关于高等代数的一些解题方法总结
高等代数论文
题目：有关二次型的总结
学院：理学院
专业：信息与计算科学
姓名：王颀
学号：１１２７１０１４
2011年12月30日
学习高等代数, 最好的方法是多进行总结分类, 将知识系统化。下面那二次型这章来进行操作。
二次型的问题来源于解析几何：
一次曲线：Ax + By + C = 0 (直线) ；
二次曲线：Ax 2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey = F → 经平移
变换化，旋转变换化成为Ax 2+ By 2 = d (二次齐次多项式) → 可根据二次项系数确定曲线类型（椭圆、抛物线、双曲线等）；
一次曲面： Ax + By + Cz + D = 0 (平面) ； 二次曲面： （平移后不含一次项）→
Ax + By + Cz + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz = G (18-19世纪上半期表示方法) → 通过方程变形，选定主轴方向为坐标轴，可化简为 a/x/2 + b/y/2 + c/z/2 = d/ → 据二次项系数符号确定二次曲面的分类 更一般的问题： 数域P 上含n 个变量x 1,x 2, …,x n 的二次齐次多项式如何化成平方和形式，即标准型问题，是18世纪中期提出的一个课题
了解了二次型的相关背景，我们进行对课本上二次型的内容进行总结。 二次型这章内容如下 5.1 二次型及其矩阵表示 5.2 二次型的标准形 5.3 惯性定理和规范形 5.4 实二次型的正定性
在这章的学习中，我们需要学会二次型的矩阵表示，求解矩阵的秩，通过线性替换将二次型化为标准型，了解矩阵合同，规范型，掌握正定二次型的判定方法。 例１. 二次型f (x 1, x 2) =(x 1, x 2)
⎛1(1)、
⎝2
0⎫⎪3⎭
⎛1
(2)、
⎝2
⎛1⎝20⎫⎛x 1
⎪⎪3⎭ ⎝x 2⎫
⎪。 ⎪的矩阵为（ 3 ）⎭
1⎫⎪3⎭
2⎫⎛1⎪ (3)、 3⎭⎝1⎛1
(4)、
⎝-1-1⎫⎪ 3⎭
注意对于任意一个二次型，都唯一确定这一个对称矩阵，这个对称矩阵才叫做二次型的矩阵。二次型的秩就是矩阵的秩。
例２. 将二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 1x 2-4x 1x 3+6x 2x 3+x 32化为标准形，并写出所用的非退化线性替换。
解：用配方法：
f (x 1, x 2, x 3) =[x 1+2x 1(x 2-2x 3) +(x 2-2x 3) ]-(x 2-2x 3) +6x 2x 3+x 3
2
2
2
2
=(x 1+x 2-2x 3) 2-x 22+10x 2x 3-3x 32
=(x 1+x 2-2x 3) -(x 2-10x 2x 3+25x 3) +22x 3
2
2
2
2
=(x 1+x 2-2x 3) -(x 2-5x 3) +22x 3.
2
2
2
⎧y 1=(x 2+x 2-2x 3) ⎪
做线性变换⎨y 2=3，上述变换是非退化的，且可以把原二次型变为标准形
⎪y =(x -5x )
23⎩3
y 1+y 2-y 3
2
2
2
。
此外，还有一种方法，初等变换法，对二次型的矩阵进行初等行变换，化为对角型矩
阵，也可求解出标准型及所作的线性变换。
例３. 化二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 1x 2-2x 1x 3+2x 2x 3为标准形，并写出相应的非退化线性替换。
解 因为无平方项无法配方，先做一个非退化线性变换，使其出现平方项
⎧x 1=y 1+y 2⎛x 1⎫⎛1
⎪ ⎪
令⎨x 2=y 1-y 2，即 x 2⎪= 1
x ⎪ 0⎪x =y
33⎩⎝3⎭⎝
1-10
0⎫⎛y 1⎫
⎪ ⎪0⎪ y 2⎪ ⎪1⎪⎭⎝y 3⎭
这样原式化为
f =2(y 1+y 2)(y 1-y 2)-2(y 1+y 2)y 3+2(y 1-y 2)y 3=2y 1-2y 2-4y 2y 3
=2y 1-2(y 2+y 3)+2y 3
2
2
2
2
2
⎧z 1=y 1
⎪
再令⎨z 2=y 2+y 3
⎪z =y
33⎩
⎛y 1⎫⎛1
⎪ y 2⎪= 0 y ⎪ 0⎝3⎭⎝
010
0⎫⎛z 1⎫⎪ ⎪-1⎪ z 2⎪
⎪1⎪⎭⎝z 3⎭
则可得该二次型的标准型为f =2z 12-2z 22+2z 32 相应的非退化线性替换
⎛x 1⎫⎛1
⎪ x 2⎪= 1 x ⎪ 0⎝3⎭⎝⎛1 =1 0⎝
1-10
1-10
0⎫⎛y 1⎫⎛1
⎪ ⎪
0 y 2⎪=1⎪ ⎪ ⎪1⎭⎝y 3⎭ ⎝0
1-10
0⎫⎛1
⎪ 00⎪ 1⎪⎭⎝0
010
0⎫⎛z 1⎫
⎪ ⎪-1 z 2⎪⎪
⎪1⎪⎭⎝z 3⎭
-1⎫⎛z 1⎫
⎪ ⎪1 z 2⎪⎪
⎪1⎪⎭⎝z 3⎭
例４. t 为何值时，二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+x 22+5x 32-2tx 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3
为正定二次型？
⎛1
解 二次型的矩阵为 -t
-1⎝
-t 12
-1⎫⎪
2 ⎪5⎪⎭1
-t 12
-1
2
2=4t -5t >0
二次型正定当且仅当1-t 2>0, -t
-1
5
解得0
45
.
判别一个二次型是否为正定二次型要看它的顺序主子式是否都大于零。若都大于零，则二次型正定。
一个正定实矩阵的转置，逆矩阵，伴随矩阵均为正定矩阵。 若A ，B 均为n 阶正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。
例５. 设A 是m 阶正定阵，B 是m 行n 列实矩阵，证明B ’AB 正定, 当且仅当r(B)=n. 证明 充分性 (B’AB) ’=B’AB
对任意非零n 维列向量X ，因秩（B ）=n,故BX 也非零。 因为A 正定，所以 X’(B’AB)X=(BX)’A(BX)>0 所以B ’AB 正定。
必要性
若 B’AB 正定，则对任意非零n 维列向量X, X ’(B’AB)X=(BX)’A(BX)>0 所以BX 不等于0.
从而BX=0只有零解。故秩（B ）=n.
学习高等代数要将题型进行总结，找到解决题的方法，归纳总结，那么就可以达到举一反三的效果。