函数恒成立存在性问题讲学案
高二理数讲学案----函数恒成立与存在性问题
一、知识点梳理
1、恒成立问题的转化：a >f (x )恒成立⇒a >f (x )max ；a ≤f (x )恒成立⇒a ≤f (x )min 2、能成立问题的转化：a >f (x )能成立⇒a >f (x )min ；a ≤f (x )能成立⇒a ≤f (x )max
3、设函数f (x )、g (x )，对任意的x 1∈[a , b ]，存在x 2∈[c , d ]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则
(x )≥g m i n (x ) f m i n
4、设函数f (x )、g (x )，对任意的x 1∈[a , b ]，存在x 2∈[c , d ]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则
(x )≤g m a x (x ) f m a x
5、设函数f (x )、g (x )，存在x 1∈[a , b ]，存在x 2∈[c , d ]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则f m a x (x )≥g m i n (x ) 6、设函数f (x )、g (x )，存在x 1∈[a , b ]，存在x 2∈[c , d ]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则f m i n (x )≤g m a x (x ) 7、若不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数y =f (x )和图象在函数
y =g (x )图象上方；
8、若不等式f (x )
y =g (x )图象下方.
二、典例分析：
题型一、恒成立与存在性问题
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例1、已知两函数f (x )=7x -28x -c ，g (x )=2x +4x -40x 。
（1）对任意x ∈[-3,3]，都有f (x )≤g (x )) 成立，求实数c 的取值范围； （2）存在x ∈[-3,3]，使f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围； （3）对任意x 1, x 2∈[-3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)，求实数c 的取值范围； （4）存在x 1, x 2∈[-3,3]，使f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围；
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题型二、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立, 则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )
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例2：存在实数x ，使得不等式x +3+x -1≤a -3a 有解，则实数a 的取值范围为______。
练习：1、已知函数f (x )=ln x -
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ax -2x (a ≠0)存在单调递减区间，求a 的取值范围 2
2、不等式sin 2x -4sin x +1-a
题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）
例3、当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx +4
题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）） 例4、若对任意x ∈R , 不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是________
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练习：1、已知函数f (x )=x -2kx +2，在x ≥-1恒有f (x )≥k ，求实数k 的取值范围。
2、不等式
ax ≤
题型五、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)
例5、对于满足p ≤2的所有实数p, 求使不等式x +px +1>p +2x 恒成立的x 的取值范围。
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x ∈[0,3]内恒成立，求实数a 的取值范围。