教师招聘小学数学专业试题及解答

小学数学专业部分（共18个题目，60分）

一．选择题（共10小题，共30分） 1．（2013•新课标Ⅱ）设复数z 满足（1﹣i ）z=2i，则z=（ ） A ．﹣1+i B ．﹣1﹣i C ．1+i D ．1﹣i

2

2．（2015•安徽四模）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x﹣2x ﹣3＜0}，集合M ∩N=（ ） A ．{x|0≤x ＜1} B ．{x|0≤x ＜2} C ．{x|0≤x ≤1} D．{x|0≤x ≤2} 3．（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）

A ．100 B ．150 C ．200 D ．250 4．已知正实数x ，y 满足2x+3y=1，则

+

的最小值为（ ）

A ．2 B ．2 C ．2+2 D ．3+2 5．（2015•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A ．8+2 B ．11+2 C ．14+2 D ．15

2n

6．（2015•河北）设命题p ：∃n ∈N ，n ＞2，则￢p 为（ ）

2n 2n 2n 2n

A ．∀n ∈N ，n ＞2 B ．∃n ∈N ，n ≤2 C ．∀n ∈N ，n ≤2 D ．∃n ∈N ，n =2 7．（2014•宜春校级模拟）已知α为第二象限角，A ．﹣

B ．﹣

C ．

D ．

，则cos2α=（ ）

8．（2015•马鞍山一模）设变量x ，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（ ）

A ．﹣2 B ．﹣4 C ．﹣6 D ．﹣8 9．（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 10．（2014•山东）已知函数f （x ）=丨x ﹣2丨+1，g （x ）=kx．若方程f （x ）=g（x ）有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，） B ．（，1） C ．（1，2） D ．（2，+∞）

二．填空题（共5小题，共15分）

11．（2015•浙江）若a=log43，则2+2=． 12．（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD

的中点，则

=．

13．（2015•遵义校级二模）当x ＞1时，不等式是 ．

14．（2010•崇川区校级模拟）过点（﹣4，0）作直线L 与圆x +y+2x﹣4y ﹣20=0交于A 、B 两点，如果|AB|=8，则L 的方程为 15．（2014•浦东新区三模）若双曲线

﹣

=1的渐近线与圆（x ﹣3）+y=r（r ＞0）相切，

2

2

2

2

2

a ﹣a

恒成立，则实数a 的最大值

则r= ．

三、应用题（本大题共3小题，共15分）

16．松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨?

17．甲、乙两小学原有图书本数之比是7∶5，如果甲校赠给乙校750本，乙校又回赠给甲校100本，那么，甲、乙两校的图书本数之比变为3∶4。问甲、乙两校原有图书各多少本？ 18．某制衣厂现有24名制作服装工人，每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每天可制作衬衫3件或裤子5条。 （1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子的各多少人？ （2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题） 1．（2013•新课标Ⅱ）设复数z 满足（1﹣i ）z=2i，则z=（ ） A ．﹣1+i B ．﹣1﹣i C ．1+i D ．1﹣i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题．

【分析】根据所给的等式两边同时除以1﹣i ，得到z 的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果． 【解答】解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i，

∴z==﹣1+i

故选A ．

【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．

2．（2015•安徽四模）设集合M={x|0≤x ＜2}，集合N={x|x﹣2x ﹣3＜0}，集合M ∩N=（ ） A ．{x|0≤x ＜1} B ．{x|0≤x ＜2} C ．{x|0≤x ≤1} D．{x|0≤x ≤2} 【考点】交集及其运算．

【分析】解出集合N 中二次不等式，再求交集． 【解答】解：集合M={x|0≤x ＜2}，

2

N={x|x﹣2x ﹣3＜0}={x|﹣1＜x ＜3}， ∴M ∩N={x|0≤x ＜2}， 故选B

【点评】本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单． 3．（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）

A ．100 B ．150 C ．200 D ．250 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计．

【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值．

2

【解答】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000， ∴样本容量n=5000×

=100．

=，

故选：A ．

【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．

4．已知正实数x ，y 满足2x+3y=1，则

+

的最小值为（ ）

A ．2 B ．2 C ．2+2 D ．3+2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】计算题；不等式的解法及应用．

【分析】根据正实数x ，y 满足2x+3y=1，将+基本不等式可求出最值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵正实数x ，y 满足2x+3y=1， ∴+

=（2x+3y）×（+

=

时取等号，

）=3+

+

≥3+2

转化成（2x+3y）×（+），然后利用

当且仅当∴+

的最小值为3+2

故选：D ．

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题． 5．（2015•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）

A ．8+2 B ．11+2 C ．14+2 D ．15 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．

【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱， 底面的梯形上底1，下底2，高为1， ∴侧面为（4）×2=8，

底面为（2+1）×1=，

=11

，

故几何体的表面积为

8

故选：B ．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，关键是能够恢复判断几何体的形状．

6．（2015•河北）设命题p ：∃n ∈N ，n ＞2，则￢p 为（ ）

2

n

A ．∀n ∈N ，n ＞2 B ．∃n ∈N ，n ≤2 C ．∀n ∈N ，n ≤2 D ．∃n ∈N ，n =2 【考点】命题的否定． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．

2n

【解答】解：命题的否定是：∀n ∈N ，n ≤2， 故选：C ．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

2n 2n 2n 2n

7．（2014•宜春校级模拟）已知α为第二象限角，A ．﹣

B ．﹣

C ．

D ．

，则cos2α=（ ）

【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系． 【专题】三角函数的求值．

【分析】由α为第二象限角，可知sin α＞0，cos α＜0，从而可求得sin α﹣cos α=cos2α=﹣（sin α﹣cos α）（sin α+cosα）可求得cos2α 【解答】解：∵sin α+cosα=∴sin2α=﹣，①

