第三章 质点相对运动学(讲义)

本章目录：（2010-4-12，符力平，中南大学物理学院） 3．1基本定义

3．1．1绝对运动 相对运动 牵连运动 3．1．2动系中矢量函数的相对导数 3．2速度合成定理 3．3柯里奥利定理

第三章 质点相对运动学

3．1基本概念

大量的事实表明：质点的运动特征（轨道、速度、加速度等）都与观察者所处的参考系的运动状态有关。例如，火车上和站台上的两个人所看到的雨滴下落的轨迹是不一样的。

问题：在给定两个参考系的相对运动之后，如何确定一个质点对这两个参考系的运动学特征量之间的关系（本章回答）？如何建立一个质点对非惯性系的动力学方程（后面的章节回答）？

3．1．1绝对运动 相对运动 牵连运动

为了便于确定动点的位置，我们把作相对运动的两个参考系（A ）和（B ）分别用两组坐标系——{O a , ξ, η, ζ}和{O , x , y , z }来表示。并假定{O a , ξ, η, ζ}是固定不动的，代表一个固定空间，称为固定坐标系或定系；而{O , x , y , z }则称为运动坐标系或动系，代表一个动空间。这两组坐标系就代表作相对运动的两个空间。应该指出，此处的定系和动系可以理解为前一章当中所使用的固定坐标系和刚体坐标系。

运动质点P 的位置，或用定系的或用动系的坐标来确定，这些坐标都是时间t 的函数。特别值得注意的是：动系既然代表一个动的空间，那么，这个空间内任一点，比如质点P 在某一瞬间所占据的几何位置（仍称为P ），对该动系来讲是固定的，但对定系则是运动的，而这个P 点的运动规律，显然与质点P 的运动无关，只取决于动系对定系的运动。换言之，这个P 点的速度或加速度就是刚体坐标系{O , x , y , z }所代表的那个刚体内P 点的速度或加速度，只不过那个刚体现在是没有的，空间是“空虚“的，而P 仅仅是一个几何点。

绝对运动：质点对定系的运动称为绝对运动（绝对轨道、绝对速度、绝对加速度等）。用下标“a ”表示绝对运动的量。

相对运动：质点对动系的运动称为相对运动（相对轨道、相对速度、相对加速度等）。用下标“r ”表示相对运动的量。

牵连运动：某一瞬间质点在动系中所占据的那个几何点P 对定系的运动，称为该点的牵

连运动。用下标“b ”来表示牵连运动的量。

注意：为了理解牵连运动，就得严格区分质点P 和它在动系上所占据的几何位置或“座位”点P ：质点在不同时刻，占据着动系上不同的点；而动系上不同的点，在不同时刻的运动状态并不相同。牵连运动是随时、随地在变化的。 3．1．2动系中矢量函数的相对微商

我们经常会遇到矢量相对于作任意运动的坐标系{O , x , y , z }微分的问题。矢量在定系

{O a , ξ, η, ζ}中的微商称为绝对导数；而在动系{O , x , y , z }中的微商称为相对导数。下面求这

两个导数之间的关系。

y

ξ

假设运动坐标系与固定坐标系的原点重合，O a =O ，见图。OP =ρ是在运动坐标系

{O , x , y , z }中给出的矢量，这个矢量OP 也可以在固定坐标系{O a , ξ, η, ζ}中给出，用r 表示。

由于坐标系{O , x , y , z }相对{O a , ξ, η, ζ}的运动已知，故确定运动坐标系相对于固定系坐标系方位的矩阵A 是已知的，并且有（视为同一矢量的两种表示）

r =A (t ) ρ

关于参数t 求导（在固定坐标系当中考察矢量随时间的改变），得

d r −1r +A ρ =AA =A ρ+A ρ

dt

由上一章当中的引理可知

−1r =ω×r AA

因此，

d r

=ω×r +A ρ

dt

上式中d r /dt 是矢量OP 的绝对导数（在固定坐标系{O a , ξ, η, ζ}中的导数），而

r /dt =A (t ) d ρ/dt 是矢量OP 的相对导数（即在运动坐标系当中考察矢量随时间的变化）d 。两

个导数都在{O a , ξ, η, ζ}中给出，由此可知，矢量d ρ/dt 是在运动坐标系{O , x , y , z }中给出。这

，表示在运动坐标系中对参数t 的导数，也即尽管在固定坐标里我们引进了相对导数符号：d

系看来，运动坐标系的基矢量不是常矢量（方向在变），但在求相对导数时却仍把它们看成是常矢量。

这样，我们最终得到

r d r d

=+ω×r dt dt

这个公式建立了绝对导数与相对导数的关系。

3．2速度合成定理

y

ξ

运动质点P 在任一时刻的位置矢量应满足

r P =r 0+r

r 则其中r P 为质点对固定坐标系的位置矢量，r 0为运动坐标系原点对固定坐标系的位置矢量，由其在固定坐标系中的分量给出的矢量。将r P 对时间求导便得P 点的速度：

