圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题

一、轨迹为圆的例题：

1、 必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在x轴和y轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：

必修2课本P124B组：已知M与两个定点（0,0），A（3,0）的距离之比为

1

，求点M的轨迹方程;（一般地：必修2课2

本P144B组2：已知点M(x,y)与两个定点M1,M2的距离之比为一个常数m；讨论点M(x,y)的轨迹方程（分m=1，与m≠1进行讨论）

2、 必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是（4,3），端点A在圆

(x+1)2+y2=1上运动，求AB的中点M的轨迹。

（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23。 （1）求圆心的P的轨迹方程；

（2）若P点到直线y=x的距离为

2

，求圆P的方程。 2

如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=(x-4)2+y2所以有(x

－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=

x+4y+0

,代入方程x2+y2－4x－10=0,得,y1=

22

(

x+42yx+4

－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. )+()2-4⋅

222

在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2） 已知点B(-1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明

直线l过定点。

3、 定义法：（选修2-1P50第3题）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线x=8的距离之比为的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)

讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）

4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1P50第2题）一个动圆与圆

1

，求点M2

x+y+6x+5=0外切，同时与圆x+y-6x-91=0内切，求

动圆的圆心轨迹方程。

5、 圆锥曲线第一定义：点M(x0,y0)圆F1(x+1)2+y2=9上的一个动点, 点F2

（1,0）为定点。线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x,y),求点Q的轨迹方程;(注意点F2（1,0）在圆内)

2222

6、 其他形式：（选修2-1P50例3）设点A,B的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM相交于点M，且他们的斜

4

，求点M的轨迹方程:（是一个椭圆） 9

4

（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）

9

率的乘积为-

2222

（2013新课标1卷20）已知圆M:(x+1)+y=1，圆N:(x-1)+y=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，

圆心P的轨迹为曲线C。 （1）求C的方程； （2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求

（2013陕西卷文20）已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程

（2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率。

8、圆锥曲线第一定义：点M(x0,y0)圆F1(x+1)+y=1上的一个动点, 点

2

2

F2（1,0）为定点。线段MF2的垂直平分线与MF1相交于点Q(x,y),求点Q

的轨迹方程;(注意点F2（1,0）在圆外)

定义法：（选修2-1P59例5）点M(x,y)与定点F(5，0)的距离和它到定直线x=程.(圆锥曲线第二定义)

四、抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点M(x,y)与定点F(2，0)的距离和它到定直线x=-2的距离相等，求

点M的轨迹方程。（或：点M(x,y)与定点F(2，0)的距离比它到定直线x=-3的距离小1，求点M的轨迹方程。）

（2013陕西卷文20）已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍。 （1）求动点M的轨迹C的方程

（2）过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率 已知三点O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线C上任意一点M(x,y)满足

165

的距离之比为，求点M的轨迹方54

|MA+MB|=OM⋅(OA+OB)+2。

（1）求曲线C的方程；

）在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C1的方程；

22

（湖北）设A是单位圆x+y=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；

x2y2

（辽宁）如图，椭圆C0：2+2=1(a>b>0，a，b为

ab

常数)，动圆点，C1与C0相

C1:x2+y2=t12，b交于A，B，C，D四点。

(Ⅰ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;

（四川）如图，动点M到两定点A(-1,0)、B(2,0)构成∆MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。 （Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y=-2x+m与y轴交于点P， 与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|

|PR|

的取值范围。 |PQ|

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

x2y2

+2.(★★★★)设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P294x2y2y2x2x2y2y2x2

+=1 +=1 C.-=1 -=1 交点的轨迹方程为( ) A. B.D.94949494

二、填空题

3.(★★★★)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－

aa1

,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的

222

轨迹方程为_________.

4.(★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

三、解答题

5.(★★★★)已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程

.

x2y2

6.(★★★★)双曲线2-2=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与

ab

A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.

x2y2

8.(★★★★★)已知椭圆2+2=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，

ab

点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R

.

(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；

(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+2a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

2.解析：设交点P(x,y）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴

2

2

y-y0y

=∵A2、P2、P共线，x-x0x+3

x0y0y+y093yx2y2y

,代入得-=1,即-=1 =∴解得x0=,y0=

xx9494x-x0x-3

16x216y2a11a

=1(x>). 二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为2-2

4a3a22216x216y2a

=1(x>) 答案：2-

4a3a2

4.解析：设P(x,y），依题意有

5(x+5)2+y2

=

3(x-5)2+y2

,化简得P点轨迹方程为4x2+4y2－85x+100=0.

