1.4 绝对值的三角不等式 教学案
1.4 绝对值的三角不等式 教学案 3
教学目标:
1:理解并掌握x a 型不等式的解法.
2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数形结合的数学.
思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明.
教学重点:
绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用.
教学难点:
绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件.
教学过程:
一、复习引入:
在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解. 请同学们回忆一下绝对值的意义.
在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值. 即 ⎧x ,如果x >0⎪ x =⎨0,如果x =0.
⎪-x ,如果x
在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式.
二、新课学习:
关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式. 下面分别就这两类问题展开探讨.
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式) ,关键在于去掉绝对值符号,化成普通的不等式. 主要的依据是绝对值的几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型.
第一种类型:设a 为正数. 根据绝对值的意义,不等式x
-a 图1-1 a
如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解.
第二种类型:设a 为正数. 根据绝对值的意义,不等式x >a 的解集是
{x |x >a 或x
开区间(-∞, -a ), (a , ∞) 的并集. 如图1-2所示.
–a a
图1-2
同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解.
3、ax +b ≤c 和ax +b ≥c 型不等式的解法.
ax +b ≤c ⇔-c ≤ax +b ≤c
ax +b ≥c ⇔ax +b ≤-c 或ax +b ≥c
4、x -a +x -b ≤c 和x -a +x -b ≥c 型不等式的解法.(三种思路)
三、典型例题:
例1、解不等式3x -
例2、解不等式3x ->2-x .
方法1:分类讨论.
方法2:依题意,原不等式等价于3x -1>2-x 或3x -1
例3、解不等式2x ++3x -2≥5.
例4、解不等式x -2+x -≥5.
解:本题可以按照例3的方法解,但更简单的解法是利用几何意义. 原不等式即数轴上的点x 到1,2的距离的和大于等于5. 因为1,2的距离为1,所以x 在2的右边,与2的距离大于等于2(=(5-1) ÷2) ;或者x 在1的左边,与1的距离大于等于2. 这就是说,x ≥4或x ≤-1.
例5、不等式 x -+x +3>a ,对一切实数x 都成立,求实数a 的取值范围.
四、课堂练习:解下列不等式:
1、 22x ->1. 2、4-3x -1
224、 x +≥2-x . 5、 x -2x -4x +2.
7、 x +x -2≥4 8、 x -+x +3≥6. 9、 x
+x +