一类一阶变系数高次微分方程的通解
2010年2月第29卷 第1期
重庆文理学院学报(自然科学版)
Jou rnal of Chongq i ng Un i versit y ofA rts and S ci en ces (Nat u ral Science Ed iti on)
Feb , 2010
Vol 29 No 1
一类一阶变系数高次微分方程的通解
毛一波, 陈道兰
1
2
(1. 重庆文理学院 数学与统计学院, 重庆 永川 4102160; 2. 重庆文理学院 图书馆, 重庆 永川 402160)
[摘 要]通过对一类微分方程通解的讨论, 提出了独立通解的概念, 得到了一阶变系数高次齐次微分方程的独立通解的个数, 给出了其通解表达式, 并计算了一阶变系数高次非齐次微分方程右端为特殊结构时的一个特解.
[关键词]一阶高次; 变系数; 微分方程; 独立通解
[中图分类号]O175. 1 [文献标志码]A [文章编号]1673-8012(2010) 01-0008-04 对于方程:
n n (n-1) n-1x (y ) +a 1x (y ) y + +a n-1x y y +a n y =f (x ) (1) 这里a i (i =1, 2, , n ), 为已知实常数, f (x ) 为连续函数, y =
. f(x ) =0时, 称方程(1) d x
n -1
n
依方程(4) 的结构, 采用特征根法, 令y =x ( 为待定参数) 为其解. 代入得其特征方程:F ( ) ! +a 1 +a 2 + +a n -1 +a n =0.
(5)
由代数学基本定理, 该特征方程在复数范围内存在n 个根
[4]n
n -1
n-2
为齐次方程, 否则称方程(1) 为非齐次方程.
对于方程(1), 当 =0时, 方程变为:(y ) +a 1(y )
[1]n
n-1
.
容易证明, =1时, 文献[1]的相关结论可以平凡地推广, 即有如下引理:
引理1 若 是特征方程(5) 的根, 则y =cx 一定是方程(4) 的一个通解, 且方程(4) 的解只有y (x) =cx 形式, 其中c 为任意常数, 为特征方程(5) 的根.
引理2 若 i , j 是方程(5) 的两个不相等
(3)
的根, 则y =x i +x j 不是方程(4) 的解, 但x i , x j 是方程(4) 的两个线性无关解.
定义1 若x i , x j 是方程(4) 的两个线性无关解, 则称y i (x) =c i x i , y j (x) =c j x j (c i , c j 为任意常数) 是方程(4) 的两个独立通解.
引理3 若 是方程(5) 的p 重特征根, 则方程(4) 对应特征根 只有唯一一个通解cx ,
y + +a n -1y y
[2]
n -1
+a n y =f (x) .
(2)
n
龚东山在戴中林的基础上对方程(2) 进行研究, 本文在文献[1]的基础上将方程(2) 进行了推广, 研究方程(1) 中 取任意实常数的情形.
当n =1时, 方程变为
x y +a 1y =f(x ). 得到
[3]
此时, 方程(3) 为一阶线性微分方程, 其解容易
. 本文仅研究方程(1) 在n >1时的解.
1 =1的情形
当f (x ) =0时, 方程(1) 变为
1. 1 f (x) =0的情形x (y ) +a 1x
n
n
n-1
(y ) y + +a n-1xy y
n-1n-1
+a n y =0.
(4)
n
其中c 为任意常数.
引理4 1) 若方程(5) 含有m (1∀m ∀n) 个互异单实根 , 2, , m ) , 则方程(4) k (k =1必存在m 个独立通解:y k (x ) =c k x k , c k 为任意常数.
这是一个一阶高次变系数齐次非线性微分方程. 易见, y =0是方程(4) 的解, 称y =0为方
程(4) 的平凡解. 下面讨论方程(4) 的非平凡解.
[收稿日期]2009-12-03
[基金项目]重庆市教委科研项目(KJ051203); 重庆文理学院科研项目(Y2006SJ85). [作者简介]毛一波(1971-), 男, 四川广安人, 副教授, 主要从事微分方程理论方面的研究.
