概率论与数理统计论文

概率论与数理统计论文

学院：航天学院 班级：1421201 姓名：郭兴达

学号：1142120133

经过一个学期的的概率论学习，我想将我的感想和收获写在论文中，那么我就先介绍一下概率论的发展简史吧。

一、发展简史

统计学是关于数字资料收集、组织、分析与解释的科学。

“资料收集”是取得数量或数据的方法。正确的结论只能来源于正确的资料，来源于有代表性的资料。

“资料组织”是以适当形式表现所收集的资料，以得出符合逻辑的结论。

“资料分析”是从给定的量或数，抽出有关问题，从而得出一个简要的综合姓的结果。达到这个日的的最重要的量(平均数、中位数、极差、标推差，等等)。

“资料解释”是通过资料分析来作出结论的工作，它通常是通过类似对象的小的集合提供的信息来对有关对象的大的集合形成预测的。

因此，统计学是一门科学，它处理在某种程度上可用数量信息回答的问题，而信息是通过计数和量度得到的。不论我们在生物研究中调查昆虫数、还是在工厂中调查工人数或工时数，统计工作者的职责首先是选择所裔的那类信息，其次是指导适当的有效的收集与加工信息，最后是解释结果。在解释结果中，特别是在资料不完全的情况下，统计工作者必须运用原理与方法以得出有效的调查结果。他常常要求面对不肯定的情况做出明智的决策。 统计一词有两个显然不同的意义。当用作如上所指的情况时，它是。一种研究和评价数量资料的科学方法。当用作复数时，它是“数量资料：一词的同义语。因此，如果我们说在“世界年鉴” 或“美国统计摘要”中有统计，即是说在它们中有数量资料。这是一个古老的、有普遍意义酌词。原先，统计着重为政府首脑管理国家政务提供资料。用数字资料表现的这种信息可以上溯到亚里斯多德及他的“国家政务论”。事实上，“statistics与“state”源于同一词根，就是一个明证。早期大多数文明国家，由于军事的与财政的原因，曾经编制大规模的统计资料，以确定国家的入力与物力。我们在基督教圣经中曾看到诸如此类的户口调查，以及罗马帝国各地普遍编制的税册。

概率论的研究始于意大利的文艺复兴时期，当时赌徒要求找到掷段子决定胜负的规则，曾向学者G．卡达诺(150l--1576)和著名的数学天文学家G．加利莱(1564—1642)求教；加利莱所写的一篇短文中，说明了概率的基本定律，从而为整个统计科学的发展奠定了理论基础。

在16与17世纪，机会对策(赌博)在富人中特别普遍，而且引进了更复杂的对策，包括更大的赌注，不同的对策需要一个合理的计算“机会”，当时这个问题成了一个非常重要的问题。一个法国知识分子C，梅勒也是一个狂热的赌徒，他曾向著名的数学家和哲学家B。帕斯卡尔(1623—1662)求教，帕斯卡尔的注意促成了与他的数学朋友的交往，特别是与P．弗曼特马(1601--16S5)的书信往来，就成为现代概率论与组合分析的起源。

研究“机会”定律的其他闻名的数学家有O．W．莱布尼兹(1646—1716)与雅可比·白努利(1654—1705)，他是著名的白努利家族九个数学家中的第一个。他们都赢得了卓越的声誉，

其中雅可比的兄弟约翰·白努利(1667--1748)，侄子尼古拉·白努利(1687--H59)与丹尼尔·白努利(1700—1782)都成为世界上知名的人。第一篇广博的概率论论文是由雅可比·白努利写出的，他详细地阐述了大数定律的原理。尼古拉·白努利把概率的概念用于法律问题，而丹尼尔．白努利则把概率的计算用于流行病学与保险学的研究。 对理论的其他贡献的有J．斯特林(1692—1770)的n!近似公式；M．康杜斯(1743—1794)把概率与统计应用于社会问题；T●贝期(1702—176，1)首先归纳地运用概率；L．尤勒(1707—1783)首创使用希腊字母西格马作为求和的符号；以及T．辛普森(1710一1761)把连续原理运用到数学横串理论中。人L．R．阿勒贝特(1717—1783)在他的概率研究中使用了气象资料；人L．拉格朗日(1736—1813)使用了微分学；Po B．蒙特模特(1678—1719)引进了有限差分的计算。C．巴夫(1707—1788)在现代遗传的某些方面以及在概率计算上属于领先地位，此外，S．D．泊松(1781—1840)发展了以他本人名字命名的分布，即泊松分布。在1835一1870年间，比利时科学家L．A．J. 魁持奈(1796—1874)对概率与统计的发展与应用作出了重大贡献。他把生物学的与人类学的油量和正东曲线紧密池联系在一起。：魁特奈把统计方法不仅用在生物上，而且用到教育与社会学上。他显示出对统计的极广泛的兴趣，他是认识大数稳定性的第一个人，也是首先论证在研究领域里，发展起来的统计方法可以推广到其他大多数领域的人之一。

