[理学]线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例
n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式
00D n =
010 200
n -1 0000 00n
解 D n 中不为零的项用一般形式表示为
a 1n -1a 2n -2 a n -11a nn =n ! .
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2„1n ）等于
(n -1)(n -2)
，故 2
(n -1)(n -2)
2
D n =(-1) n !.
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式D n =a ij 的元素满足
a ij =-a ji , i , j =1,2, , n ,
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由a
ij
=-a ji 知a ii =-a ii ，即
a ii =0, i =1,2, , n
故行列式D n 可表示为
0-a 12
D n =-a 13
-a 1n
0a 12
D n =a 13
a 1n
a 120-a 23 -a 2n
-a 120a 23 a 2n 0-a 12
a 13a 230
a 1n a 2n
0 a 3n
-a 3n
-a 13 -a 1n -a 23 -a 2n 0 a 3n a 120-a 23 -a 2n
-a 3n a 13a 230
由行列式的性质A =A '
a 1n a 2n a 3n
=(-1) n -a 13
-a 1n
-a 3n
=(-1) n D n
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式
a b
D =b
b a b
b b a
b b b
b b b a
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，„，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
a +(n -1) b a +(n -1) b D =a +(n -1) b
b a b
b b a
b b b
b b b
a +(n -1) b b b a
1
1
=[a +(n -1) b ]1
b a b
b b a
b 00
1b b a 1
=[a +(n -1) b ]0
b
b
a -b 0 0a -b 0
a -b
=[a +(n -1) b ](a -b ) n -1
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式
a 00 010a 0 00D n =
00a 00
000 a 0100 0a
解 将D n 按第1行展开
a 00 0
0a 0 0
0a 0 000a 0D n =a 00a 0+(-1) n +1
000 a
n
n +1
000 a 100 0
n
n -2
=a +(-1) (-1) a
=a -a
5．递推公式法
n n -2
.
递推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为递推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。 例5 证明
x 0D n =
0a n
-1x 0
0-1 0
00x
00 -1
a n -1a n -2 a 2a 1+x
n -2
=x +a 1x
n n -1
+a 2x + +a n -1x +a n ,(n ≥2
证明：将D n 按第1列展开得
x 0
D n =x
0a n -1
-1x 0a n -2
0-1 0
00x
00 -1a 1+x
a n -3 a 2
-10
x -1n +1
+(-1) a n
00 00 00 x -1
=a n +xD n -1
由此得递推公式：D n =a n +xD n -1，利用此递推公式可得
D n =a n +xD n -1=a n +x (a n -1+xD n -2)
=a n +a n -1x +x 2D n -2
= =a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n
6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式
1x 1+1D =
x 12+x 1
x 1n -1+x 1n -2
1x 2+1
2x 2+x 2
1x n +1
2
x n +x n
n -1n -2n -1n -2
x 2+x 2 x n +x n
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1x 1
D =x 12
x 1n -1
1x 2
2
x 2
1x n
2x n =
n ≥i >j ≥1
∏
(x i -x j )
n -1n -1
x 2 x n
例2 计算n +1阶行列式
a 1n
n a 2
D =
n a n +1
a 1n -1b 1
n -1
a 2b 2 n -1a n +1b n +1
a 1n -2b 12
n -22
a 2b 2
a 1b 1n -1a 2b 2n -1
b 1n b 2n
n -22n -1n a n b a b b +1n +1n +1n +1n +1
．
其中a a a
12
n +1
≠0．
n -k
i i
解 这个行列式的每一行元素的形状都是a 且次数之和都是n ，又因a
n
i
b ，
k
k =0，1，2，„，n ．即a i 按降幂排列，b i 按升幂排列，
i
若在第≠0，i 行（i =1，2，„，
n ）提出公因子a ，则D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即
111
n +1
n
i
b 1a 1b a 2 b n +1a n +1
⎛b 1⎫ ⎪⎝a 1⎭
2
2
⎛b 1⎫ ⎪⎝a 1⎭
n
D =a a a
n n 12n n +1
⎛b ⎫ ⎪⎝a 2⎭
2
⎛b ⎫ ⎪⎝a 2⎭
n
⎛b n +1⎫ ⎪⎝a n +1⎭⎛b n +1⎫ ⎪
⎝a n +1⎭
n
⎛b i b j ⎫
=∏a ∏ -⎪
a j ⎪i =11≤j
1≤j
∏(b a
i
j
-a i b j ) .
