等比数列总结及例题
三、等比数列及其前n 项和
1. 等比数列的概念:一个数列从第2项开始,每一项与它的前一项的比是一个常数。这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q 表示,即
等比数列通项公式为:a n =a 1q n -1
2. 等比中项:等比数列中,从第2项起,每一项都是它的前一项与后一项的等比中项,即a n 2=a n -1a n +1(n ≥2) a n =q (n ∈N *, n ≥2) 。 a n -1
a -a n q a 1(1-q n ) 3. 等比数列的前n 项和:当q ≠1时,S n =或者S n =1; 1-q 1-q
当q =1时,S n =na 1
4. 等比数列的验证形式:a n =c ⋅q n (c , q ≠0) ,或者S n =k ⋅q n -k
5. 等比数列的常见性质
2①当n 为奇数时,a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2= =a 中,
当n 为偶数时,a 1⋅a n =a 2⋅a n -1= =a n ⋅a n +1 ②m +n =p +k 时,则a m a n =a p a k ,特别地,当m +n =2p 时,a m a n =a p 2; ③一个等比数列的奇数项,仍组成一个等比数列,新公比为原来公比的二次幂; 一个等比数列的偶数项,仍组成一个等比数列,新公比为原来公比的二次幂。 ④若{a n },{b n }为等比数列,则{λa n }(λ≠0) ,{|a n |},{1,{a n 2},a n
{ma n b n }(m ≠0) 仍是等比数列。
6. 等比数列常用求和方法
①公式法 ②错位相减法
其中错位相减法的推导过程为:
首先得到S n =a 1+a 1q +a 1q 2+ +a 1q n -1
然后两边同时乘公比q ,得qS n =a 1q +a 1q 2+a 1q 3+ +a 1q n
最后两式相减得(1-q ) S n =a 1-a 1q n ,即求得S n
试题练习:
1. 等比数列x ,3x +3,6x +6, 的第四项等于
2. 公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=
3. 若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20, a 3+a 5=40,则公比q 等于 ;前n 项和S n 为
4. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1,若a 1=1,则对任意的n ∈N ,都有*a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=
5. 已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2, a 5a 6=-8, 则a 1+a 10=
6. 已知等比数列{a n }满足a 2-a 3=10, a 1a 2a 3=125,(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)是否存在正整数m, 使得
存在,请说明理由
2*7. 已知数列{a n }的前n 项和S n =-n +kn ,(k ∈N ) ,且S n 的最大值为8, 111++ +≥1?若存在,求出m 的最小值;若不a 1a 2a m 1
2
(1)确定常数k ,求a n ;
(2)求数列⎨
⎧9-2a n ⎫⎬的前n 项和T n n 2⎩⎭
四、数列的综合应用
数列的综合应用一般为解答题形式,常常和函数、不等式、导数相结合考查。 例题:
1. 设各项均为正数的数列{a n },前n 项和S n ,且S n 满足
S n 2-(n 2+n -3) S n -3(n 2+n ) =0, n ∈N *
(1)求a 1的值;
(2)求数列{a n }的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n ,有
1111++ +