答案：4x2+4y2－85x+100=0

三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为

x2y2

+x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0) 8172

6.解：设P(x0,y0）(x≠±a),Q(x,y). ∵A1(－a,0),A2(a,0).

y0⎧y⋅⎧x0=-x(x0≠±a)⎪x+ax+a=-1⎪⎪0

得⎨由条件⎨ x2-a2

y0⎪y⋅⎪y0==-1y⎩⎪⎩x-ax0-a

而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.

x2-a2222

即b(－x)－a()=ab

y

2

2

2

化简得Q点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x≠±a). 8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ， ∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0). |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

x1+c⎧x=⎪⎪02 又⎨

⎪y=y1

0⎪2⎩

得x1=2x0－c,y1=2y0.

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2

.

故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y≠0)

a21

(2)如右图，∵S△AOB=|OA|²|OB|²sinAOB=sinAOB

22

1

当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.

2

此时弦心距|OC|=

|2ak|+k

2

.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

∴

|OC||2ak|23

==cos45︒=,∴k=±.

2|OA|a+k23

专题一：求曲线的轨迹方程

课前自主练习：

1．如图1，∆ABC中，已知B(-2,0)，C(2,0)，点A在x轴上方运动，且tanB+tanC=2，则顶点A

的轨迹方程是 ．

2．如图2，若圆C：(x+1)2+y2=36上的动点M与点B(1,0)连线BM的垂直平分线交CM于点G，

则G的轨迹方程是 ． 图1 图2 图3 图4

3．如图3，已知点A(3,0)，点P在圆x2+y2=1上运动，∠AOP的平分线交AP于Q，则Q的轨迹方 程是 ． 4．与双曲线x-2y=2有共同的渐近线，且经过点(2,-2)的双曲线方程为 5．如图4，垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y=2(x-1)分别交于点A、P，点B在y轴上，且点A 满足|AB|=2|OA|，则线段PB的中点Q的轨迹方程是 ．

2

2

2

几种常见求轨迹方程的方法：

1．直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用

坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤： 建系——设点——列式——代换——化简——检验；

【例1】（1）求和定圆x+y=R的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程；

222

（2）过点A(a,0)作圆O：x+y=R(a>R>0)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．

22222

解：（1）设动点P(x,y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x+y=4R或x+y=0．

2

2

2

故所求动点P的轨迹方程为x+y=4R或x+y=0．

（2）设弦的中点为M(x,y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM⋅kAM=-1，

22222

yyaa

⋅=-1，化简得：(x-)2+y2=()2． xx-a22

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧（不含端点）．

22

【例2】已知直角坐标平面上一点Q(2,0)和圆C：x+y=1，动点M到圆C的切线长等于圆C的半

径与|MQ|的和．求动点M

解：如图，设MN切圆C于N，又圆的半径|ON|=1， ∴

∴|OM|=|NM|+|ON|=|NM|+1，

∴|MN|=|MN|=|MQ|+1． 设M(x,y)=

2222

1，

343

3x2-y2-8x+5=0(x≥)．可化为9(x-)2-3y2=1　　(x≥)．

232

45

故所求的轨迹是以点(,0)为中心，实轴在x轴上的双曲线的右支，顶点为(,0)，如图．

33

【例4】已知定圆A的半径为r，定点B与圆A的圆心A的距离为m (m>2r)．又一动圆P过定点B，

且与定圆A相切．求动圆圆心P的轨迹方程．

解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立坐标系，如图．

当动圆P与定圆A外切时，|PA|-|PB|=r；当动圆P与定圆A外切时，|PB|-|PA|=r． 由双曲线的定义知动圆圆心P的轨迹应是以A、B为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左

mr

支）．显然，c=，又a=，

22m2-r2222

故b=c-a=．

4x2y2

=1所以所求的点P轨迹方程是：2-2． rm-r2443．动点转移法：若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动，且0

、0可用、表示，

则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为动点转

∴2x-3=

移法（或代换法或相关点法）．

【例5】已知定点A(3,1)、B为抛物线y2=x+1，上任意一点，点P在线段AB的中点，当B点在抛物

线上变动时，求点P的轨迹方程．

2

解：设点P(x,y)，且设点B(x0,y0)，则有y0=x0+1．∵点P是线段AB的中点．由中点坐标公式得：

x0+3⎧

x=⎪2，∴⎧x0=2x-3．将此式代入y2=x+1中，并整理得：(2y-1)2=2x-2，

⎨y=2y-1⎨00

y+10⎩0⎪y=⎩2

即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．

4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的

参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求． 【例7】若抛物线y=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线y=2x

