八年级 相似多边形的面积和周长比 北师大版

相似多边形的周长比和面积比

【预习检测】

5

1、两个多边形的面积之比为5，周长之比为m，则为（ ）

mA．1 B

．

C

．5 5

2、如图，在△ABC中，D、E是AB边上的点，且AD＝DE＝EB，DF∥EG∥BC，则△ABC被分成三个部分的面积比S△ADF∶S四边形DEGF∶S四边形EBCG等于（ ）

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．1∶4∶9 D．1∶3∶5

DB

FG

3、两个相似多边形的一组对边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积和为78cm2，那么较大的多边形的面积为（ ）

A．46.8 cm2 B．42 cm2 C．52 cm2 D．54 cm2

4、已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′对应角的角平分线，且AD∶A′D′＝2∶3，则下列结论正确的是（ ）

A．△ABC的周长∶△A′B′C′的周长＝4∶9 B．A′B′∶AB＝2∶3 C．S△ABC∶S△A'B'C'＝2∶3 D．AB∶A′B′＝2∶3

【高效课堂】

知识点一:相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系 例1：如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k．

（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？ △A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？

（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是S∆A1B1C1, S∆A1C1D1,S∆A2B2C2,S∆A2C2D2

那么

S∆A1B1C1S∆A2B2C2

=

S∆A1C1D1S∆A2C2D2

各是多少？

（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？

变式题：在四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中,60cm,求四边形ABCD的周长

知识点二:相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用

例题2：某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图3所示），他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．

【随堂训练】

一、选择题：

ABBCCDDA2

====,且四边形A'B'C'D'的周长为A'B'B'C'C'D'D'A'3

1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△D∶S△BOC＝1∶4，则S△D∶S△ACDOAOA等于（ ）

A．1∶6 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5

O

2.如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的一半，若AC

AA′是（ ）

A．

1 B

． C．1 D

1 22

二、填空题（每题5分，共30分）

3.两个相似多边形最长的的边分为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别为_______.

4.已知△ABC∽△DEF，它们的周长分别为144cm和120cm，BC=48cm，DE=30cm，则AB＝_____cm，AC＝______cm，EF＝______cm，DF＝______cm.

5.如图，已知△ABC中，DE∥BC，CD、BE相交于点O，则AD∶DB＝__________. S△DOE∶S△COB＝9∶16，

D

B

6.顺次连接三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形的周长比为___________，面积比为____________.

7.如图，在△ABC中，EF∥BC，M是BC的中点，若△AEF的面积∶梯形BCFE的面积＝2∶3，且AM＝15，则AN＝_________.

A

A

EB

M

N

FC

DB

H

EG

第7题图 第8题图

8.如图，DE∥BC，AG⊥BC于G，交DE于H，AH＝9，AD∶DB＝3∶2，则AG＝_________，S四边形

BCED∶

S△ADE＝____________.

三、解答题（每题10分，共40分）

9.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是过两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，试说明：AD·E′F′＝A′D′·EF

A

A′

EB

D

FF′

BDAB2

10.已知：如图，△ABC中，D，E是BC边上两点，∠B＝∠CAE，∠C＝∠BAD，试说明： 2CEAC

A

11.如图，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE：S四边形BCED，＝1：2，BC＝26，求DE的长。

12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，若AB＝10，BC＝6，DE＝2，求四边形DEBC的面积。

【预习作业】

1、下列说法不正确的是（ ）

A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形不一定是位似图形 C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行

2、如图，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为（ ）

11

A．2、点P B．、点P C．2、点O D．、点O P22

3、下列说法中正确的是（ ）

A．全等图形一定是位似图形 B．相似图形一定是位似图形

C．位似图形一定是全等图形 D．位似图形是具有某种特殊位置的相似图形 4、如图，△ADE与△ABC是位似图形，AD＝3，BD＝2，则位似比为（ ）

图形的放大与缩小

第一课时

【预习检测】

1.如果两个图形不仅是___________，而且每组对应点所在的直线都经过___________，那么这样的图形叫位似图形，这个点叫___________，这时的相似比又称为___________. 2.如图，△ADE与△ABC是位似图形，AD＝3，BD＝2，则位似比为（ ） A．3∶2 B．2∶3 C．3∶5 D．2∶5

A

A

D

E

E

第2题图 第3题图

3.如图，四边形ABC是平行四边形，E是BC边延长线上一点，AE分别交BD、DC于F、H，则图中有位似关系的三角形有（ ）

A．2组 B．3组 C．4组 D．5组

4.已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是（ ）

A A（A′）

C′B′CC

A B C D

【高效课堂】

知识点一：位似图形及其有关概念、性质

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比

位似图形其性质：(1)两个位似形一定是相似形； (2)各对对应顶点所在的直线都经过同一点；

(3)各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比.