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。 例7 计算n 阶行列式
x +a 1a 1
D n =
a 1 a 1
a 2a 2 a 2
D n
a n a n a n
a n
x +a 2
x +a n
1a 10D =
解： n
1
-1
i =2, , n +1-1
第i 行减第1行
a 1x 0
a 2 a n 0x
00
（箭形行列式） -100 x
+∑
j =1n
a j x
a 1x 00
a 2 a n 0x 0
00x
=000
n a ⎫⎛j
=x 1+∑⎪
j =1x ⎭⎝n
例3 计算n （n ≥2）阶行列式
+a 11
D n =
1 1
11+a 2
1 1
11 1
111
1+a 3
，
1+a n
其中a a a
12
n
≠0．
n
解 先将D 添上一行一列，变成下面的n +1阶行列式：
10
D n +1=0
11+a 11 1
11 1
111
1+a 2
．
1+a n
显然，D 行，得
n +1
=D n ．将D n +1的第一行乘以-1后加到其余各
1
D n +1=0
-1
110
10 0
100
-1a 1
1+a 2
．
a n
因a
i
n +1）将上面这个行列式第一列加第（i i =2，„，≠0，
列的
1a i -1
倍，得：
11-1a 1
10 10
1+∑
i =1
n
1a i
1a 10
1 100
-10a 2 0 = -1
a n
00 000
0 a 2
00 a n
a 10n
⎛1⎫0a 2= 1+∑⎪
⎝i =1a i ⎭
00
a n
n
⎛1⎫
= a 1a 2 a n 1+∑⎪ ，
⎝i =1a i ⎭
故
n
⎛1⎫
D n =a 1a 2 a n 1+∑⎪
⎝i =1a i ⎭
8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式
x 0D n =
0a n
-1x 0
0-1 0
00x
00 -1a 1+x
a n -1a n -2 a 2
解：用数学归纳法. 当n = 2时
D 2=
x a 2
-1x +a 1
=x (x +a 1) +a 2
=x 2+a 1x +a 2
假设n = k 时，有
D k =x k +a 1x k -1+a 2x k -2+ +a k -1x +a k
则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得
D k +1=xD k +a k +1
=x (x k +a 1x k -1+ +a k -1x +a k ) +a k +1 =x k +1+a 21x k + +a k -1x +a k x +a k +1
由此，对任意的正整数n ，有
D n -1n =x n +a 1x + +a n -2x 2+a n -1x +a n
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
a 1+λ1
a 2
a n 例9 计算行列式
D 1a 2+λ
2
a n n =
a
a 1a 2
a n +λn a 1
a 2 a n λ1
a 2 a n 解：D
a 1a 2+λ2 a n 0a 2+λ2
a n n
=
+
a 1
a 2
a n +λn 0
a n +λn
a 1a 2 a n =
0λ2 a n
+λ1D n -1 00
λn
=a 1λ2 λn +λ1D n -1
„„
=λ⎛n
a ⎫
1λ2 λn ⎝
1+∑i ⎪
i =1λi ⎭
例4 计算n （n ≥2）阶行列式
1+x 1y 1
D n =
+x 2y 1
+x n y 1
n
2+x 1y 2
n +x 1y n
2+x 2y 2 n +x 2y n 2+x n y 2 n +x n y n
．
解 将D 按第一列拆成两个行列式的和，即
1D n =
11
2+x 1y 2 n +x 1y n 2+x 2y 2 n +x 2y n
2+x n y 2 n +x n y n
+x 1y 1x 2y 1 x n y 1
2+x 1y 2 n +x 1y n 2+x 2y 2 n +x 2y n
2+x n y 2 n +x n y n
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i 列（i =2，3，„，n ）减去第一列的i 倍；第二个行列式提出第一列的公因子y ，则可得到
1
1D n =
x 1y 2 x 1y n x 12+x 1y 2 n +x 1y n
1x 2y 2 x 2y n x 2+x 2y 2 n +x 2y n
+y 12
1
x n y 2 x n y n
1
x 1 x 1
x n
2+x n y 2 n +x n y n x 1
2
n
=y 2 y n
1x 2 x 2x 2 n
+y 12 .
