第6章线性方程组迭代解法
第6章 线性方程组迭代解法
一、选择题(四个选项中仅有一项符合题目要求,每小题3分,共计15分)
⎡1−22⎤⎢⎥1、设Ax=b的系数矩阵A=−11−1,若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解,则下列⎢⎥⎢⎣−2−21⎥⎦
说法正确的是( )
(1)两者都收敛;(2)两者都发散;(3)前者收敛,后者发散;(4)前者发散,后者收敛。
2、用一般迭代法x(k+1)=Bx(k)+g求解方程组Ax=b的解,则当( )时,迭代收敛。
(1)方程组系数矩阵A对称正定;(2)方程组系数矩阵A严格对角占优;
(3)迭代矩阵B严格对角占优;(4)迭代矩阵B的谱半径ρ(B)
3、设求解方程组Ax=b的迭代格式为x(k+1)⎡811⎤⎡7⎤⎥x(k)+⎢7⎥,其系数矩阵为170=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣108⎥⎦⎣8⎥⎦
⎡−7−1−1⎤⎡811⎤⎥,迭代矩阵为B=⎢170⎥,则下列说法正确的是( )。 A=⎢−1−60⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣−10−7⎥⎦⎣108⎥⎦(1)方程组系数矩阵
A
(2)迭代矩阵B严格对角占优,故此迭代收敛于方程组的解;
(3)B1=B∞=10>1
(4)迭代矩阵B的谱半径ρ(B)>1,故此迭代发散。
4、若线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,若用雅可比法和高斯-赛德尔法求解,则下列说法正确的是( )
(1)两者都收敛;(2)两者都发散;(3)前者收敛,后者发散;(4)前者发散,后者收敛。
则下列说法正确的是( ) 5、若线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为对称正定矩阵,
(1)雅可比法收敛;(2)高斯-赛德尔法收敛;(3)雅可比法和高斯-赛德尔法均收敛;
(4)SOR迭代法收敛。
二、填空题(每小题3分,共计15 分)
⎡a10⎤⎥,要使limAk=0,a应满足的条件是。 1、设A=⎢1k→∞⎢0⎥⎣2⎦
2、若用高斯-赛德尔法解方程组⎨
是a应满足____ __。 ⎧x1+ax2=4,其中a为实数,则该方法收敛的充要条件 ⎩2ax1+x2=−3
⎧x1−ax2=b13、给定方程组⎨,a为实数,当a满足_________且0
代法收敛。
4、设求解线性代数方程组Ax=b的雅可比法的迭代矩阵为B,且ρ(B)=
迭代法计算,则最佳松弛因子ω= 。 其中A=(aij)∈R
设实对称正定方程组Ax
=b,则∇ϕ(x)= 。
三、(9分)对于下面的迭代矩阵B,判断迭代法x=Bxk−1+f的是否收敛。 n×n1,若改用SOR 2,二次函数ϕ(x)=1(Ax,x)−(b,x),2
⎡1.1−0.3⎤⎡0.90.3⎤⎡0.90.3⎤(1)B=⎢⎥;(2)B=⎢−0.41.2⎥; (3)B=⎢0.00.8⎥。 0.00.5⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡12−2⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥四、(14分)已知方程组Ax=b,其中A=111,b=2, ⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣221⎥⎦⎣3⎥⎦
(1)写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式;
(2)判断(1)中两种方法的收敛性,如果均收敛,说明哪一种方法收敛更快;
(3)写出相应的SOR迭代法的分量形式(取ω=1.5)。
五、(10分)设n阶矩阵B的谱半径ρ(B)≥1,但B有一个特征值λ,其模
存在初始向量x(0)λ
⎛2−10⎞⎛x1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟12分)用共轭梯度法求解方程组Ax=−13−1⎜x2⎟=b=1,初始近似向⎜⎟⎜⎟⎜0−14⎟⎜x⎟⎜3⎟⎝⎠⎝3⎠⎝⎠
量取为x(0)=(0,0,0)。 T
七、(10分)设H为n阶实对称矩阵,A为n阶正定矩阵,A−HAH正定,证明:迭代格
式x(k+1)=Hx(k)+b,k=0,1,2,L对任意初始向量x(0)都收敛。
n×n八、(15分)设方程组Ax=b的系数矩阵A∈R非奇异,A=D−L−U,其中D,−L,−U
分别是AD非奇异。
(1) 写出Jacobi迭代法的迭代矩阵B,并证明其特征方程为(λD−L−U)=0;
(2) 写出Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵G,并证明其特征方程为 det(λ(D−L)−U)=0;
(3) 写出SOR迭代法的迭代矩阵Gω,并证明其特征方程为
det[λ(D−ωL)−(1−ω)D−ωU]=0。