在德国，O．F．纳普(1842一1926)按照魁特奈的原则广泛地调查研究死亡统计，而W．刘易斯(1837—1914)发展现在叫做一向方差分析的程序。本世纪初，一位爱尔兰吉尼斯啤酒厂的统计学家W．S．戈塞特(1876一1937)，笔名“学生”，出版了许多篇关于解释抽样资料的文章。他是第一个入认识到发展小样本方法以得出可靠信息的重要性。这种方法以后由R．A．费雪(1890一1962)及其同事在英国推广，费雪对科学作出了很大贡献，特别是群体遗传学方面，他开拓了试验理论，注意统计方法及其在科学研究领域中的应用。正是费雪。他引进了现在广泛应用的“虚假设”一词(null—，hypothesis)，并发展了方差分析的统计方法。 在统计研究中有一点要提请注意，认识这一点是很重要的,即没有一个统计方法本身能保证数据不出现错误、绝对准确，不能保证推理没有毛病、结论正确。原始资料一定要正确、方法一定要恰当；而结果一定要由不仅懂得方法，而且要由懂得应用的人来解释。本书是把所讨论的统计方法当作土具，由适当的人掌握，在设计合理的场合加以应用，以取得有用的结论，但统计方法本身并不能创造奇迹。

浅谈随机变量的数字特征

摘要：我们知道，随机变量的分布函数完全刻画了随机变量的统计规律，它反应了随机变量

的全貌，而随机变量的数字特征只是随机变量的统计规律的某一个方面的数量描述，不能完整地描述随机变量，但却反映随机变量取值的一些特征。本文就从这点出发，主要讲述随机变量的数字特征的引出、相关知识点及重点和随机变量数字特征的应用。

关键字：数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数

1．数学期望

设X是离散型的随机变量，其概率函数为

P(Xai)pi,i1,2,,

如果级数

ap

ii

i

绝对收敛，则定义X的数学期望为

E(X)aipi

i；



xf(x)dx

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分绝对可积，则定义X的数学期望为

E(X)



xf(x)dx

．

2．随机变量函数的数学期望

设X为离散型随机变量，其概率函数

P(Xai)pi,i1,2,, 绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为

E[g(X)]g(ai)pi

i

设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数

P(Xai,Ybj)pij,i,j1,2,, 如果级数

i

g(a)p

i

i

绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(X,Y)]g(ai,bj)pij

ji；

E(X)aipij;E(Y)bjpij

iiji 特别地. 如果级数

j

i



g(ai,bj)pij

g(x)f(x)dx

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分 绝对收敛，则X的函数g(X)的数学期望为

E[g(X)]g(x)f(x)dx





．

设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分







g(x,y)f(x,y)dxdy

绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(x,y)]









g(x,y)f(x,y)dxdy

；

特别地

E(x)











xf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdy

, .

E(Y)







3．数学期望的性质

3.1 E(c)c (其中c为常数)；

3.2 E(kXb)kE(X)b (k,b为常数)； 3.3 E(XY)E(X)E(Y)；

3.4 如果X与相互独立，则E(XY)E(X)E(Y).

4．方差与标准差

随机变量X的方差定义为

D(X)E[XE(X)]2．

计算方差常用下列公式：

D(X)E(X2)[E(X)]2’

当X为离散型随机变量，其概率函数为

P(Xai)pi,i1,2,, 如果级数

(aE(X))

ii

2

pi

收敛，则X的方差为

D(X)(aiE(X))2pi

i

；



(xE(X))2f(x)dxf(x) 当X为连续型随机变量，其概率密度为，如果广义积分收敛，

则X的方差为

D(X)(xE(x))2f(x)dx



.

