专题复习双曲线的标准方程及其性质
教学过程
一、 课堂导入
二、 复习预习
1、点的轨迹的求法;
2、两点之间的距离公式; 3、椭圆的标准方程及其性质。
三、 知识讲解
考点1双曲线的定义。
平面内与两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数2a (2a
考点2双曲线的标准方程。
根据定义,如图建立直角坐标系,则点F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),设双曲线上一点P (x , y ), 那么由||PF 1|-|PF 2||=2a , (2a
=2a
=2a
=2a 两边平方:(x +c ) 2
+y 2=4a 2+
4(x -c ) 2
+y 2 (x -c )
2
+
y 2=4a 2+4(x +c ) 2
+y 2
=c 骣
x -a
2
=c 骣2
a 琪琪
桫c a 琪琪桫-a c
-x (双曲线第二定义的由来,选讲) 再次平方,化简:x 2y 2222
x 2y 2a 2-c 2-a 2=1,令b =c -a ,得:a 2-b
2=1
轾x +c 2+y 2-
轾x -c 2+y 2=
2a
=
?
2c a
x ,
=2a 联立
=c 骣a
2
a 琪琪桫x -c
=c 骣2
a 琪琪桫-a c
-x 以下与方法一相同。
考点3 双曲线简单的几何性质。
四、 例题精析
考点一双曲线的定义。
y 2
=1,那么它的焦点到渐近线的距离为( ) 例1 已知双曲线x -2
A.1
3
C.3
D.4
【规范解答】
解:依题意:c 2=1+3=4,∴焦点坐标(±2,0)
其渐近线方程为? y =0
答案选C 。
【总结与反思】做题中要熟练掌握双曲线的相关定义及各个参数之间的关系。
双曲线的标准方程。
已知双曲线C :x 2y 2
a
2-b 2=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为()
x 2y 2
A. 20-5
=1 x 2y 2B. 5-20=1
x 2y 2
C. 80-20=1 x 2y 2D. 20-80
=1
考点二例2
【规范解答】
解:依题意:2c =10, 2=
b a
根据c 2=a 2+b 2,得a 2=20,b 2=5 ∴答案为:A
【总结与反思】做题时要熟练掌握双曲线的标准方程及各个参数之间的关系。
考点三双曲线的简单的几何性质。
例3 已知F 1, F 2为双曲线C :x 2-y 2=2的左右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=()
1334A . B . C . D .
4545
【规范解答】
解:x 2y 2
2-2
=1 设PF 1=m , PF 2=n ,
依题意:ìïím =2n ìïm =ïî
m -n =íï
în =2
+2
根据余弦定理:
cos ? F -42
1PF 2=3
4
∴答案为C 。
【总结与反思】在解题中要灵活运用双曲线的几何性质,同时这类题目常常与解三角形结合。
x 2y 2
例4[2014·福建卷] 已知双曲线E :a -b =1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为l 1:y =2x ,l 2:y =-2x .
(1)求双曲线E 的离心率.
(2)如下图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点(A ,B 分别在第一、四象限) ,且△OAB 的面积恒为8. 试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,说明理由.
【规范解答】
解:(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y =2x ,y =-2x ,所以b
a =2,
2
所以
c 2-a a
2,故c a , 从而双曲线E 的离心率e =c
a 知,双曲线E 的方程为x 2y 2
(2)由(1)a 4a 1.
设直线l 与x 轴相交于点C .
当l ⊥x 轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,则|OC |=a ,|AB |=4a . 又因为△OAB 的面积为8,所以12|OC |·|AB |=8,因此12a ·4a =8,解得a =2,
此时双曲线E 的方程为x 24y 2
16
=1.
若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为x 24y 2
16
=1.
以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时,双曲线E :x 24-y 2
16
1也满足条件.
设直线l 的方程为y =kx +m ,依题意,得k >2或k
k 0⎫⎭
. 记A (x 1,y 1) ,B (x
2,y 2) .
由⎧⎪⎨y =kx +m ,⎪得y 2m 2m ⎩
y =2x 12-k y 2=2+k .
由S △OAB =12|OC |·|y 11-y 2|,得: 2m -k ⎪⎪·⎪⎪2m ⎪2-k 2m 2+k ⎪
=8, 即m 2=4|4-k 2
|
=4(k 2-4) .
⎧⎪y =kx +m ,由⎨⎪x 2y 2得(4-k 2) x 2-2kmx -m 2-16=0. ⎩4-161
因为4-k 2
4-16
1.
熟练掌握双曲线的定义,标准方程的表示以及其简单的几何性质。
【反思与总结】
五、 课程小结
1、双曲线的定义; 2、双曲线的标准方程; 3、双曲线的简单的几何性质。