1x n x n x n 2 n
n
当n ≥3时，D
=0．
2
2
当n =2时，D =(x
-x 1)(y 2-2y 1)．
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
第1讲 计算行列式的若干基本方法
计算行列式并无固定的方法．其实，同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算．因此，除了掌握好行列式的基本性质外，针对行列式的结构特点，选取恰当的方法，才能较快地酸楚行列式．这一讲，我们将介绍一些常用的方法．
1． 化为已经熟悉的行列式来计算
我们已经知道上（下）三角行列式、范德蒙行列式以及形如
A 0*
B
，
A *0
B
的行列式的结果．如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式，则不难求出所给行列式的值．
为了叙述简便，仍用记号(i )(j )[i ][j ]表示互换行列式的第i 行（列）与第j 行（列）；用(i )+k (j )[i ]+k [j ]表示将行列式第j 行（列）的k 倍加到第i 行（列）；用
()
()
c (i )(c [i ])表示将第i 行（列）乘以非零的数c ．
例1 计算行列式
1-3
D =2
34
-130
2-74
-39-2-14-10
1-51． 62
-57-410
解 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．
D
(2)+3(1)(3)-2(1)1(4)-3(1)0(5)-4(1)
-10201-10
20
2-101220-112
-304-52-340
1-2-13-21-1-2
00
0-2
(2)(3)
-0
0-2001-12020 -000
000
12
-532-2-314-1
-22-2
-340-12-340-10
1-1-20-61-1-2 0-6
(4)+(2)
-10
-12
20-10020-100
(4)+(3)(5)+2(3)
1-10 -0000 -000
30002000
1-1
(5)+2(4)
=-1⋅2(-1)(-1)(-6)=12 .
例5 计算n 阶行列式
+a 1a 1
D =a 1
a 1
a 21+a 2a 2 a 2
a 3a 3 a 3
a n a n a n
．
1+a 3
1+a n
解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，„，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．
D
[1]+[i ]
i =2, , n
+(a 1+a 2+ +a n )a 2+(a 1+a 2+ +a n )1+a 2 +(a 1+a 2+ +a n )
+(a 1+a 2+ +a n )11
a 21+a 2a 2 a 2
10a 3a 3
a 2 a 2
a n a n
a 3a 3
a n a n
1+a 3 a n a 3 1+a n
n
⎛⎫ = 1+∑a i ⎪1
⎝i =1⎭
1
1+a 3 a n a 3 1+a n
a 21
a 3 a n 0 0
n (i )-(1) ⎛⎫
1+∑a i ⎪001 0i =2, , n ⎝i =1⎭
000 1n n
⎛⎫ = 1+∑a i ⎪ 1=1+∑a i .
