云南师范大学量子力学期末试题及答案ABC

云南师范大学2011-2012学年（下）学期期末考试

量子力学 试卷

学院 专业 年级 学号 姓名

一、 填空题（每题4分，共20分）

。 2、请给出动量表象中坐标算符的表达式。

3、请给出不确定度关系的表达式。

4、请给出力学量平均值随时间的变化公式。

(0)∞

ˆ，本征函数族为{5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为H ψn }n =0，对

(0)∞ˆ'之后变为H ˆ=H ˆ+H ˆ'，则能应本征值为{E n }n =0。Hamilton 量在被施加微扰H 0

量本征函数的计算公式为 （准确到一级近似）。

二、 简答题（共20分）

1. 请给出关于波函数随时间发展变化的假定。（4分）

2. 请叙述关于全同粒子的假定。（4分）

3. 请叙述关于算符的假定。（6分）

4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。（6分）

三、 判断题, 判断下列表述的正误。（每小题2分, 共 20分）

1．在单个电子穿过双缝装置的实验中确实存在规律，但是这个规律只是在电子数量很大的时候才存在。 （ ）

2．波函数的统计诠释其实只是一个假定。 （ ）

dinger 方程的解，则ψ*(x ) 也是具有相同能量本征值的解。3．ψ(x ) 是一维Schr o

（ ）

4．一维无限深势阱中的粒子处于基态，则其概率分布的极大值点不出现在阱的中央处。 （ ）

5．任何一种角动量 （ ） J 都遵守形如J ⨯J =i J 的关系。

n 6. 如果A 是厄米算符，则 （ ） A (n 是自然数) 也是厄米算符。

7. 非定态下，任何力学量的平均值都一定随时间改变。 （ ） 8. 自旋为 半奇整数倍的全同粒子体系，其波函数对于两粒子交换是对称的。

（ ）

9. 中心力场中，动量守恒而角动量不守恒。 （ ）

度为9。 （ ）10. n =3的氢原子，其能级简并

四、 计算题（40分）

1．一维谐振子（-∞

∞απe a ⎛ - ⎝(αx )⎫⎪⎪22⎪⎭, 请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：

-∞⎰e -(ax ) 2dx =）。（10分）

2. 一维无限深势阱中的粒子，0≤x ≤a , ψ(x , 0) =

(1) 任意时刻归一化的波函数ψ(x , t );

(2) 任意时刻的能量平均值。（10分）

8πx πx (1+cos ) sin 。求：5a a a

3. {ψn }n 为哈密顿量的本征值。有一个状态为ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+c 3ψ3，各系数模的平方之和为1，试求

（1）测量能量的可能值及对应的概率；

（2）测量能量的平均值？

（3）在ψ态下测量能量值，第一次测得E 2, 然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E 3的概率为？

ˆ的值，测得的结果是什（4）在ψ态下测量力学量A 么？（10分）

4. 设氢原子处于状态 ψ(r , θ, ϕ) =15(r ) (θ, ϕ) -(r ) (θ, ϕ) +(r ) (θ, ϕ) , 3R 32Y 203R 21Y 1-13R 43Y 32

求: (1)氢原子角动量平方及角动量Z 分量的可能值、相应几率; (2) 角动量平方及角动量Z 分量的平均值。 （10分）

云南师范大学课程考试

试卷参考答案及评分标准

课程名称： 量子力学 考试班级： 物理09级ABCD 班

试卷编号： A

解答及评分标准：（A 卷）

一、（每题4分，共20分）

1.

2.

命题教师签名 2012 年 6 月 12 日 3.

4.

(0)∞ˆ，本征函数族为{5、在非简并微扰论中，体系的原Hamilton 量为H ψn }n =0，对

(0)∞ˆ'之后变为H ˆ=H ˆ+H ˆ'，则能

应本征值为{E n }n =0。Hamilton 量在被施加微扰H 0

。 二、 简答题（ 共20分）

三、 1. 请给出关于波函数随时间发展变化的假定。（4分）

变化由S . Eq . 决定：(3分） 微观体系状态随时间的 ∂ψ(r , t ) ˆ i =H ψ(r , t （) 1分）∂t ˆ=T ˆ+V ˆ哈密顿算符：H

坐标空间中的S . Eq . ∂ψ(r , t ) 2

2i =[-∇+V (r )]ψ(r , t ) ∂t 2m 动量空间中的S . Eq .

