矩形.正方形和菱形的判定方法

一、考点分析：

矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。

二、教学目标：

1． 掌握矩形、正方形和菱形的判定方法

三、教学内容 正方形巩固练习

例题1 如图, 正方形ABCD 的边长为12, 点E 是BC 上的一点,BE=5,点F 是BD

上一动点. （1）AF 与FC 相等吗? 试说明理由. （2）设折线EFC 的长为y ，试求y 的最小值, 并说明点F 此时的位置. 【解】（1）AF 与FC 相等, 其理由如下： 可证：△ABF ≌△CBF ，∴AF=CF

（2）连接AE, 则AE 与BD 的交点就是此时F 点的位置 此时y 有最小值,

=13.

B C E

第28题图

例题2 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E 、F 小红同学发现：PD ⊥EF ，且PD=EF，且矩形PEBF 的周长不变．不知小红的发现是否正确，请说说你的看法． 【解】小红的发现是正确，其理由如下： 连接BP, 延长DP 交EF 于Q. （1）∵四边形ABCD 是正方形 ∴CB=CD,∠BCP=∠DCP=45° ∴△BCP ≌△DCP ，∴PD=PB 又∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，

∴∠BEP=∠BFP=∠EBF=90°，∴四边形BEPF 是矩形

A

D F

D

C

F

∴PB=EF,∴PD=EF

（2）∵PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，∴△AEP 和△CFP 均为等腰直角三角形 ∴AE=PE,CF=PF

∴矩形PEBF 的周长=AB+BC=2AB（为定值） （3）∵PF ∥CD ，∴∠FPQ=∠PDC ∵△BCP ≌△DCP ，∴∠PDC=∠PBF

∵四边形PEBF 是矩形, ∴∠PBF=∠PEF ∴∠PEF=∠FPQ

又∵∠PEF+∠PFE=90°，∴∠FPQ+∠PFE=90° ∴∠PQF=90°，∴PD ⊥EF.

【另证】延长EP 交CD 于点R, 则CFPR 为正方形 ∴可证△PEF ≌△RDF ∴∠PEF=∠PDR 又∵∠DPR=∠EPQ

而∠PDR+∠DPR=90°，∴∠PEF+∠EPQ=90° ∴∠EQP=90°，∴PD ⊥EF.

课堂练习1 如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE ⊥EF ，BE =2

（1）如图2，延长EF 交正方形外角平分线CP 于点P ，试判断AE 与EP 的大小关系，并说明理由；

（2）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形D M EP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

B

E 图1

F C

B

E 图2

P C

梯形

回顾梯形性质及判断定理

梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形． （1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．

底：平行的一组对边叫做梯形的底. （较短的底叫做上底，较长的底叫做下 底）

腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰. 高：两底间的距离叫做梯形的高.

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. （2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形． （3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴． ②等腰梯形同一底上的两个角相等． ③等腰梯形的两条对角线相等． 解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形；

（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中

（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中 （4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1 图2 图3 图4 图5

综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．

例1．如图，梯形ABC D 中，AD ∥BC ，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD 的长．

分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ，因此四边形AECD 是平行四边形，由已知又可以得到△ABE 是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm． 解（略）．

例2 （补充） 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，∠CAB ＝∠ABC ， BE⊥AC 于E ．求证：BE ＝C D ．

分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D 作DF∥AB 交BC 于F ，因此四边形ABFD 是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS ），故可得出BE=CD．证明（略）

另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD ，证明△ABE ≌△FDC 即可．

例3：如图4.9-4，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，

BC=15cm,求CD 的长.

练习1 已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的 腰长.

练习2 已知：如图4.9-5，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，DE ⊥ CE，求证：AD+BC=DC.

练习3：

1、填空

（1）在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，, 则（2）直角梯形的高为6cm ，有一个角是30

°，则这个梯形的两腰分别是 和 . （3）等腰梯形 ABCD中，AB ∥DC ，A C平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm ，则2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD 中，AB=2CD，AC 平分∠DAB ，A B ＝43，（1）求梯形

的各角. （2）求梯形的面积.

3、（1）在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，, 则DC

（2）直角梯形的高为6cm ，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ． （3）等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，A C 平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm ，则

4．已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC，BD 平分∠ABC ，∠A=60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8）

课堂小结

1、梯形的定义及分类 2、等腰梯形的性质：

（1）具有一般梯形的性质：AD ∥BC. （2）两腰相等：AB=CD.

（3）两底角相等：∠B=∠C ，∠A=∠D.

（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线. （5）两条对角线相等：AC=BD.

两条对角线的交点在对称轴上. 两腰延长线的交点在对称轴上.

等腰梯形的判断

例2（补充） 证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．

已知：如图，梯形ABCD 中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD 是等腰梯形．

分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角

形．在ΔABC 和ΔDCB 中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB 得到AB=DC．

证明：过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，

又 AD ∥BC ，∴ 四边形ACED 为平行四边形， ∴

DE=AC ．

∵ AC=BD ， ∴ DE=BD ∴ ∠1=∠E ∵ ∠2=∠E ， ∴ ∠1=∠2

又 AC=DB，BC=CE， ∴ ΔABC ≌ΔDCB ． ∴ AB=CD． ∴ 梯形ABCD 是等腰梯形．

说明：如果AC 、BD 交于点O ，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰

梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．

问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，

可证

Rt ΔABC ≌Rt ΔCAE ，得∠1=∠2．

例3（补充） 已知：如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CF ⊥BE 交BD 于G ，F 是垂足．求证：四边形ABGE 是等腰梯形．

分析：先证明OE ＝OG ，从而说明∠OEG ＝45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延

长交于O ，显然EG ≠AB ．得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．

例4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm 、12cm ，高为

3cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积．

分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形． 如图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成

AECD 的画图．

画法：①画ΔABE ，使BE=12—4=8cm．

.

②延长BE 到C 使EC=4cm.

③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D ．

四边形ABCD 就是所求的等腰梯形．

解：梯形ABCD 周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．

12

S 梯形ABCD =

⨯（4+12）⨯3=24cm ．

2

答：梯形周长为26cm ，面积为24cm ．

2

例5：. 如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD 的腰长为5cm ，上、下底长分别是6cm 和12cm ，求梯形的面积. （方法一，过点C 作CE ∥AD ，再作等腰三角形BCE 的高CF ，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C 和D 分别作高CF 、DG ，可知DG=4cm. ）

，从而在Rt △AGD 中求出高

课后练习

1、填空

（1）在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，, 则（2）直角梯形的高为6cm ，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 . （3）等腰梯形 ABCD中，AB ∥DC ，A C平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm ，则2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD 中，AB=2CD，AC 平分∠DAB ，A B ＝43，（1）求梯形的各角. （2）求梯形的面积.

3、（1）在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，, 则DC

（2）直角梯形的高为6cm ，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是 和 ． （3）等腰梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，A C 平分∠DAB ，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm ，则

4．已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，A B ∥CD ，AB ＞CD ，AD=BC，BD 平分∠ABC ，∠A=60°，梯形周长是20cm ，求梯形的各边的长． （AD=DC=BC=4，AB=8）