被双曲线截得的线段长等于

2

y2x2222222

解：设所求双曲线方程为2-2=1，将y=4x代入整理得：ax-4bx+ab=0．

ab

∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等， 因此方程ax-4bx+ab=0应有等根．∴∆=16b-4ab=0，即a=2b．

22

2

22

4

32

2

y2x2

由y=2x和2-2=1得：(4b2-a2)x2-a2b2=0．

ab

由弦长公式得：=22

2

2

⎧a2=2by222

-x2=1． 即ab=4b-a．由⎨22得：a=2，b=1．∴双曲线的方程是22

2⎩ab=4b-a

5．参数法：当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t，并用t表示

⎧x=f(t)

动点P的坐标x、y，从而动点轨迹的参数方程⎨消去参数t，便可得到动点P的

y=g(t)⎩

的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t的范围确定出x、y的范围．

2

【例8】抛物线x=4y的焦点为F，过点(0,-1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻

边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．

解：设R(x,y)，AB：y+1=kx，AB中点为M(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，与x2=4y联立得：

x2-4kx+4=0．∆=16(k2-1)>0，x1+x2=4k，x1⋅x2=4．

y1+y2+2=k(x1+x2)=4k2，y1+y2=4k2-2． 2

M(2k,2k-1)，∵F(0,1)，M为AB中点， 22

∴x=4k，y=4k-3．消k得：x=4(y+3) (　y>1)． 巩固练习：

1．平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（

（A）椭圆的一部分 （B）椭圆 （C）双曲线的一部分 （D）双曲线 2．已知动点M与定点F(2,0)的距离比动点M到y轴的距离大2，则动点M的轨迹（ ）

（A）抛物线 （B）抛物线的一部分 （C）抛物线和一射线 （D）抛物线和一直线 3．已知定直线l和l外一点A，过A与l相切的圆的圆心轨迹是（ ）

（A）抛物线 （B）双曲线 （C）椭圆 （D）直线 4．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线

P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么 5．已知椭圆的焦点是F1、F2、

2

6．已知点A(-2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA⋅PB=x，则点P的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 7．与圆x2+y2-4x=0外切，又与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）

（A）y2=8x （B）y2=8x (x>0)和y=0 （C）y2=8x(x>0) （D）y2=8x (x>0)和y=0 (x

动点Q的轨迹是（ ）

（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）抛物线

8．过抛物线y2=2x的焦点作直线与此抛物线相交于两点P、Q，则线段PQ中点的轨迹方程为（ ）

（A）y2=2x-1 （B）y2=-2x+1 （C）y2=2x-2 （D）y2=-2x+2

9．过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，

O为坐标原点，若BP=2PA，且OQ⋅AB=1，则点P的轨迹方程是（ ）

323222

（A）3x+y=1 (x>0, y>0) （B）3x-y=1 (x>0, y>0)

22323222

（C）x-3y=1 (x>0, y>0) （D）x+3y=1 (x>0, y>0)

22

10．已知两点M(-2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|⋅|MP|+MN⋅NP=0，则动

点P(x,y)的轨迹方程为（ ）

（A）y2=8x （B）y2=-8x （C）y2=4x （D）y2=-4x

x2y2

-=1有共同的渐近线，且经过点(-的双曲线方程是（ ） 11．与双曲线

916x24y2y24x2x24y2y24x2

-=1 （B）-=1 （C）-=-1 （D）-=-1 （A）49494949

x2

-y2=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 12．设P为双曲线4

．

13．已知A(-,0)，B是圆F：(x-)+y=4（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交

1212

22

BF于P，则动点P的轨迹方程为

x2

+y2=1于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是 ． 14．倾斜角为45︒的直线交椭圆4

15．求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过A-2)和B(-两点的椭圆方程． 16．已知双曲线与椭圆x+4y=64共焦点，它的一条渐近线方程为x=0，则双曲线的方程是

2

2

．

x2y2

　a>b>0)上的任意一点，从右焦点F2作∠FQF17．已知Q是椭圆2+2=1 (12的外角平分线的垂线，

ab垂足为P，求P点的轨迹方程．

18．如图，直线l1：y=kx (k>0)与直线l2：y=-kx之间的阴影区域 （不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．

（1）分别用不等式组表示W1和W2；

（2）若区域W中的动点P(x,y)到l1，l2的距离之积等于d，

求点P的轨迹C的方程；

2

y2

=1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 19．设椭圆方程为x+4

2OP=OA+OB，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．

y22

=1的左焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q

20．过双曲线C：x-3

以线段OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求顶点M的轨迹方程． 21．设点A和B为抛物线y2=4px (p>0)上原点以外的两个动点，

已知OA⊥OB

，OM⊥AB，求点M2