2) 若方程(5) 含有p (p #2) 重实根 u , 则方程(4) 对应于特征根 u 只存在唯一一个通解:y u (x ) =c u x , c u 为任意常数.
3) 若方程(5) 含有重数为q (q #1) 的共轭复根 v , 则方程(4) 对应于特征根 v = v ∃i v = v ∃i v 只存在两个独立的复数通解:y v 1(x) =c v 1x [cos ( ln x ) +isin ( ln x ) ],y v 2(x) =c v 2x v [cos ( l n x ) -isin ( ln x ) ].其中, c v 1, c v 2均为任意常数.
定理1 设方程(5) 是方程(4) 对应的特征方程, 如果 1, 2, , m (1∀m ∀n ) 是方程(5) 的互异单实根, n ) 分p 1, p 2, , pu (1∀pu ∀别是方程(5) 的p 1, p 2, , p u (pi #2, i =1, 2, , u) 重互异实根, , qv ∀n ) 分q 1, q 2, qv (1∀别是方程(5) 的q 1, q 2, , q v (q i #1, i =1, 2, , v) 重互异共轭复根, 则m +
v u
u
设方程(6) 的特解为y (x ) =bx n (其中b 为待定系数), 将y , y 分别代入(6), 有b [n
u
n n -1) +a 1) + +a n-1) +a n ]=. n n n u
u
由于x n &0, 上式变为b [(
n
n n -1) +a 1() + +a n-1() +a n ]=d, n n n
F ()
n
u
1从而有
b =
,
于是可得方程(6) 的一个特解:
y (x) =
u F ()
n
n
.
%p
i=1
u
i
+2%q j =n ,
j=1
v
2 &1的情形
当f(x ) =0时, 方程(1) 变为
且方程(4) 的独立通解的个数为m +u +2v , 进一步, 方程(4) 的通解是由该m +u +2v 个独立通解共同构成.
证明 依引理4, 对于方程(5), 其互异特征单实根 , 1, 2, m 所对应的独立通解的个数为m ; 其互异特征重实根 p 1, p 2, , pu 对应的独立通解的个数为u ; 其互异特征共轭复根 q 1, , v . q 2, qv 对应的独立复数通解的个数为2
由代数学基本定理, 该特征方程在复数范围内有且仅有n 个根, 故m +立
[2]
2. 1 f(x ) =0的情形x (y ) +a 1x
n
n
(n-1)
(y ) y + +a n -1x y y +a n y =0.
(7)
n -1 n-1n
这是一个一阶高次变系数齐次非线性微分方程.
n-1n
) +a 1() +将方程(7) 改写为(
y y +a n-1() +a n =0, 易见= 为其特
y y
x 1-
x y
征方程(5) 的特征根, 由= 得y =c .
y
%p +2%q
i=1
i
j=1
u v
j
=n 成
因此, 类似 =1的情形, 可知方程(7) 存在形如y =c 1-
. 又由于上述单实根、重实根和重共轭复根
的通解(其中c 为任意常数). 于是引
是互异的, 由定义1知, 它们各自对应的通解是独立的, 故方程(4) 存在独立通解的个数为m +u +2v . 此时, 方程(4) 的通解是由该m +u +2v 个独立通解共同构成. 1. 2 f (x) =dx 时的特解
此时方程(1) 变为:x n
n-1n-1n -1n u n
) +a 1x ) y + +a n -1x y +an y =dx .
d x d x d x
u
理1~4和定理1可再一次推广为:
引理1 若 是特征方程(5) 的根, 则y =c x 1-
*
一定是方程(7) 的一个通解, 且方程(7)
x 1-
1-
的解只有y =c 形式, 其中c 为任意常数,
为特征方程(5) 的根.
*
引理2 若 i , j 是方程(5) 的两个不相等的根, 则y =但 1- x 1-
i 1- (6)
其中, a i (i =1, 2, , n ), d, u 都是常数. 本文仅讨论
u
不是方程(5) 的特征根的情形. n
+ j
x 1- 不是方程(7) 的解,
, x 1- 1-
是方程(7) 的两个线性无关解.
i x 1-
定义2 若1-
x 1-
, 1-
j x 1-
是方程(7) 的两个
i 1-
此时, 显然有:
n n -1
) =) +a 1) + +a n -1) +a n &0. n n n n
线性无关解, 则称y i (x) =c i c j 立通解.
