三角函数的奇偶性案例分析

三角函数的奇偶性案例分析

南京市秦淮中学许明

[案例主题]

函数的奇偶性是函数的一个重要性质 , 它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有：

1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？

2、及型函数的对称中心和对称轴.

[案例背景]

研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要 , 如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数, 则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分, 就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像. 函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想）

片段一 :（奇偶函数的图象特点和性质探究）

师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？

生：图（ 1）两边成对称图形，在图（2）中关于y 轴对称。

师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出 y=-3x和y=x 2 +2的图象并观察有何特点？ 生：奇函数 y=-3x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x 2 +2的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于y 轴对称。

师：回答得太棒了！大家再作出 y=4x和y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？

生： y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x 2 与 y=x 2 +2 的图象一样也关于 y 轴对称。

师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数。

师：请同学们思考自学课本 P51倒数第二段。

生：噢，原来如此。

师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数的图象？

生 3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？

生 4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。）

生（全体）：真棒！

片段二 :（对称中心和对称轴的探究）

师：上两节课我们学习了正余弦函数的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请大家结合函数图象讨论是否还有其他性质。我们先从正弦函数开始。

生 1：正弦函数图象关于原点对称，因为它是奇函数。

生 2：正弦函数关于直线对称

生 3：因正弦函数是周期函数，我发现还关于直线

„对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍

生 4：不对，我觉得应该是关于直线„对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍。 师：太棒了。

（余弦函数的对称中心和对称轴的探究略）

师：好，我们下面进一步对他们进行深入研究，首先大家试试能否说出的对称中心和对称轴。 生：结合函数图象容易看到它的对称中心是，对称轴是

师：呢？呢？

生：用五点点法画出函数图象观察后可得，两者对称中心和对称轴相同，它的对称中心是对称轴是

师： good! 大家发现找对称轴和对称中心有什么规律没有？

生甲：（急不可待）我发现了，对称中心实际上就是图象与 x 轴交点的坐标，而对称轴是函数取得最大或最小值时所对应的变量x 的取值。

生乙：可用诱导公式变为，利用余弦函数的图象不是更简单吗？

师：两个同学说得都非常棒。生甲说出了对于求及型函数对称中心和对称轴的通法。生乙实际上发现了另外一个问题，即和什么时候是奇函数什么时候是偶函数。

生乙：根据诱导公式，很容易看到当时是偶函数，而是奇函数，当时，是奇函数，而是偶函数。

师：太棒了。（并作适当解释）

[分析与反思]

这节课本着“课程标准为依据，教师为主导，学生为主体”的原则进行设计与教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，在教师的有效指导下解决问题。应当说在知识的习得、能力的培养二个方面收获都比较大，基本上达到了预期的教学目的。比如，用麦当劳图案作为轴对称的实际例子，调动了学生的学习积极性；通过阅读理解、交流学习的形式导出偶函数的性质，使学生体验了知识习得的过程。

在上课的同时，我利用空余时间听了几堂其他教师的课，课后也作了相应的比较，我认 为我的优势在于：

课堂氛围良好，师生关系融洽

以学生为主体，教学相长为基本的价值关系

以是否培养学生的创新素质为基本价值取向

以学生体验过程为基本的价值策略

在整个教学过程当中我主要注意到了以下几点：

（ 1）利用问题对各环节进行衔接，使新知识孕伏在旧知识当中，使新知识的学习在旧知识的习得中获得

(2)“提出问题--分析问题--解决问题--理性归纳”这一流程在整个教学过程和每一个教学环节中循环使用，使学生的认识螺旋上升，不断深化，学生的知识得到不断重组和内化，从而使学生形成了完整的知识体系和良好的认知结构，也优化了课堂的教学结构

（ 3）把学习的权利还给学生，使学生体验到数学的乐趣。

在学习过程中，把思考的时间留给学生，把发现的过程给学生，把概括总结的机会给学生，使学生说思路、讲过程、探方法、找规律。这两节课进行期间，共有两次学生讨论的时间，二十多人次发言，在研究、讨论、合作、交流中，充分体验了学数学、做数学、用数学的乐趣。使学生自主学习成为可能。

（ 4）内容问题化，按学生的认知基础，年龄特点及认识问题的一般方法、规律设计问题，从而使提出的问题具有可接受性、障碍性、开放性和挑战性，使有效学习成为可能。

生乙能够根据诱导公式将化为是我备课是没有想到的，可见学生创新的思维火花是无处不在的。于是我接着他的问题阐述了和是奇函数和偶函数的充要条件。本堂课就显得非常的完整。 在探究学习中，学生必须综合所学得的知识，并把它应用于新的、未知的情景中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。因此，在教学中数学思想，数学方法和策略的运用显得尤为重要。数学问题的解决，作为创造性思维活动过程，其重要特点是思维的

变通性和流畅性。当问题难于如手，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为一个比较熟悉或比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到对原问题的解决。当然，这就需要有正确的解题策略，而策略的培养最好的办法就是对知识的探究，自己去认识他们间的联系。但是现代心理学家倾向于认为仅仅在尝试错误中学习是不够的，正确的解题策略的产生有时还需要顿悟。

从本堂课的教学实践中我还深刻体会到要上好一堂课需要注意以下几点：（ 1）带着问题边阅读边思考，目标明确，要求具体，效果好。但是阅读自学的时间与问题的难易程度要适当，如果流于形式，那么就达不到教学目的。

（ 2）学生的学习交流需要教师的精心指导，使课堂学习交流不仅是问题解决的过程，而且是培养学生表达能力、探索精神、团结协作精神的过程。

（ 3）作为探究型课，要注重学生的学习过程，这个过程是一个不确定的过程，即使教师作了认真准备，也不可能完全预料探究的全过程，因此教师要不断提高自己课堂教学的调控能力，善于根据学生活动情况作灵活调整。

（ 4）传统的“接受式”教学，注重的是知识的传授与运用，对于理性知识的习得很有作用；“探究式”学习注重实践、探究，注重自主活动，注重学习过程，能激发学生的主体意识，有利于创新精神与实践能力的培养。我认为一个好教师要善于使二类教学方法有机整合。 （ 5）应对学生思维活动做出及时、合理的评价。