高中数学题库-数系的扩充.随机变量及概率分布
1. 排列、组合
(一)排列、组合问题
1. (均匀分组问题)15名新生中有3名优秀生,随机将15名新生平均分配到3个班级中.
25 916
(2)3名优秀生分配到同一班级的概率是多少?
9167
(3)甲班至少分到一名优秀生的概率是多少?
91
(1)每班级各分配一名优秀生的概率是多少?
2. (放回、不放回问题)袋中有5个红球、6个白球、8个黄球,随机抽3次,每次抽1个,颜色相同的事件记为事件A,颜色互不相同的事件记为事件B,在下列两种情况下,求事件A和事件B的概率: (1)抽后不放回;(2)抽后放回.
3. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有___________种. 20
4. 某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为_______ 24
5. 学校组织高一年级4个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览,则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_______种
6. 从甲、乙等5个人中选出3人排成一列,则甲不在排头的种数为________ 48
7. 有10件不同的电子产品,其中有2件产品运行不稳定,技术人员对它们进行一一测试,直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好3次就结束测试的方法种数为____32 8. 思考:(转化与化归思想)连接正方体8个顶点的直线中,成异面直线有多少对? 解:一个三棱锥可确定3对异面直线,故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的三棱锥?3(C8-12) 174对
9. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚,将这六枚棋子排成一列,其中每对同字的棋子中,均为红旗子在前,蓝棋子在后,满足这种条件的不同排列方式共有________种. 90 10. (斯坦福数学竞赛)
4
30
(二)排列、组合的证明
1. 把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第i行共有2
i-1
个
正整数,设aij(i,j∈N*)表示位于这个数表中从上往下数第i行,从左往右第j个数. (Ⅰ) 若aij=2013,求i和j的值; (Ⅱ) 记An=a11+a22+a33+
+ann(n∈N*),
3求证:当n≥4时,An>n2+Cn.
解:(Ⅰ) 因为数表中前i-1行共有1+2+2+则第i行的第一个数是2
i-1
12
+2i-2=2i-1-1个数,
,所以aij=2
i-1
+j-1,………………………………2分
因为210
令210+j-1=2013,则j=2013-210+1=990.………………………5分 (Ⅱ) 因为aij=2
i-1
+j-1,则ann=2n-1+n-1(n∈N*),
+2n-1)+⎡⎣0+1+2+
n
n
=2-1++(n-1)⎤⎦
所以An=1+2+22+
(
n(n-1)2n(n-1)2
………8分
3
.10分 =n2+Cn
当n≥4时,An=(1+1)-1+
n(n-1)2
0123
>Cn+Cn+Cn+Cn-1+
012
-Cn2. 设Sn=Cn-1+Cn-2-*m
+(-1)mCn-m,m,n∈N且m
m=
nn-1
;当n为奇数时,m=. 22
(1)证明:当n∈N*,n≥2时,Sn+1=Sn-Sn-1; (2)记S=
11110123
C2014-C2013+C2012-C2011+[**************]1
-
11007
,求S的值. C1007
1007
解:(1)当n为奇数时,n+1为偶数,n-1为偶数, ∵Sn+1=C
n+1
-C+
1n
+(-1)
n+12
C
n+12n+12
,Sn=C-C0n1n-1
++(-1)
n-12
C
n-12n+12
,
Sn-1=C0n-1
-C
1n-2
++(-1)
n-12
C
n-12n-12
,
∴Sn+1-Sn=(C0n+1
-C)-(C-C)+
0n1n1n-1
+(-1)
n-12
(C
n+1
-12n+1
+12
-C
n-12n+12
)+(-1)
n+12
C
n+12n+12
=-(C
0n-1
-C
1n-2
++(-1)
n-12
C
n-12n-12
)=-Sn-1.