例1：如图，指出下列图形中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心．

变式题: 1.七边形ABCDEFG，位似于七边形A1B1C1D1E1F1G1，它们的面积比为4∶9，已知位似中心O到A点的距离为6，那么O到A1的距离为( ) A.13.5 B.12 C.18 D.9

2.四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，O为位似中心，若OA∶OA′=1∶3，那么AB∶A′B′=__________. 知识点二：位似图形的画法

位似图形有两个要素，第一点，它们应是相似图形，第二点，它们的对应点连线应交于同一点，这一点我们称之为位似中心。依定义得，我们要知相似比（一定要准确）和位似中心，就能作一个图形的位似图形。具体的步骤是：（1）确定位似中心；（2）确定原图形上的关键点；（3）确定相似比；（4）根据相似比作出新图形上的关键点；（5）连接关键点画出新图形。

利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小，实际上是一种变换，这种变换叫位似变换． 例2：如图所示，画出四边形ABCD的位似图形A’B’C’D’，使四边形ABCD与四边形A’B’C’D’的位似比为1：2。

分析：因为题目中没有明确的指出位似中心的位置，所以在画图之前应该首先确定位似中心的位置，然后再画出位似图形。

解：方法一、如图所示。

（1）在四边形ABCD外取一点O；

（2）以点O为端点作射线OA、OB、OC、OD；

（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上截取OA’=2OA、OB’=2OB、OC’=2OC、OD’=2OD；

（4）顺次连结A’B’、B’C’、C’D’、D’A’。 四边形A’B’C’D’就是所求作的图形。

方法二、如图所示。

（1）在四边形ABCD外任取一点O； （2）连结AO、BO、CO、DO，

（3）分别延长AO、BO、CO、DO到点A’、B’、C’、D’，使OA’=2OA、OB’=2OB、OC’=2OC、OD’=2OD；

（4）顺次连结A’B’、B’C’、C’D’、D’A’。 四边形A’B’C’D’就是所求作的图形。

A

B'

方法三、如图10-6-7所示。

（1）在四边形ABCD的内部任意选取一点O； （2）作射线OA、OB、OC、OD；

（3）分别在射线OA、OB、OC、OD上截取OA’=2OA、OB’=2OB、OC’=2OC、OD’=2OD；

（4）顺次连结A’B’、B’C’、C’D’、D’A’。 四边形A’B’C’D’就是所求作的图形。

【随堂训练】

1，下列说法正确的是（ ）

A, 位似图形一定是相似图形 B, 相似图形不一定是位似图形 C, 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D, 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2，下列说法正确的是（ ） A, 分别在∆ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC,则∆ADE是∆ABC

放大后的图形

B,两位似图形的面积之比等于位似比 C, 位似多边形中对应对角线之比等于位似比

D, 位似图形的周长之比等于位似比的平方

3，如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为

4，已知∆ABC，以点A为位似中心，作出∆ADE，使∆ADE是∆ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个。他们之间的关系是

5，将一个多边形放大为原来的3倍，则放大后的图形可作出个，其原因是 6， 两个位似图形中的对应角 7，如图， ∆OAB与∆ODC是位似图形。

试问:

(1) AB与CD平行吗？请说明理由。 (2) 如果OB=3,OC=4,OD=3.5，试求∆OAB与∆ODC的相似比及OA的长。

1

8，如图，作出一个新图形，使新图形与原图形相似，且相似比为。

3

9，如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2,1),B(4,3),C(6,2),D(3,-1). 试将此四边形缩小为原

1来的。

2

【预习作业】

1、某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．

则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点( ) A．（－2a，－2b） B．（－a，－2b） C．（－2b，－2a） D．（－2a，－b） 2．如图，已知△ABC，（1）以O为位似中心，相似比为3∶2画△A1B1C1；（2）以C为位似中心，相似比为1∶2，画△A2B2C2；（3）以AC的中点为位似中心，相似比为2，画△A3B3C3；