P =r 0+r =v 0+ω×r +A ρ v a ≡r

=v b +v r

r /dt =A ρ 分别为牵连速度和相对速度。与前一章的内容比较可知：其中v b =v 0+ω×r ，v r =d

v b 恰好是运动质点于t 时刻、在动系上所占据的那个“座位”的瞬时速度。

速度合成定理：在相对运动中，质点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和：

v a =v b +v r

例，如图所示为一离心调速器，二根长为l 的对称杆OA 和OB 以角速度ω1绕一固定铅直轴OC 转动，同时，二杆又可以以角速度ω2=

d θ

绕O 点转动。求小球A 和B 的绝对速度。 dt

解：

取杆OA 和OB 所在平面为动系，则

ω=ω1k

A

小球（如A 球）的位置矢量为

r =l sin θi −l cos θk

因此，小球的相对速度为

r d d θd θ=l cos θv r =i +l sin θk =l ω2(cosθi +sin θk ) dt dt dt

由于动系运动而引起的牵连速度为

v b =ω×r =ω1k ×(l sin θi −l cos θk ) =ω1l sin θj

所以，绝对速度为

v a =v r +v b =l ω2(cosθi +sin θk ) +l sin θ

速度的大小为

v =

d θ

j dt

由θ的大小可以确定速度的大小。 §3相对运动中的加速度 柯里奥利定理

为了求点的绝对加速度，将前面得到的绝对速度表达式两边对时间微商，得

a =v b +v r a a ≡v

ρ ×r +ω×r +A +A 0+ω=v ρ ρ ) +A +A =a 0+β×r +ω×(ω×r +A ρρ

2r /dt 2是相对加速度，根据上一章的引上式中β是运动坐标系{O , x , y , z }的角加速度，A ρ=d 理，我们有

ρ −1A ρ =AA =ω×A ρ A

把加速度表达式重新组合，得

+ω×A ρ ] =[a 0+β×r +ω×(ω×r )]+A ρ+[ω×A ρ

或者

a a =a b +a r +a c

其中

a b =a 0+β×r +ω×(ω×r ) ——牵连加速度

2r d

a r =A ρ=2——相对加速度

dt =2ω×v r ——柯里奥利加速度 a c =2ω×A ρ

分别称为牵连加速度、相对加速度和柯里奥利加速度。

柯里奥利定理：在相对运动中，运动质点的绝对加速度等于牵连加速度、柯氏加速度与相对加速度的矢量和。 物理解释：

（1）a r 是动系上的观察者所看到的加速度（当然它是绝对加速度的一部分）。

（2）a b =a 0+β×r +ω×(ω×r ) 是牵连加速度，它是设想质点在动系中为静止时，随动系运动而具有的（绝对）加速度。也可分为平动和转动两部分。显然，从运动学上看，这个加速度在动系中是观测不到的，但又是绝对加速度的一部分。 （3）比较难于理解而又有趣的是柯氏加速度。由表达式

a c =2ω×v r

看出：在下列三种情形为零a c =0：

（i ）若ω=0，表示动系为平动的情形； （ii ）若v r =0，表示相对静止的情形；

（iii ）若ω&v r ，即相对运动方向恰与动系的转动轴平行。

可见，与a c 有直接有关的，实际上应为ω及v (r ⊥) ，而后者表示v r 在ω正交方向的分量，见图。因此，可将v r 分解为

v r =v (r &) +v (r ⊥) =v (r &) +v (r τ) +v (r n )

其中v (r τ) 及v (r n ) 为v r 在ω的正交平面内的径向分量和横向分量。代入到柯氏加速度中去，得

a c =2ω×v (r τ) +2ω×v (r n ) =a (c τ) +a (c n )

x

例，已知地球相对地心参考系的角速度为Ω，其大小为7.29×10−5/秒，方向沿地轴。设在纬度（latitude ）λ=40D 处某一运载器M 在地面沿子午线（meridian line，line of longitude）由南向北等速航行。已知速度u =1000米/秒，M 到地心的距离R 不变。分析运载器相对于地心参考系的加速度，并求出柯氏加速度的大小。 解：

取当地的（与地球固连的）“东北天”坐标系，则这个动系的角速度也是Ω。由于运载器

M 相对地球作等速圆周运动，故有：

相对加速度a r 的大小为：u 2/R ，方向指向地心；

牵连加速度a b 的大小为：R Ω2cos λ，方向垂直地轴且指向地轴；

柯氏加速度a c 的大小为：2Ωu sin λ≈0.094米/秒2，大约是重力加速度的百分之一，方向向西。