∴当n为奇数时,Sn+1=Sn-Sn-1成立. 同理可证,当n为偶数时, Sn+1=Sn-Sn-1也成立. (2)由S=
11110123
C2014-C2013+C2012-C2011+[**************]1
[**************]
C2013+C2012-C2011+[1**********]1
-
-
11007
,得 C1007
1007
2014S=C2014-
20141007
C1007 1007
=
01C2014-(C2013+
12312233
C2013)+(C2012+C2012)-(C2011+C2011)+[1**********]1
1007012
-C1007)-(C2012-C2011+C2010-
1007
-(C1007+
10071007
C1007) 1007
012
=(C2014-C2013+C2012-1006
+C1006)
=S2014-S2012. 又由Sn+1=Sn-Sn-1,得Sn+6=Sn, 所以S2014-S2012=S4-S2=-1,S=-
1
. 2014
2. 随机变量及其概率分布
1. 某地区举办科技创新大赛,有50件科技作品参赛,大赛组委会对这50件作品分别从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用5分制,若设“创新性”得分为x,“实用性”得分为y,统计结果如下表:
(Ⅰ) 求“创新性为4分且实用性为3分”的概率; (Ⅱ) 若“实用性”得分的数学期望为
,求a、b的值. 50
解:(Ⅰ)从表中可以看出,“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件,
“创新性为4分且实用性为3分”的概率为=0.12.
50
(Ⅱ)由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级,且每个等级分别有5件,b+4件,15件,15件,a+8件. “实用性”得分y的分布列为:
“实用性”得分的数学期望为167,1⨯+2⨯+3⨯+4⨯+5⨯=.
[1**********]050作品数量共有50件,a+b=3,解得a=1,b=2.
2. 设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1的八个顶点中任取四个点,当四点共面时,ξ= 0,当四点不共面时,ξ的值为四点组成的四面体的体积. (1)求概率P(ξ= 0);
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E (ξ).
变式1:如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0)
(1)求V=0的概率;
(2)求V的分布列及数学期望.
变式2:(2012年江苏高考22题)设 为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取
两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.
(1)求概率P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).
4
; 11
461
(2)ξ的可能取值为0,1,2,其中P(ξ=0)=;P(ξ=1)=;P(ξ=2)=
111111
(1)考虑到图形的对称性,不妨先取定第一条,然后再考虑其他的边,故P(ξ=0)=则E(ξ)=
6+2
11
思考:(转化与化归思想)连接正方体8个顶点的直线中,成异面直线有多少对? 解:一个三棱锥可确定3对异面直线,故问题可转化成求在正方体中可构造多少个不同的
4三棱锥?3(C8-12)=174对
变式3:从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点,设随机变量ξ是这两点间的距离.
(1
)求概率Pξ=;
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ ).
2【解】(1)从正方体的8个顶点中任取不同2点,共有C8=28种.
(因为正方体的棱长为1
正方体每个面上均有两条对角线,所以共有2⨯6=12条.
因此Pξ=12=3. …………………………………………3分
287(2)随机变量ξ的取值共有1
正方体的棱长为1,而正方体共有12条棱,于是P(ξ=1)==.…………5分
287从而P(ξ==1-P(
ξ=1)-P(ξ==1-3-3=1. …………………7分
所以随机变量ξ的分布列是
(
………………………………………8分
因此E(ξ)=1⨯+= ………………………10分
7773. (南京市、盐城市2013届高三期末)某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为P1
=
2
3,
乙的命中率为P2, 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”. (1)若P2=
1
, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率; 2
(2)计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ, 如果Eξ≥5, 求P2的取值范围. 解: (1)可得P=(C2⋅
1
2111122111
⋅)(C2⋅⋅)+(⋅)(⋅)= 332233223
(2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为
2228421211
P=(C2⋅⋅)[C2⋅P2⋅(1-P2)]+(⋅)P2=P2-P2,而ξ~B(12,P),所以
333399
843
Eξ=12P,由Eξ≥5,知(P2-P22)⋅12≥5,解得≤P2≤1
994
评注:关键是辨识概型
4. 设不等式x+y≤4确定的平面区域为U,x+y≤1确定的平面区域为V (1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U内任取三个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率;
(2)在区域U内任取3个点,记这3个点在区域V的个数为X,求X的分布列和数学期望
1
C8⋅C5240
解答:(1)古典概型,解答为P(A)= =3
143C13
22
(2)几何概型X服从于伯努利分布B(3,
13),求得分布列和数学期望E(X)= 2π2π
5.(2013年复旦大学自主招生试题)某大楼共5层,4个人从第一层上楼梯,假设每个人等可能地在每一层下电梯,并且他们下电梯与否是相互独立的,又知电梯只在有人下时才停止.(1)求某乘客在第i层下电梯的概率;(i=2,3,4,5); (2)求电梯在第2层停下的概率; (3)求电梯停下的次数ξ的数学期望;
1175⎛3⎫
解析:(1);(2)P(A)=1- ⎪=;
4256⎝4⎭
(3)ξ的可能取值为1,2,3,4
2
C4(24-2)21411
P(ξ=1)=4=3==;P(ξ=2)=;
[1**********]4
C4C4A3A493
P(ξ=3)==P(ξ=4)==; 44
163244
4
所以E(ξ)=
175 64
6.(2013年通州区热点难点检测)在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)在一次游戏中:①求摸出3个白球的概率;②求获奖的概率;(2)在两次游戏中,记获奖次数为X:①求X的分布列;②求X的数学期望. 解:(1)记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件Ak(k=0,1,2,3).
