高一第2章2.2.2知能优化训练
1.椭圆6x +y =6的长轴的端点坐标是________.
y 22
解析:由已知椭圆方程可化为x +=1,其长半轴a =6,且长轴在y 轴上,故长轴
6
的两个端点为A 1(0,-6)
和A 2(0,6) .
答案:(0,±6)
x 2y 21
2.若椭圆+=1的离心率为,则m 的值为________.
16m 3
m 1161128
解析:由已知得1-=或1-=,∴m =或18.
169m 99
128
答案:或18
9
x 2y 2
3.已知点(3,2)在椭圆2+2=1(a >b >0)上,下列说法正确的是________.
a b
①点(-3,-2) 不在椭圆上; ②点(3,-2) 不在椭圆上; ③点(-3,2) 在椭圆上;
④无法判断点(-3,-2) ,(3,-2) ,(-3,2) 是否在椭圆上.答案:③
3
4.已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为,且G 上一点到G 的
2
两个焦点的距离之和为12,则椭圆G 的方程为________.
c 3
解析:设椭圆的长半轴长为a ,由2a =12知a =6,又e ==,故c =33,∴b 2=
a 2
22x y
a 2-c 2=36-27=9. ∴椭圆标准方程为+=1.
369
22x y
答案:+=1
369一、填空题
1.已知B 1,B 2为椭圆短轴的两个端点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若四边形B 1F 1B 2F 2
为正方形,则椭圆的离心率为________.
2c 2
解析:由已知b =c =,∴e =2a 2
2
答案:
2
2.设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2
为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为________.
c
解析:由已知得|PF 2|=2c ,|PF 1|=22c ,∴2c +2c =2a ,即(22+2) c =2a ,∴e =a
1
2-1. 2+1
2-1
x 2y 2x 2y 2
3.已知两椭圆1与1(0
2599-k 25-k
①有相等的长轴;②有相等的短轴;③有相同的焦点;④有相等的焦距. 解析:∵c 21=25-9=16,
2
∴c 1=4. 又∵c 2=(25-k ) -(9-k ) =16, ∴c 2=4,∴c 1=c 2.
2
2
x 2y 2→
4.已知F 1、F 2是椭圆C +=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且PF 1
a b
→
⊥PF 2,若△PF 1F 2的面积为9,则其短轴长为________.
|PF 1|+|PF 2|=2a ⎧⎪
|PF 2|=18解析:依题意有⎨|PF 1|·⎪⎩|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2
答案:④
∴|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|=4a 2.
∴4c 2+36=4a 2.
∴a 2-c 2=9,即b 2=9. ∴b =3,2b =6. 答案:6
5.已知椭圆的中心在原点,一个焦点为F (3,0),若以其四个顶点为顶点的四边形的面积是40,则该椭圆的方程是________.
解析:以椭圆顶点为顶点的四边形是对角线长分别为2a 和2b 的菱形,因此其面积为s 1400=2a ·2b =2ab =40,∴ab =20,又c =3,且a 2-b 2=c 2,∴a 2-=9,a 4-9a 2-400=0,2a 22
∴a =25或a =-16(舍去) .
x 2y 2
∴a =5,b =4,所求方程为=1.
2516
22x y
答案:=1
2516
,
x 2y 2
6.如图所示,F 1,F 2分别为椭圆=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,等
a b
边三角形POF 2的面积为3,则b 2的值是________.
解析:∵F 1,F 2为椭圆的两个焦点,点P 在椭圆上,且等边三角形POF 23,1c 3∴S =|OF 2|·|PO |·sin 60°=2=3,即c 2=4. ∵点P 的坐标为c ⎫,
2422⎭∴P (1,3) .将点P (13) 代入椭圆的方程得b 2=3. 答案:23
x 2y 2→→
7.设椭圆+=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2,点P 在椭圆上,且PF 1·PF 2=0,
a b
tan ∠PF 1F 2=2,则该椭圆的离心率为________.
2a -PF 12a
解析:依题意,∠F 1PF 2=90°,由tan ∠PF 1F 2=2得=2,即PF 1=,∴PF 2
PF 13
4a 2a 4a c 5=() 2+(2=4c 2,解得e ==. 333a 3
5
答案:
3
8.已知F 1、F 2为椭圆的两个焦点,以F 1为圆心,且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ,若PF 2恰好与圆F 1相切,则该椭圆的离心率为________.
解析:由已知圆F 1的半径r =c ,即|PF 1|=c , 又PF 2与圆F 1相切,所以PF 2⊥PF 1, ∵|F 1F 2|=2c ,∴|PF 2|=c , ∴|PF 1|+|PF 2|=(1+3) c =2a ,
c 2∴e ==3-1.
a 133-1 二、解答题
9.已知椭圆x 2+(m +3) y 2=m (m >0)的离心率e =长、焦点坐标、顶点坐标.
x 2y 2
解:椭圆方程可化为=1,
m m
m +3
m (m +2)m
因为m -=,
m +3m +3m
所以m .
m +3
m
即a 2=m ,b 2=,c =a -b =
m +3由e =
3
得, 2
m (m +2)
. m +3
3
m 的值及椭圆的长轴和短轴的2
m +23
=,所以m =1. m +32
y 212
所以椭圆的标准方程为x +=1. 所以a =1,b =,c =2,
1224
33
短轴长为1;两焦点坐标分别为F 1(-0) ,F 2(0) ;四个顶点坐标分别为A 1(-1,0) ,
22
11
A 2(1,0),B 1(0,-) ,B 2(0,.
22
10.对称轴为坐标轴的椭圆的焦点F 1,F 2在x 轴上,短轴的一个端点为B ,已知△BF 1F 2
的周长为4+23,∠BF 1F 2=30°,求椭圆的方程.
22x y
解:设椭圆方程为1(a >b >0).
a b
在Rt △BF 1O 中,|BF 1|=a ,|BO |=b ,|OF 1|=c ,∠BF 1F 2=30°,
|OF 1|c 3
∴cos 30°==,①
|BF 1|a 2
1
又|BF 1|+|OF 1|(4+23) ,即a +c =2+3,②
2
由①②两式,得a =2,c =3, ∴b 2=a 2-c 2=1,
x 22
所求椭圆方程为+y =1.
4
x 2y 2
11.设直线l :y =x +m 与椭圆C :=1(a >1)相交于A ,B 两点,且l 过椭圆C
a a -1
的右焦点,若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点,试求椭圆C 的方程.
x 2y 2
解:由椭圆C +1(a >1)得c a -(a -1)=1,∴椭圆的两个焦点为F 1(-1,0) ,
a a -1x 2y 2
F 2(1,0).又∵l 经过点F 2,∴m =-1,即直线l 的方程为y =x -1,代入=1(a >1)
a a -12a 2-a 4
得(2a -1) x -2a x +2a -a =0. 设A (x 1,y 1) ,B (x 2,y 2) ,∴x 1x 2=. 又∵以AB 为直径
2a -1
2
2
2
2
4
y 1y 2
的圆过点F 1,∴AF 1⊥BF 1. ∴kAF 1·kBF 1=-1,即=-1,∴y 1y 2+(x 1+1)·(x 2+1)
x 1+1x 2+1
2a 2-a 4
=0. ∵y 1=x 1-1,y 2=x 2-1,∴(x 1-1)(x 2-1) +(x 1+1)(x 2+1) =0,即x 1x 2=-1,∴2a -1x 2
=-1,解得a =3. 又∵a >1,∴a =23,即a -1=1+3. 故所求椭圆的方程为
23
2
2
2
2
y 2+1. 1+3