量+10天的生长量 100÷（25-5）=5天

方法二：

设“每头牛每天吃草量”为1，“每天新长草量”为x，“草场原有草量”为y；则有：

10×20×1=y+20x 解得：

15×10× 吃的天数： 100÷（25-5）=5（天）

[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份„„原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份

15×10=150份„„原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天

例2、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块

草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

【分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量

方法一：

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份„„原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份

15×6=90份„„原草量-6天的减少量 牛的头数： （150-10×10）÷10=5头

方法二：

设“每头牛每天吃草量”为1，“每天减少草量”为x，“草场原有草量”为y；则有：

20×5×1=y-25x 解得：

15×6× 牛的头数：（150-10×10）÷10=5（头）

[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份„„原草量-8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份

25×9=225份„„原草量-9天的减少量 360÷（21+15）=10天

总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天

新长出的草，问题就会迎刃而解。

例3、自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每

分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

【分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。

方法一：

男孩：20×5 =100（级） 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数

女孩;15×6=90（级） 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数

每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级)

自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）

方法二：

设自动扶梯的速度为X级/分钟，

则 20×5+5X=15×6+6X

解得X=10

所以该扶梯共有20×5+5×10=150（级）

[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？ 方法一：

3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数

2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）

自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）

方法二：

设自动扶梯的速度为X级/秒钟，

则 3×100-100X=2×300-300X

解得X=1.5

所以该扶梯共有3×100-100×1.5=150（级）

例4 两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

【分析】大家说这里什么是牛？什么是草？什么是不变的？

蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米

所以井深：（20+10）×5=150分米=15米

例5 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完，需要多少人？

【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键

解：设1人1小时舀出水量是“！”

舀水速度：（5×10-12×3）÷（10-3）=2

原有水量：（12-2）×3=30

要2小时舀完，需要的人数：30÷2+2=17（人）

例6 一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

解：设一台抽水机一小时抽水一份。

则每小时涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份

池内原有的水是：（10-5）×20=100份.

所以,用25部抽水机需要:100÷(25-5)=5小时

例7 某火车站检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？

分析：一个检票口8分钟检票25×8=200人，检票以后排队的人数是10×8=80人。由此可以先求出检票前已经排队的人数。

解：检票前已经排队人数为：25×8-10×8=120（人）

开放两个检票口，每分钟减少原来排队人数为：2×25-10=40（人）

检票开始后需要：120÷40=3（分钟）

例8 快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，这三辆车分别用6小时，10小时，12小时追上骑车人，现在知道快车速度是每小时24千米，中车速度是每小时20千米，问慢车速度是多少？

分析：

人 ： 追上 追上 追上

快车：

中车：慢车：

相当于原量

解：骑车人的速度：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）

三车出发地与人出发地的距离为：20×10-14×10=60（千米）

12小时慢车行驶的路程为：14×12+60=228（千米）

慢车的速度为：228÷12=19（千米/小时）