1
C32C21
① P(A3)=22=. ----------------------2分
C5C35
2111
C32C2+C3C2C217
A3)=P(A2)+P(A3)=+=. -------------------5分
510C52C32
②P(A2
(2)P(X=0)=①X的分布列为
[1**********]7. ⨯=,P(X=1)=C2⨯=,P(X=2)=⨯=[***********]00
分
②X的数学期望E(X)=0⨯【或:∵X
B(2,
921497+1⨯+2⨯=. -------------------10分 100501005
777),∴E(X)=2⨯=】 10105
7.(分类讨论思想在概率问题中的应用)甲,乙两队各有3名队员,投篮比赛时,每个队
1
,(1)设前n(n=1,2,3,4,5,6)个人的进球总数与n之211
比为an,求满足条件a6=,且an≤(n=1,2,3,4,5)的概率;
22
员各投一次,命中率均为
(2)设甲,乙两队进球数分别为i,j(i,j∈{0,1,2,3}),记ξ=|i-j|,求随机变量ξ的分布列和数学期望 (1)a6=
11
,即6个人投篮进了3个球,又an≤(n=1,2,3,4,5),则有两种情况: 22
11111211
C2()=;
2222232
第一,第1人投篮没投进,第2人投篮投进了,第3人投篮没投进,第4、5人总共投进了1个球,第6人投篮投进了,其概率为P1=
第二,第1人投篮没投进,第2人投篮没投进,第3、4、5人总共投进了2个球,第6人投篮投进了,其概率为P2=
11213135
C3()=.从而,所求概率为P=P1+P2= 22226464
(2)P(ξ=0)表示两队进球数相同,即有 P(ξ=0)=(
3
[***********]
)()+C3()C3()+C3()C3()+()3()22222222
=
5
16
[***********])C3()+C3()C3()+C3()()= [**************]
P(ξ=2)=2[()3C3()3+C3()3()3=
222216
P(ξ=1)=2[(
13131)()]= 2232
5153115Eξ=0×+2×=
1632163216
P(ξ=3)=2[(
8.(2011安徽理科高考题)(化归转化突破重难点)
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别
p1,p2,p3,假设p1,p2,p3互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为q1,q2,q3,其中
q1,q2,q3是p1,p2,p3的一个排列,求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)
EX;
(Ⅲ)假定1>p1>p2>p3,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小
(本小题满分13分)本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识.
解:(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是
(1-p1)(1-p2)(1-p3),所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,并等
于1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=p1+p2+p3-p1p2-p2p3-p3p1+p1p2p3. (II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1,q2,q3时,随机变量X的分布列为
所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是
EX=q1+2(1-q1)q2+3(1-q1)(1-q2)=3-2q1-q2+q1q2.
(III)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
EX=3-2p1-p2+p1p2.
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值. 下面证明:对于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3,都有
3-2q1-q2+q1q2≥3-2p1-p2+p1p2,……………………(*)
事实上,∆=(3-2q1-q2+q1q2)-(3-2p1-p2+p1p2)
=2(p1-q1)+(p2-q2)-p1p2+q1q2
=2(p1-q1)+(p2-q2)-(p1-q1)p2-q1(p2-q2)
=(2-p2)(p1-q1)+(1-q1)((p2-q2)≥(1-q1)[(p1+p2)-(q1+q2)]≥0.
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(II)中所求的EX改写为3-(q1+q2)+q1q2-q1,若交换前两
人的派出顺序,则变为3-(q1+q2)+q1q2-q1,.由此可见,当q2>q1时,交换前两人的派出顺序可减小均值.
(ii)也可将(II)中所求的EX改写为3-2q1-q2+q1q2,或交换后两人的派出顺
序,则变为3-2q1-q3+q1q3.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当q3>q2时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.