i =1⎝i =1⎭
例6 计算n +1阶行列式
a 1n
n a 2
D =
n a n +1
a 1n -1b 1
n -1
a 2b 2 n -1a n +1b n +1
a 1n -2b 12
n -22
a 2b 2
a 1b 1n -1a 2b 2n -1
b 1n b 2n
．
n -22-1a n a n +1b n n +b n n +1+1b n +11
其中a 1a 2 a n +1≠0．
解 这个行列式的每一行元素的形状都是a i n -k b i k ，k =0，1，2，„，n ．即a i 按降幂排列，b i 按升幂排列，且次数之和都是n ，又因a i ≠0，若在第i 行（i =1，2，„，n ）提出公因子a i n ，则D 可化为一个转置的范德蒙行列式，即
111
n +1
n i
b 1a 1b 2a 2 b n +1a n +1
⎛b 1⎫ ⎪⎝a 1⎭
2
2
⎛b 1⎫ ⎪⎝a 1⎭
n
n n
D =a 1n a 2 a n +1
⎛b 2⎫
⎪⎝a 2⎭
2
⎛b 2⎫ ⎪⎝a 2⎭
n
⎛b n +1⎫ ⎪a ⎝n +1⎭⎛b ⎫
n +1⎪
⎝a n +1⎭
n
⎛b i b j ⎫
=∏a ∏ -⎪
a j ⎪i =11≤j
1≤j
∏(b a
i
j
-a i b j ) .
2． 降阶法
当一个行列式的某一行（列）的元素有比较多0时，利用行列式的依行（列）展开定理将它化为较低阶的行列式来计算．
例7 计算n （n ≥2）阶行列式
a 0D =0
0a 0
00a
000
1
00．
100 0a
a
解 按第一行展开，得
00a 0
0a 001+n
D =a +(-1) ．
000 a
00 0a
100 0
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
a 0 00
D =a n +(-1)
1+n
(-1)(
n -1)+1
a n -2=a n -a n -2=a n -2(a 2-1)．
3． 拆项法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素都写成同样多的和，然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和．
例8 计算n （n ≥2）阶行列式
1+x 1y 1
D n =
+x 2y 1
+x n y 1
2+x 1y 2
n +x 1y n
．
2+x 2y 2 n +x 2y n 2+x n y 2 n +x n y n
解 将D n 按第一列拆成两个行列式的和，即
1D n =
11
2+x 1y 2 n +x 1y n 2+x 2y 2 n +x 2y n
2+x n y 2 n +x n y n
+
x 1y 1x 2y 1 x n y 1
2+x 1y 2 n +x 1y n 2+x 2y 2 n +x 2y n
2+x n y 2 n +x n y n
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i 列（i =2，3，„，n ）减去第一列的i 倍；第二个行列式提出第一列的公因子y 1，则可得到
1
x 1y 2 x 1y n x 12+x 1y 2 n +x 1y n
1x 2y 2 x 2y n x 22+x 2y 2 n +x 2y n
D n =+y 1
1
x n y 2 x n y n
1
x 1 x 1
x n
2+x n y 2 n +x n y n x 1
2
n
1x 2 x 2x 22 n =y 2 y n +y 1 .
1x n x n x n 2 n
当n ≥3时，D n =0．
当n =2时，D 2=(x 2-x 1)(y 2-2y 1)． 例9 计算n 阶行列式
x a a a
x
a
-a x D n =-a -a
a a ，（a ≠0）．
-a -a -a x
解 将第一行的元素都表成两项的和，使D n 变成两个行列式的和，即
(x -a )+a
-a
D n =
-a -a
0+a 0+a 0+a x a a -a -a
x -a
a x
a a a .
x
x -a 00-a x a
= -a -a x
-a
0 a a +
x
a a a -a x a -a -a x
-a -a -a -a -a
将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：
x -a -a -a -a
0x -a
0a x
a
a = (x -a )D n -1 ．
-a -a x
这里D n -1是一个与D n 有相同结构的n -1阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：
a a -a x -a -a a a x a a a 0a = 0
a x +a 0 0
n -1
a 2a x +a 0 .