∴（sin α﹣cos α）=1﹣sin2α=， ∵α为第二象限角， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴sin α﹣cos α=

，②

2

，利用

，两边平方得：1+sin2α=，

∴cos2α=﹣（sin α﹣cos α）（sin α+cosα） =（﹣=﹣

．

）×

故选A ．

【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sin α﹣cos α=

是关键，属于中档题．

8．（2015•马鞍山一模）设变量x ，y 满足约束条件：，则z=x﹣3y 的最小值（ ）

A ．﹣2 B ．﹣4 C ．﹣6 D ．﹣8 【考点】简单线性规划． 【专题】计算题．

【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域，求出平面区域的各角点，然后

将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y 的最小值． 【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示， 由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8 故选D ．

【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 9．（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1

【考点】古典概型及其概率计算公式． 【专题】概率与统计．

【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．

【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为∴基本事件总数为10；

设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A ，则A 包含的基本事件个数为∴P （A ）=

=0.6．

；

=6；

故选：B ．

【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理． 10．（2014•山东）已知函数f （x ）=丨x ﹣2丨+1，g （x ）=kx．若方程f （x ）=g（x ）有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，） B ．（，1） C ．（1，2） D ．（2，+∞）

【考点】函数的零点．

【专题】函数的性质及应用． 【分析】画出函数f （x ）、g （x ）的图象，由题意可得函数f （x ）的图象（蓝线）和函数g （x ）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k 的范围． 【解答】解：由题意可得函数f （x ）的图象（蓝线） 和函数g （x ）的图象（红线）有两个交点，

如图所示：K OA =， 数形结合可得

＜k ＜1， 故选：B ．

【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

二．填空题（共5小题）

11．（2015•浙江）若a=log43，则2+2=

【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用．

a ﹣a

．

【分析】直接把a 代入2+2，然后利用对数的运算性质得答案．

a

【解答】解：∵a=log43，可知4=3，

a

即2=， 所以2+2=

故答案为：

a

﹣a

a ﹣a

+．

=．

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．

12．（2013•新课标Ⅱ）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用．

= 2 ．

【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（•（

），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．

=0， ﹣

+

）

【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则

故 ﹣

=（

=4+0﹣0﹣

）•（=2，

）=（

）•（

）=

故答案为 2．

【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．

13．（2015•遵义校级二模）当x ＞1时，不等式3 ．

【考点】基本不等式；函数恒成立问题． 【专题】计算题；转化思想．

恒成立，则实数a 的最大值是

【分析】由已知，只需a 小于或等于构形式，可用基本不等式求出． 【解答】解：由已知，只需a 小于或等于当x ＞1时，x ﹣1＞0，

=

的最小值，转化为求不等式的最小值，根据结

的最小值 ≥

=3

，当且仅当

，x=2时取到等号，所以应有a ≤3，

所以实数a 的最大值是 3 故答案为：3

【点评】本题考查含参数不等式恒成立，基本不等式求最值，属于基础题．

14．（2010•崇川区校级模拟）过点（﹣4，0）作直线L 与圆x +y+2x﹣4y ﹣20=0交于A 、B 两点，如果|AB|=8，则L 的方程为． 【考点】直线与圆相交的性质． 【专题】计算题．

【分析】先求出圆心和半径，由弦长公式求出圆心到直线的距离为d 的值，检验直线ι的斜率不存在时，满足条件；

当直线ι的斜率存在时，设出直线ι的方程，由圆心到直线的距离等于3解方程求得斜率k ，进而得到直线ι的方程．

2222

【解答】解：圆x +y+2x﹣4y ﹣20=0 即 （x+1）+（y ﹣2）=25， ∴圆心（﹣1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d ，

22

由弦长公式得8=2∴d=3． 当直线L 的斜率不存在时，方程为x=﹣4，满足条件．

当直线L 的斜率存在时，设斜率等于 k ，直线L 的方程为y ﹣0=k（x+4），即kx ﹣y+4k=0，

由圆心到直线的距离等于3得

=3，

∴k=﹣，直线L 的方程为5x+12y+20=0．

综上，满足条件的直线L 的方程为 x=﹣4或5x+12y+20=0， 故答案为：x=﹣4或5x+12y+20=0． 【点评】本题考查利用直线和圆的位置关系求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．

15．（2014•浦东新区三模）若双曲线

﹣

=1的渐近线与圆（x ﹣3）+y=r（r ＞0）相切，

2

2

2

则r=

．

【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系． 【专题】计算题．

【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r ．

【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x ，即x ±y=0，

圆心（3，0）到直线的距离d==，

∴r=．

故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系． 三、应用题

16．解：松鼠采了：112÷14＝8(天) 。

假设这8天都是晴天，可以采到的松子是：20×8＝160(个) 实际只采到112个，共少采松子：160－112＝48(个) 每个下雨天就要少采：20－12＝8(个) 所以有48÷8＝6（天）是雨天。 答：这几天当中有6天有雨。

20．解：设甲校原有图书7x 本，乙校原有图书5x 本。由题意列方程: (7x-750+100)∶(5x+750-100)=3∶4, 解得x=350。

350×7=2450（本），350×5=1750（本）。

答：甲校原有图书2450本，乙校原有图书1750本。 21．解：（1）设应安排x 名工人制作衬衫，依题意列方程： 3x=5（24-x ）。

解得x=15。24-15=9（人）。

答：应安排15名工人制作衬衫，9名工人制作裤子。 （2）设应安排y 名工人制作衬衫，依题意列方程 3×30y+5×16（24-y ）≥2100。

解得y ≥18。

答：至少应安排18名工人制作衬衫.