, y j (x) =
(c i , c j 为任意常数) 是方程(7) 的两个独
9
引理3 若 是方程(5) 的p 重特征根, 则方程(7) 对应特征根 只有唯一一个通解c x 1-
*
b e
n (1- ) ux 1-
[(
n n-1
) +a 1() +n n (1- ) u x 1-
) +a n ]=d e . n &0, 上式变为
, 其中c 为任意常数.
*
+a n -1(由于e b [(
n
引理4 1) 若方程(5) 含有m (1∀m ∀n ) 个互异单实根 , 2, , m ) , 则方程(7) k (k =1必存在m 个独立通解:y k (x) =c k 任意常数.
2) 若方程(5) 含有p (p #2) 重实根 u , 则方程(7) 对应于特征根 u 只存在唯一一个通解:y u (x ) =c u u x 1-
1-
x (1- ) ux 1-
, c k 为
(1- ) u n (1- ) u n-1
) +a 1() + +n n a n-1(
) +a n ]=d , n F ()
n
1n
, c u 为任意常数.
从而有:b =, 于是可得方程
(1- ) ux 1-
1
3) 若方程(5) 含有重数为q (q #1) 的共轭复根 v =! v ∃i v , 则方程(7) 对应于特征根 v 只存在两个独立的复数通解:v =! v ∃i
1- 1- v v
x ) +isin ( x )], 1- 1-
! v 1- 1- 1- v x ) -isi n v x ) ].y v 2(x) =c v 2[cos 1- 1-
其中, c v 1, c v 2均为任意常数.
! v x 1- (7) 的一个特解:y (x ) =
(1- ) u F ()
n
.
y v 1(x) =c v 1[cos 3 更一般情形
对于方程(1) 的更一般情形, 当右端为0时, 可以考虑如下方程
(f (x)g (y ) y ) +a 1(f(x ) g (y )y )
a n -1(f(x ) g (y ) y ) +a n =0.
n
n-1
定理2 设方程(5) 是方程(7) 对应的特征
方程, 如果 1, 2, , m (1∀m ∀n ) 是方程(5) 的互异单实根, n ) 分p 1, p 2, , pu (1∀pu ∀别是方程(5) 的p 1, p 2, , p u (pi #2, i =1, 2, , u) 重互异实根, , qv ∀n ) 分q 1, q 2, qv (1∀别是方程(5) 的q 1, q 2, , q v (q i #1, i =1, 2, , v) 重互异共轭复根, 则m +
+ +(8)
其中a i (i =1, 2, , n ) 为已知实常数, f (x) &0为连续函数, g (y ) 为关于变量y 的连续可微函数, y =
. d x
1
的情形, 本文方程(1) 是方程(8) 中y
易见, 文献[1]是方程(8) 中函数f (x) =1, g (y ) =
%p
i=1
u
i
+2%q j =n ,
j=1
v
且方程(7) 的独立通解的个数为m +u +2v , 进一步, 方程(7) 的通解是由该m +u +2v 个独立通解共同构成. 2. 2 f (x) =d e
ux 1-
函数f (x ) =x , g (y ) =的情形.
y
设f(x )g (y)y = , 则易见f (x)g (y ) y = 的充分必要条件是 为方程(5) 的特征根, 由f(x ) g (y )y = 可得方程(8) 的如下形式:
x
1
g (y) =d t+c 的隐式通解. 其独立隐式通
x 0f (t)
时的特解
此时方程(1) 变为:
- n n (n-1) n -1 n -1n u x 1
x (y ) +a 1x (y ) y + +a n -1x y y +a n y =d e . 其中, a i (i =1, 2, , n), , d, u 都是实常数. 本文
(1- )u
仅讨论不是方程(5) 的特征根的情形.
n
此时, 显然有:F (
(1- ) u (1- )u n (1- )u n -1
) =() +a 1() +n n n
(1- ) u
+a n -1() +a n &0.
n 设方程(7) 的特解为y (x ) =b (1- )u x 1-
解的形式和个数以及方程(8) 右端非0的情形可仿照前面内容进行推广得到.