a 2a 2a
-a -a -a x x +a
= a (x +a )
于是有
D n =(x -a )D n -1+a (x +a )
（1）
n -1
另一方面，如果将D n 的第一行元素用另一方式表成两项之和：
(x +a )-a 0+a 0+a 0+a
仿上可得：
D n =(x +a )D n -1-a (x -a )
（2）
n -1
将（1）式两边乘以(x +a )，（2）式两边乘以(x -a )，然后相减以消去D n -1，得：
D n
(x +a )+(x -a )=
2
n n
．
4． 加边法
在给定的行列式中添上一行和一列，得加边行列式，建立新的行列式与原行列式的联系，以求得结果．
例10 计算n （n ≥2）阶行列式
+a 11
D n =
1 1
11+a 2
1 1
11 1
111
，
1+a 3
1+a n
其中a 1a 2 a n ≠0．
解 先将D n 添上一行一列，变成下面的n +1阶行列式：
10
D n +1=0
11+a 11 1
11 1
111
．
1+a 2
1+a n
显然，D n +1=D n ．将D n +1的第一行乘以-1后加到其余各行，得
1
D n +1=0
-1
110
10 0
10
-1a 1
1+a 2
0． a n
因a i ≠0，将上面这个行列式第一列加第i （i =2，„，n +1）列的
n
1
倍，得： a i -1
11-1a 1
10 10
1+∑
i =1
1a i
1a 10
1 100
-10a 2 0 = -1
a n
00 000
0 a 2
00 a n
a 10n
⎛1⎫0a 2= 1+∑⎪
⎝i =1a i ⎭
00
a n
n
⎛1⎫
= a 1a 2 a n 1+∑⎪ ，
⎝i =1a i ⎭
故
n
⎛1⎫
D n =a 1a 2 a n 1+∑⎪．
⎝i =1a i ⎭
5． 递推法
递推法是根据行列式的构造特点，利用行列式的性质，将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的，但阶数较低的行列式之和，然后利用这种关系式计算原行列式的值，最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确．这是一种颇常使用的方法，在计算范
德蒙行列式时已建立过递推关系式，本讲的例6也利用了递推关系式．
使用递推法计算行列式，一般分三个步骤，首先找出递推关系式，然后算出结果，最后用数学归纳法证明结果正确．
例11 计算n 阶行列式
x 0D n =
0 0a n
-1x 0 0
0-1x 0
000
000 -1a 1+x
．
x
a n -1a n -2 a 2
解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得：
x 0
D n =x
0a n -1
-1x 0 0a n -2
n +1
0-1x 0a n -3
-100x -10
00n +1
+(-1)a n 0x -1
x -1
000
a 2a 1+x
n -1
0000
00 00 00
x
-1
=xD n -1+(-1)⋅a n ⋅(-1)
=xD n -1+a n ，
这里D n -1与D n 有相同的结构，但阶数是n -1的行列式．
现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：
D n =x (xD n -2+a n -1)+a n =x 2D n -2+a n -1x +a n =x 2(xD n -3+a n -2)+a n -1x +a n
=x n -1D 1+a 2x n -2+ +a n -2x 2+a n -1x +a n ，
因D 1=x +a 1=x +a 1，故
D n =x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n ．
最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当n =1时，显然成立．设对n -1阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确．由
D n =xD n -1+a n =x (x n -1+a 1x n -2+ +a n -2x +a n -1)+a n =x +a 1x
n
n -1
+ +a n -1x +a n ，
可知，对n 阶的行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n ，结论成立． 例12 证明n 阶行列式
210 000
121 000
D n = =n +1．
00
证明 按第一列展开，得
000
000
101
210
120
210
121 000121 000
D n =2 - ．
00
00
00
10
21
12
00
00
00
10
21
12
其中，等号右边的第一个行列式是与D n 有相同结构但阶数为n -1的行列式，记作D n -1；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与D n 有相同结构但阶数为n -2的行列式，记作D n -2．这样，就有递推关系式：
D n =2D n -1-D n -2．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．
当n =1时，D 1=2，结论正确．
21
当n =2时，D 2==3，结论正确．
12
设对k ≤ n -1的情形结论正确，往证k =n 时结论也正确． 由
D n =2D n -1-D n -2=2n -(n -1)=n +1
可知，对n 阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n ，结论成立．
二、行列式计算方法 1. 定义法
2. 化为三角形行列式的方法 3. 化为范得蒙行列式的方法