2 ∂ϕ(p , t ) p 2∂i =[+V (i )]ϕ(p , t ) ∂t 2m ∂p

2. 请叙述关于全同粒子的假定。（4分）

1. 全同粒子-内禀属性（如静止质量、电荷、自旋、磁矩或者寿命等等）完全一样的粒子。(1分)

2. 粒子全同性原理：

全同粒子具有不可区分性。(1分) 因此，由若干全同粒子构成的量子体系中，任意交换两个粒子，不会引起体系状态的改变，(1分) 即体系波函数在两个粒子交换下保持不变。(1分)

3. 请叙述关于算符的假定。（6分）

算符假定：

1. 力学量使用相应的厄米算符来代表；（3分）2. 对完备的力学量完全集的本征函数族{ψk }k ，展开定理成立，即任意的波函数ψ，都可以用{ψk }k 来展开。（3分）

4. 请叙述量子力学中关于自旋的假定。（6分） 电子自旋角动量的假定： 1. 在空间任意方向上，其投影都只有两个值： S z =±2分）2 旋角动量相关联的内 2. 每个电子都有一个和自 秉磁矩μs , 满足 |μ|e s =2分）|S |m c

3. 自旋是一个力学量，对应的算符要满足角动量

的基本对易关系 ^ ^ ^

S ⨯S =i S （2分）

四、计算题(40分)

1、一维谐振子（-∞

∞απe a ⎛ - ⎝(αx )⎫⎪⎪22⎪⎭, 请计算该态下粒子坐标和动量的平均值（可能用到的公式：

-∞⎰e -(ax ) 2dx =）。（10分）

∞

解：由于⎰|ψ(x ) |2dx =1，所以波函数已经归一化（2分）

-∞

∞

*∞=⎰ψ(x ) x ψ(x ) dx =⎰|ψ(x ) |2xdx (2分）

-∞-∞

由于ψ(x ) 是偶函数，则|ψ(x ) |2x 是奇函数，

利用：奇函数的积分在对称区间上结果为0，得

=0(2分）

∞

ˆx ψ(x ) dx (2分）x =⎰ψ*(x ) p

-∞

利用结论：束缚本征态下，动量均值为0.

x =0(2分）

2. 一维无限深势阱中的粒子，0≤x ≤a , ψ(x , 0) =

(1) 任意时刻归一化的波函数ψ(x , t );

(2) 任意时刻的能量平均值。（10分）8πx πx (1+cos ) sin 。求：5a a a ψ(x , 0) =411+（, 已经归一化（2分）。22分）55

由上式可得任意时刻波函数

iE t iE 2t

-4- 11ψ(x , t ) =e +e 12解：55

任意时刻能量平均值(3分) s

ˆψ(x , t )) =4E +4E (3分) E =(ψ(x , t ), H 1255

这里可以用代入任意时刻波函数计算，也可以用能量守恒计算。

3. {ψn }n 为哈密顿量的本征值。有一个状态为ψ=c 1ψ1+c 2ψ2+c 3ψ3，各系数模的平方之和为1，试求

（1）测量能量的可能值及对应的概率；

（2）测量能量的平均值？

（3）在ψ态下测量能量值，第一次测得E 2, 然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E 3的概率为？

ˆ的值，测得的结果是什（4）在ψ态下测量力学量A 么？（10分）

解：

各系数模的平方之和为1，则波函数已经归一化。（1分）

（1）所以测得能量的可能值和概率为E 1，|c 1|2，E 2，|c 2|2，E 3，|c 3|2（3分）

（2）测量能量的平均值E =|c 1|2E 1+|c 2|2E 2+|c 3|2E 3(2分）

（3）在ψ态下测量能量值，第一次测得E 2, 然后又对测量后得到的体系测量能量值，同样方法共测量了6次，则最后一次测得E 3的概率为（02分）

ˆ的值，测得的结果是可ˆ的全部本征值中的某一（4）在ψ态下测量力学量A 能值为A 个，对应概率

ˆ的全部本征值展开为用A ψ后对应各本征态的系数模的平方。（2分）

4. 设氢原子处于状态 ψ(r , θ, ϕ) =15(r ) (θ, ϕ) -(r ) (θ, ϕ) +(r ) Y 32(θ, ϕ) , R Y R Y R 3220211-143333

求: (1)氢原子角动量平方及角动量Z 分量的可能值、相应几率; (2) 角动量平方及角动量Z 分量的平均值。 （10分）

135解：(1) 角动量平方的可能值为6 2, 2 2, 12 2，相应概率为, , ；角动量z 分999

135量的可能值为0 , - ，2 相应及率为, , 。 （4分） 999

135（2）L =⨯6 2+⨯2 2+⨯12 2 999

135L z =0 ⨯+(- ) ⨯+2 ⨯（6分） 999

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