综合(i)(ii)可知,当(q1,q2,q3)=(p1,p2,p3)时,EX达到最小. 即完成任务概率
大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.
9. 在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断 正确的概率为p,判断错误的概率为q,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现 记“该明星答完n题后总得分为Sn”.
1
时,记ξ=|S3|,求ξ的分布列及数学期望及方差; 212
(2)当p=,q=时,求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.
33
1
(1) ξ=|S3|的取值为1,3,又p=q=;
2
1311111故P(ξ=1)=2C3()⋅()2=,P(ξ=3)=()3+()3=. 224224
所以 ξ的分布列为:
(1)当p=q=
313
且Eξ =1×+3×=;
442
(2)当S8=2时,即答完8题后,回答正确的题数为5题,回答错误的题数是3题,
又已知Si≥0(i=1,2,3,4),若第一题和第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第一题和第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对3题. 1230⨯8808033
此时的概率为P=(C6+C5)⋅()5⋅()3=8=7(或).
33218733
10. (2013年南通通州区查漏补缺专项)一位环保人士种植了n棵树,已知每棵树是否成 活互不影响,成活率均为p(0
,求n,p的值并写出ξ的分布列. 2
解:(1)当n=1,ξ=0,1,于是ξ的分布列为:
∴Eξ=0×(1-p)+1×p=p.
∴Dξ=(0-p)⋅(1-p)+(1-p)⋅p=p-p=-(p-)+即当p=
2
2
2
1
2
2
1 4
11
时,Dξ有最大值.
42
(2)∵ ξ~B(n,p), ∴Eξ=np,Dξ=np(1-p) ∴ np=3,np(1-p)=
33
,∴p=,n=4 44
34
k
()k(1-)4-k (k=0,1,2,3,4), ∴ P(ξ=k)=C4
34
即ξ的分布列为:
11. 甲乙两个同学进行定点投篮游戏,已知他们每一次投篮投中的概率均为
2
,且各次3
投篮的结果互不影响.甲同学决定投5次,乙同学决定投中1次就停止,否则就继续投下去,但投篮次数不超过5次. (1)求甲同学至少有4次投中的概率; (2)求乙同学投篮次数x的分布列和数学期望.
解:(1)设甲同学在5次投篮中,有x次投中,“至少有4次投中”的概率为P,则
P=P(x=4)+P(x=5)
222112525
=C54()4(1-)1+C5. ()(1-)0=
3333243(2)由题意x=1,2,3,4,5.
21221122⎛1⎫22
,P(x=4)= ⎪⨯=, P(x=1)=,P(x=2)=⨯=,P(x=3)=⨯⨯=
333933327⎝3⎭381
3
1⎛1⎫
P(x=5)= ⎪=.
⎝3⎭81x的分布表为
4
22221121
x的数学期望Ex=1⨯+
2⨯+3⨯. +4⨯+5⨯=
3927818181
12. 由数字1,2,3,4组成五位数a1a2a3a4a5,从中任取一个
(1) 求取出的五位数满足“对任意的正整数j(1≤j≤5),至少存在另一个正整数
k(1≤k≤5,k≠j),使得aj=ak”的概率;(变式:如果四个数字分别是0,1,2,3呢?)
(2)记ξ为组成五位数的相同数字的个数的最大值,求ξ得分布列和数学期望
13.(2013年南通学科基地密卷5)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方对2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
21
,乙在每局中获胜的概率为,且每局胜负相互独立。 33
(1)求比赛进行两局恰好停止的概率;
(2)设ξ为比赛停止时已打的局数,求ξ的概率分布及数学期望E(ξ). (和南通四模的附加题方法一致) (利用化归思路研究第2问)
14. 如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落A或B或C.已知小球从每个叉口 落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球 3等奖. 落到A、B、C,则分别设为1、2、
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ);
(2)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动,记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次,求P(η=2).
3
163
P(ξ=0.7)=
17018
(1)(2)P(η=2)=
40967
P(ξ=0.9)=
163
E(ξ)=
4
P(ξ=0.5)=
15.(2013年南通四模数学试题)甲乙两人进行一场不超过10局的比赛.规定:每一局比赛均分出胜负,且胜者得1分,负者得0分;每人得分按累加计分;比赛中一人的得分比另一人高出2分则赢得比赛,比赛结束,否则10局后结束比赛;各局比赛的结果是相互独立的.已知每局比赛甲获胜的概率为p(0
(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).