4. 拆行(列) 法 5. 降级法 6. 加边法 7. 数学归纳法 8. 递推法 9. 因式分解法
本章主要内容的内在联系:
重点 行列式的计算
难点 行列式概念, 行列式的展开定理及用定义证明行列式性质 3. 化为范得蒙行列式的方法 例1 计算行列式
x 1
D n =
2x 1
1x 2
2x 2
1x n
2x n
n -2x 1n x 1
n x 2
n -2x n n x n
n -2x 2
解 作如下行列式, 使之配成范德蒙行列式
x 1x 12
P (y ) =x
n -21
1 1x n
2x n
1y y 2 y
n -2
x 2
2x 2
x
n -22
x
n -2n n -1x n n x n
= ∏(y -x i )
i =1
n
1≤j
∏(x
i
-x j )
x 1n -1x 1n
n -1x 2 n x 2
y n -1y n
易知D n 等于P (y ) 中y n -1 的系数的相反数, 而P (y ) 中y n -1 的系数为
-∑x k
k =1n
1≤j
∏(x
i
-x j ) ,因此,
n
D n =
4. 拆行(列) 法 例2 计算行列式
k ==1
∑x ∏(x
k
1≤j
i
-x j ) .
x D =x 2
yz
y y 2xz
z z 2. xy
解：
(3) +(y +z )(1)
D =
x x 2
xy +xz +yz
y y 2
y 2+yz +xz
z z 2
yz +z 2+xy
(3) +x (1)
x
=x 2
x 2+xy +yz +xz y z
. y 2z 2
y 2+xy +yz +xz z 2+xy +yz +xz
=(xy +yz +xz )(y -x )(z -x )(z -y )
5. 降级法 例3 计算行列式
α
0β 00D = .
βα
0 00
β
0000 α 0βα
解：易得 D =αn +(-1) n +1βn +1. 6. 加边法 例4 计算行列式
+a 1
D n =
11 1
1
1
111
1+a 21 11+a 3 1
1
.
1+a n
解：
111
01+a 11D n =011+a 2
011
1+∑i =1a i 00 0
n
1111 1-1a 10 1=-10a 2 1+a n -10010
10
=(1+∑
i =1n
1 0 0 a n
1a 1
a i ≠0i =1, 2, , n
=
0a 2 0 0
a n
1
) a 1a 2 a n . a i
而当a 1a 2 a n =0时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果.
9. 因式分解法
如果行列式D 是某个变数x 的多项式f (x ) ，可对行列式施行某些变换，求出f (x ) 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为g (x ) ，则
D =f (x ) =cg (x ) ，再比较f (x ) 与g (x ) 的某一项的系数，求出c 值.
三、行列式的计算方法 方法1 化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例3：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：
123 n -1234
D n =345
n 1
n
12
n 12 n -2n -1
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 解：
12D n =3
111
1 1 + +n
11 1000 0
-n
11-n 1 100 00
0-n 0 00=
(i =2, , n ) r i =r 1
112
100
1 0
10 00 00
1-n 0 0-n 0 00
1 1-n 0 -n
n 1-n 1
11n
2 n -2n -1
n -1-n 0
1n (n +1) ⋅ n 2
-n 0
00 -n 0
(i =2, , n ) r 1+
1n r i
-n
-n
(n -1)(n -2)
1n (n +1) n -1=⋅⋅(-n ) ⋅(-1) 2n 2
n (n -1)
(n +1) n -1=⋅n ⋅(-1)2
2
方法2 按行（列）展开法（降阶法）
设D n =a ij 为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
D n =a i 1A i 1+a i 2A i 2+ +a in A in (i =1,2, , n )
或 D n =a 1j A ,2, , n ) 1j +a 2j A 2j + +a nj A nj (j =1
其中A ij 为D n 中的元素a ij 的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
例4、计算20阶行列式
12D 20=3
212
321
181920 171819 161718
3
2
1
201918
[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。 注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：
解：
12D 20=3
212
321
181920 171819
c i +1-c i
161718
3
2
1
123
1-1
11
111
111
111
-1-1
201918
1
(i =2, , 20)
(i =1, 19)
19-1-1 -1-1120-1-1 -1-1-1
11 11100 0
2 220 22 0 00
22
=21⨯(-1) 20+1⨯218=-21⨯218 2
r i +r 1
34 20
2100 000
方法3 递推法
应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。