图形的放大与缩小

第二课时 【预习检测】

1．把如图所示的图形缩小,使得缩小前后对应线段的比为2∶1．

2.如果一张地图的比例尺为1∶3000000,在地图上量得长春到大连的距离为25 cm，长春到大连的实际距离为________千米．

3.如果梯形的中位线长是12 cm，一条对角线与中位线所成两条线段的比是2∶1，则梯形两底的长分别为________．

4.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2 cm，OA=60 cm,OB=15 cm，则火焰的长度为________．

【高效课堂】

知识点一：位似图形的画法

“利用位似将图形放大或缩小的作图步骤．”

第一步:在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P． 第二步:以点P为端点向各关键点作射线．

第三步:分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例． 第四步:顺次连接截取点． 即可得到符合要求的新图形． 简记方法: 1．选点 2．作射线 3．定对应点 4．连线

例1：请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，同学们在小组间互相交流，看一看有几种方法？

做法一：在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，

PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形．

做法二：在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，

PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形．

变式题：三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC缩小,使缩小后的 △

DEF与△ABC对应边比为1∶2．

解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D（1,1）, E（2,1）,F（3,2）后,顺次连结D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF．如图4－62所示．

1

2

【随堂训练】

一、选择题：

1、下列说法正确的是（ ）

A．分别在∆ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则∆ADE是∆ABC放大后的图形

B．两位似图形的面积之比等于位似比

C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D．位似图形的周长之比等于位似比的平方

2、如图，点D，E，F分别是△ABC（AB＞AC）各边的中点，下列说法中，错误的是（ ） ．．

1

BC 2

C．EF与AD互相平分 D．△DFE是△ABC的位似图形

A．AD平分∠BAC B．EF＝

A

EBD

F

C

3、下列说法：（1）如图（1），将矩形ABCD的长和宽各减少相同的长度，所得的矩形AEFG与矩形ABCD是位似图形；（2）如图（2），正方形ABCD的对角线相交于点O，E、F、G、H分别为OA、OB、OC、OD的中点，则正方形ABCD与正方形EFGH是位似图形；（3）如图（3），在△ABC的边BC上任取一点M，作MN∥AC，交AB于N，则△NBM于△ABC是位似图形，其中正确的是（ ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）

D

A

G

F

CGBN

A

第4题图

二、填空题（每题5分，共35分）

4.如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为

1

．若五边形ABCDE2

的面积为17 cm2，周长为20 cm，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为________，周长为________． 5、△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为 ． 6、（2007年威海）线段AB，CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，O为坐标原点，若线段AB上

OP与线段CD的交点的坐标为____________．

7、已知∆ABC，以点A为位似中心，作出∆ADE，使∆ADE是∆ABC放大2倍的图形，这样的图形可

以作出_______个，他们之间的关系是__________.

8、将一个多边形放大为原来的3倍，则放大后的图形可作出______个，其原因是___________________________-__

9、两个位似图形中的对应角________，对应线段________，对应顶点必须过经过______。

A'B'

''''ABCD=________＝________＝________；10、如图，点O是四边形ABCD与的位似中心，则

AB

∠ABC= ________，∠O'CB= ________．

11、已知六边形ABCDEF与六边形A′B′C′D′E′F′是位似图形，两个六边形的最短边长分别是4cm和6cm，则它们的周长比为________，它们的面积比为_________. 三、解答题（每题9分，共45分）

12、如图，己知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2.(不写作法，但保留作图痕迹)

C

A

B

13、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点0为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心点0；

(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比；

(3)以点0为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．

14、如图，已知△ABC，（1）以O为位似中心，相似比为3∶2画△A1B1C1；（2）以C为位似中心，相似比为1∶2，画△A2B2C2；（3）以AC的中点为位似中心，相似比为2，画△A3B3C3；

15、四边形ABCD的坐标分别为A(2，1)，B(6，0)，C(5，5)，D(3，4)，画出它们的一个以原点为位似中心，相似比为2∶3的位似图形.

11

16、将图中的△ABC做下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化. （1）沿y轴正方向平移4个单位；（2）关于y轴对称；（3）以A为位似中心，放大为原来的2倍.

y

四、拓展探究（不计入总分）

17、如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1)．

(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标；

(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M′的坐标．