(1)ξ=4表示4局后比赛结束,即第1,2两局甲乙各胜一局,第3,4两局甲连胜或乙连胜.所以当p=时,P(ξ=4)=2p(1-p)⎡p2+(1-p)2⎤=2⨯⨯⨯+=. ⎣⎦3339981(2)用P(ξ=k)表示k局后比赛结束的概率.
若k为奇数,则甲乙得分之差亦为奇数,所以ξ必为偶数.
()
考虑连续两局比赛结果:(记q=1-p)
(i)甲连胜或乙连胜两局(称为有胜负的两局),则此结果发生的概率为p2+q2; (ii)甲乙各胜一局(称为无胜负的两局),有两种情况,则此结果发生的概率为2pq. 由经k局比赛结束知,第1,2两局;第3,4两局;„;第k-3,k-2两局均未分胜负. 若k≠10,则第k-1,k两局为有胜负的两局,从而有 P(ξ=k)=(2pq)若k=10,比赛必须结束,所以P(ξ =10)=(2pq)4. 则ξ的分布列为
k-1
2
(p
2
+q2).
ξ的数学期望为
E(ξ)=2(p2+q2)+8pq(p2+q2)+24p2q2(p2+q2)+64p3q3(p2+q2)+160p4q4
=2(p2+q2)(1+4pq+12p2q2+32p3q3)+160p4q4,其中q=1-p.
16. 盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机抽出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).
3. 复数
(一)复数的四则运算
1. 已知i是虚数单位,复数z 的共轭复数为-z,若2z =-z+ 2 - 3i,则z = .2. 已知i是虚数单位,复数z=7-i
3+i
,则z= .2+i 3. 已知z=
2+ai
-i+5
是纯虚数,则a=_______
4. 已知i为虚数单位,计算(1+2i)(1-i)2= 5. 复数z=i(其中i是虚数单位)的虚部为 .2
2 - i
(二)复数的几何意义
1. z=-4i+3对应的点在第______象限;其共轭复数为___________ 2. 设复数z满足z-3i+4=1,则z的最大值和最小值为_____________ 3. 已知i是虚数单位,复数z=4. 已知i是虚数单位,复数z =
3+i
对应的点在第 象限. 1+i
1+2i
,则 | z | = . 3-4i
5.已知i是虚数单位,复数z 的共轭复数为-z,若2z +-z= 3 + 4i,则z = . 6.已知复数z满足 z2 + 4 = 0,则z =
7. 若复数z满足z-i=1,则z+i+的最大值为________.
4. 集合计数问题研究
1. 集合S={1,2,3,
集合A={a1,a2,a3}是S的子集,且a1,a2,a3满足a1
且a3-a2≤6,那么满足条件的子集A的个数为_____________83
2. 记集合P = { 0,2,4,6,8 },Q = { m | m = 100a1 +10a2 + a3,且a1,a2,a3∈P },将 集合Q中所有元素排成一个递增的数列,则此数列的第68项是_______.464
1,2,3, ,n}的两个子集A,B3.(13年南通学科基地密卷)设n为给定的正整数,数集M={
构成一个有序对(A,B)
(1)记an为满足A≠B的有序对(A,B)的个数,求an;
(2)记bn为所有满足集合B是集合A的真子集的有序对(A,B)的个数,求bn
变式:设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足:A不是B的子集,且B也不 是A的子集.
(1)若M={a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数;
(2)若M={a1,a2,a3,⋅⋅⋅,an},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.
解:(1)110; „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 (2)集合M有2个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n-1)个.
*若A⊂≠B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N)个元素,则满足A⊂≠B的有序
n
集合对 (A,B) 有
∑C
k=1
n
k
n
k
(2-1)=∑C2-∑Cn=3n-2n个 . „„„„„„„6分 k
k
n
k
k=0
k=0
nn
nn
同理,满足B⊂≠A的有序集合对(A,B)有3-2个. „„„„„„„8分
满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1)-2(3n-2n)=4n+2n-2⨯3n.„10分
1,2,3,4 ,i}的子集,其中i,j为4. (13年南通学科基地密卷)设P ,Pj为集合P={1,P2,
正整数,记aij为满足P1 P2 P3 Pj=∅的有序子集组(P1,P2, ,Pj)的个数. (1)求a22的值;(2)求aij的表达式