［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如
果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：
α+β
D n =
1
0 0
αβα+β
1 0
0 0000
αβ 0α+β 0
1α+β
αn +1-βn +1
证明 ：D n =, 其中α≠β
α-β
（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。） ［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知D n-1与D n 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。
证明：D n 按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：
D n =（α＋β）D n －1－αβD n －2
这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：
D n －αD n －1＝βD n －1－αβD n －2＝（βD n －1－αD n －2）或 D n －βD n －1＝αD n －1－αβD n －2＝（ αD n －1－βD n －2）
现可反复用低阶代替高阶，有：
23D n －αD n －1＝（βD n －1－αD n －2）＝β（D n －2－αD n －3）＝β（D n －3－αD n －4）
＝ ＝β（D 2－αD 1）=β
n -2n －2
[(α+β) -αβ-α(α+β)]=β (1)
2n
同样有：
23
D n －βD n －1＝α（D n －1－βD n －2）＝α（D n －2－βD n －3）＝α（D n －3－βD n －4）
＝ ＝α（D 2－βD 1）=α
n -2n －2
[(α+β) -αβ-β(α+β)]=α (2)
2n
因此当α≠β时
αn +1-βn +1
由（1）（2）式可解得：D n =，证毕。
α-β
方法4 数学归纳法
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）
例6、证明：
2cos θ1
D n =
0 00
12cos θ1 00
01 00
000
2cos θ
1
000 12cos θ
=
sin(n +1) θ
sin θ
(sinθ≠0)
2cos θ
方法 5 .利用范德蒙行列式
范德蒙行列式：
1x 1x 12x 1n -1
1x 2x 22
n -1x 2
1x 3x 32
n -1x 3
1x n
2x n =
1≤j
n -1x n
∏
(x i -x j )
例7、 计算n 阶行列式
(a -n +1) n -1(a -n +1) n -2
D n =
a -n +11
(a -n +2) n -1 (a -1) n -1(a -n +2) n -2 (a -1) n -2
a -n +21
a n -1a n -2 a 1
a -11
(a -n +1) n -1(a -n +1) n -2
D n =
a -n +11
(a -n +2) n -1 (a -1) n -1(a -n +2) n -2 (a -1) n -2
a -n +21
a -11
a n -1a n -2 a 1
解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，„,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，„,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+„+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到
1
D n =(-1)
n (n -1)
2
1a -n +2
1a -1
1a a n -2a n -1
a -n +1 (a -n +1) n -2(a -n +1) n -1
(a -n +2) n -2 (a -1) n -2(a -n +2) n -1 (a -1) n -1
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：
λE n -AB =λn -m λE m -BA
D n =(-1)
n (n -1) 2
n n -(2
1)
1≤j
∏[(a -n +i ) -(a -n +j )]=(-1)
1≤j
∏
(i -j )
5. 消去法求三对角线型行列式的值
例6 求n 阶三对角线型行列式的值：
（1）
的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。 解 用消去法，把第一行的
中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去
倍，于是第二行变为
其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的
再从第四行减去第三行的
倍，则第四行变为
类似地做下去，直到第n 行减去第n – 1行的
倍，则第三行变为
倍，则第n 行变为
最后所得的行列式为
（2）
上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
93）
又主对角线下方的元全为0。故
注3 一般的三对角线型行列式
的值等于（3）中各数的连乘积，即
。
（4）
也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。
4．数学归结法
例5 计算行列式
解：
猜测： 证明
（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n ≤k – 1 时命题成立, 考察n=k的情形：
故命题对一切自然数n 成立。