随机变量X的标准差定义为方差D(X

) 5．方差的性质

5.1 D(c)0 (c是常数)；

2

5.2 D(kX)kD(X) (k为常数)；

5.3如果X与Y独立，则D(XY)D(X)D(Y).

6．协方差

设(X,Y)为二维随机变量，随机变量(X,Y)的协方差定义为

cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]．

计算协方差常用下列公式：

cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)．

当XY时，cov(X,Y)cov(X,X)D(X)． 协方差具有下列性质：

6.1 cov(X,c)0 (c是常数)；

6.2 cov(X,Y)cov(Y,X)；

6.3 cov(kX,lY)klcov(X,Y) (k,l是常数)； 6.4 cov(X1X2,Y)cov(X1,Y)cov(X2,Y) 7．相关系数

随机变量(X,Y)的相关系数定义为

相关系数XY反映了随机变量X与Y之间线性关系的紧密程度，当|XY|越大，X与Y之间的线性相关程度越密切，当XY0时，称X与Y不相关．

XY

相关系数具有下列性质：

7.1 |XY|1；

7.2 |XY|1的充要条件是P(YaXb)1，其中a,b为常数；

7.3 若随机变量X与Y相互独立，则X与Y不相关，即XY0，但由XY0不能推断X与Y独立．

7.4下列5个命题是等价的： ． 7.4.1 XY0；

7.4.2 cov(X,Y)0；

7.4.3 E(XY)E(X)E(Y)； 7.4.4 D(XY)D(X)D(Y))； 7.4.5 D(XY)D(X)D(Y)． 利用协方差或相关系数可以计算

D(XY)D(X)D(Y)2cov(X,Y)D(X)D(Y)2 8．原点矩与中心矩

k

E(X)； kX 随机变量的阶原点矩定义为

kE[(XE(X))]]； kX 随机变量的阶中心矩定义为

kl

(X,Y)(k,l)E(XY)； 随机变量的阶混合原点矩定义为

kl

(X,Y)(k,l)E[(XE(X))(YE(Y))]． 随机变量的阶混合中心矩定义为

一阶原点矩是数学期望E(X)；

二阶中心矩是方差D(X)；

(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(X,Y). 9．常用分布的数字特征

9.1当X服从二项分布B(n,p)时，

E(X)np,D(X)np(1p)． 9.2 当X服从泊松分布p()时，

E(X),D(X)， 9.3 当X服从区间(a,b)上均匀分布时，

ab(ba)2

E(X),D(X)

212

9.4 当X服从参数为的指数分布时，

11

E(X),D(X)2

 2

N(,)时， X 9.5 当服从正态分布

E(X),D(X)2．

22

N(,,,,)时， (X,Y)1212 9.6 当服从二维正态分布

E(X)1,D(X)12；

E(Y)2,D(Y)22；

1.通过分布求数字特征

如：已知某网站每天的登录人数服从参数为

打开某网页的概率为解 以

依题意

:

的泊松分布，而进入该网站的每个人

，试求访问该网页人数的分布律及其数学期望.

表示访问某网页的人数.

表示登录网站的人数，

由全概率公式得

:

可见

仍服从泊松分布，参数为

，因此其数学期望为

2.利用运算性质求数字特征

如：已知随机变量

和

服从正态分布

和

，且

与

的相关系数

，设

否相互独立?为什么.

， 试求 (1)

，

，

； (2)

与

是

解 (1)由运算性质，有

，

故

；

(2)由于

立.(若

与

不一定是二维正态分布，故由

与

相互独立，则

不能推出

与

相互独

均服从正态分布，且

服从二维正态分布)

3.利用分解法进行计算

如：对某一目标连续射击，直至命中 次为止.设每次射击的命中率为

子弹数的数学期望.

，试求消耗的

解 设

次命中)，

表示第

次命中至第

次命中之间所消耗的子弹数(含第

次命中不含第

则

于

是

，

，

故

.

总之，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。

参考文献：《概率论与数理统计》 第四版 江西高校出版社

《概率论与数理统计学习指导书》 第四版 江西高校出版社