两角相等的三角形相似

相似三角形判定定理

知识点精讲

知识点1 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 知识点2 相似三角形的基本定理

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：

知识点3 相似三角形判定定理1．两角分别相等的两个三角形典例精讲

例题1. 如图，D , E 分别是△ABC 的边AB , AC 上的点，DE ∥BC , AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长。

例题2、已知:如图, ΔABC 中, ∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC. 求证:AB〃BC=AC〃CD.

过手练习、

1. 已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=1350。 求证：ΔEAC ∽ΔCBF

2、已知:如图, ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2. 求证:ΔABC ∽ΔEAD.-

跟踪训练

A 组

1. 下面能够相似的一组三角形为( )

A ．两个等腰三角形 B．两个直角三角形 C．两个等边三角形 D．以上都不对 2. 如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形有（ ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对

第2题图 第3题图 第4题图 3. 如图，∠AED=∠B ，一定可得( )

A.AD ：AC=AE：AB B.DE：BC=AD：DB C.DE：BC=AE：AC D.AD：AB=AE：AC 4. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则下列表达式正确的是（ ）

AB DE AC AD AB AD BC AE A. B. C. D. ====AD BC AE AB AC AE DE AC

5. 如图，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线EC ，BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形 （用相似符号连接）．

按照一定的顺序去寻找相似三角形.

6. 如图，∠C =∠E =90 ，AC =3，BC =4，AE =2，则AD = ．

7. 如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB= .

第7题图 第8题图

8. 在平行四边形ABCD 中，E 在DC 上，若DE ：EC=1：2，则BF ：BE= ． 9. 如图，若∠A =∠C ，那么△OAB 与△OCD 相似吗？OA •OD =OB •OC 吗？为什么？

10、已知:如图,CE 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP 。

求证:(1)CE2=AE〃EB ; (2) AE〃EB=ED〃EP

课后训练

A 组题

知识点1 相似三角形的概念 1．下列说法中，错误的是( )

A．两个全等的三角形一定相似 B．两个钝角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．相似的两个三角形不一定全等 2．如图，若∠A＝∠A′，∠B ＝∠B′，∠C ＝∠C′，且

AB BC AC

＝＝，则____________． A′B′B′C′A′C′

知识点2 两角分别相等的两个三角形相似 3．下列说法正确的是( )

A．有一个角相等的两个等腰三角形相似 B．所有的直角三角形相似

C．有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 D．所有的等腰三角形相似

4．如图，E 是矩形ABCD 的AB 边上任意一点，F 是AD 边上一点，∠EFC ＝90°，图中一定相似的三角形是( )

A．①与② B．③与④ C．②与③ D．①与④

5．如图，在△ABC中，∠ACB ＝90°，C D⊥AB于点D ，则图中相似三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6．如图，∵∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∴________∽________.

7．已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角，判定这两个直角三角形________(填“相似”或“不相似”)．

8．如图，已知：在△ABC与△DEF中，∠C ＝54°，∠A ＝47°，∠F ＝54°，∠E ＝79°. 求证：△ABC∽△DEF.

AD AC

9．如图所示，AD ，BE 是钝角△ABC的边BC ，AC 上的高，求证：BE BC

B 组题

10．如图，在△ABC中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )

A．△ADE ∽△ABC B．△ADE ∽△ACD C．△DEC ∽△CDB D．△ADE ∽△

DCB

11．(海南中考) 如图，点P 是□ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有( )

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

12．在△ABC中，∠C ＝90°，D 是边AB 上一点(不与点A ，B 重合) ，过点D 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

13．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( ) A.

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14．如图，△ABC 、△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠PDE＝90°.

(1)若将△DEP的顶点P 放在BC 上(如图1) ，PD 、PE 分别与AC 、AB 相交于点F 、G. 求证：△PBG∽△FCP；

(2)若使△DEP的顶点P 与顶点A 重合(如图2) ，PD 、PE 与BC 相交于点F 、G. 试问△PBG与△FCP还相似吗？为什么？

C 组题

已知，如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，且AD=AC，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，•EC与AD 相交于点F ． 求证：△ABC ∽△FCD ；