6 65 5
例1 求方程x () +2x () y +
d x d x
422 24 d y 56
) y -x () y -2x y -y =0的通d x d x d x 解(其中 为实常数). x (
4
解 特征方程为:F ( ) ! +2 + - -2 -1=0, 化简得:( -1) ( +1) ( +1) =0.
1) 当 =1时, 由引理4知原方程有4个独
32
2
654
(其
中b 为待定系数), 将y , y 分别代入以上的f (x),
有:
立通解:
y 1(x) =c 1x , y 2(x)=c 2[c os (l n x ) +isi n (l n x )],y 3(x)=c 3[cos (ln x ) -i s i n (ln x )], y 4(x) =c 4x . (c 1, c 2, c 3, c 4均为任意常数). 由定理1, 原方程的通解由这4个独立通解共同构成.
*
2) 当 &1时, 由引理4知, 原方程有4个独立通解:y 1(x) =1x 1- y ) -3(x-y ) =0的通解.
解 将原方程改写为:(
2) +2-3=0.
x -y x -y
2
-1
2
由其特征方程 +2 -3=0得两相异特征单实根 , 1=12=-3. 于是或
=3.
x -y 由
=1
x -y
,
x x
1-
1x 1- 1
) +isi n (
1- 1-1x 1- 1
y 3(x) =c 3[cos () -isi n (
1- 1-y 2(x) =c 2[cos (y 4(x) =x 1-
) ],) ],
1-
22
=1解得:x -2xy -y =c 1
x -y
(x +y ) y
(c 1为任意常数), 由=3解得:(y +2x
x -y +) ∋(y +2x -)
1
1.
*
=c 2(c 2为任意常
(c 1, c 2, c 3, c 4均为任意常数). 由定理1, 原方程的通解由这4个独立通解共同构成.
例2 求方程x (y ) +2xy y -2y =x 的一个解.
==1不解 n =2, u =2, d =1, 而
2n 是特征方程 +2 -2=0的根. 令原方程的一个特解为y (x ) =bx =bx , 将y, y 分别代入原
方程, 可得b =1, 因此, 原方程存在一个特解y (x) =x .
例3 求方程(x+y ) (y ) +2(x+y )y (x-2
2
n
数).
2222
[参考文献]
[1]龚东山. 一类一阶微分方程独立通解的研究[J].长沙大学学报, 2008(5) :1-3.
[2]戴中林. 一类一阶高次微分方程的解法[J].大学数学, 2006(6) :155-156.
[3]王高雄. 常微分方程(第3版) [M ].北京:高等教育出版社, 2006:44-50.
[4]张禾瑞. 高等代数(第3版) [M].北京:高等教育出版社, 1983:48-54.
2
On the genera l solution of a cl ass of differenti al equati ons of one order
w ith variable coeffi cients higher degree
MAO Y i-bo , C HEN Dao-lan
1
2
(1. S choo l o fM a t hem a ti cs a nd S t a ti s ti cs , C ho ngq i n g Un i ve rs i t y o f Art s and S ci en ce s, Yongch uan C hong q i ng 402160, C h i n a ;
2. L i b ra ry, C ho ngq i ng Un i ve rs it y o f Arts a nd S c i ence s, Yo ngchua n C hongq i ng 402160, C h i na )
Abst ract :This paper presents a c lass of d ifferential equations of one order w ith variab le coefficients h i g her deg ree , and g ives t h e ir independent general so l u ti o n by characteristic equati o n m ethod . F i n all y , a special solution o f heterogeneous differential equati o ns of one o r der w ith variable coe ffi c ients h i g her deg ree is ob tained.
K ey w ords :one order w ith higher degree ; variable coefficients ; d ifferential equati o ns ; independent general solution
(责任编辑 穆 刚)