定积分的定义
定 积 分
微积分基本定理的叙述、证明与应用,是本章的重点,也是全书的核心所在.
定积分的概念
我们先从几个例子谈起. 例1 变力作功.
设有一质点受到力F的作用而在x轴上运动,
F的方向与x轴平行,其大小|F|f(x)与质点所在的位置有关。
问题:当质点从a位移到b时,变力f(x)作的总功是多少(图7—
1)?
例如,—个质量为m的人造卫星,要把它从地面送上太空,要计算地心引力对它作的功,如果把铅垂线选作x轴,则这时的力为f(x) 常力作功: (功=力距离)
WFS
m
x2
。
变力f(x)是随x变化的连续量,功具有可加性,考虑将其一点点求和。 因此这是个连续量连续作用的积累问题. 分4步解决
1、分割 在区间a,b中插入n个分点.ax x。b0x1x2n
第i个小区间为xi1,xi,长度为xixixi1,i1,2,n
2、取近似 当xi很小时,可以认为f(x)的变化较小,
取ixi1,xi,则质点从xi1到xi过程中,力所作的功 wif(i)xi 3、求和 力所作的总功Wf(i)xi
i1n
axxi,则 4、取极限 记m1in
Wlimf(i)xi
0
i1n
例2 质点作变速直线运动的路程.
设质点作变速直线运动,速度为vv(t),求质点在时间间隔a,b内所走过的路程, 匀速直线运动: 路程=速度时间 变速v(t),? 路程具有可加性
因此这是个连续量连续作用的积累问题.
分4步解决
1、分割 在区间a,b中插入n个分点:at0t1tnb。
第i个小区间为[ti1,ti],长度为tititi1,i1,2,n
2、取近似 当ti很小时,可以认为v(t)的变化较小,
取i[ti1,ti],则质点从ti1到ti过程中,所走过的路程 Siv(i)ti
3、求和 在a,b内走过总路程Sv(i)ti
i1n
Svt
.
a{xti},则 4、取极限 记m
1in
Slimv(i)ti
0
i1
n
例3 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形,是指由三条直边及一条曲边所围成的图形。垂直于底边的直线交曲边只有一点。
设三条直边为
y0,xa,xb yf(x)(f(x)0)
曲边是连续曲线 分4步解决
1、分割 在区间a,b中插入n个分点.ax x。b0x1x2n
第i个小区间为xi1,xi,长度为xixixi1,i1,2,n
2、取近似 当xi很小时,可以认为f(x)的变化较小,
取ixi1,xi,则小曲边梯形的面积近似于 Sif(i)xi 3、求和 曲边梯形的面积 Sf(i)xi
i1n
axxi,则 4、取极限 记m
1in
Slimf(i)xi
0
i1
n
设想曲边梯形是由线段(x0,y)0y
f(x0)当x0从
a变到b时扫出来的(图7-5)。
如果函数f(x)等于常数,这时图形是矩形,面积很易求得。对一般的连续函数f(x),困难就在于当x0从a变到b时,f(x)也在连续的变化。因此,求曲边梯形的面积,也就是求一个连续量连续变化的“积累”问题,从这个意义来看,例3是例1、例
2的几何“解释”。
这些例子,都归结为求某种和式的极限。我们把它概括抽象出来,便得到下面的定积分定义。
定义 7.1 设函数f(x)在区间a,b上有定义.用分点 ax0x1x2xnb
将区间任意分成n个小区间,小区间的长度为 xixixi1,i1,2,,n,记
max1in
xi,在每个小区间上任取一点ixi1,xi,作和式
n
f(i)xi.
i1
若当0时,和式的极限存在(设为I),则称f(x)在a,b是可积的,极限值为f(x)在a,b的定积分,记作b
af(x). 概括起来,也就是 n
Ilimf(i)xb
0
if(x)dx
i1
a
注1 这是一种新的极限
注2 极限的存在与否与a,b的分法无关,与ixi1,xi的取法无关! 注3 和式 n
f(i)xi 称为黎曼和
i1 a,b 分别称为积分下限和积分上限,[a,b]积分区间 f(x)
称为被积函数,x称为积分变量
定积分是一个数,是黎曼和的极限
等价定义:
xlimxf(x)A 0,0,
当0|xx0|时,有|
f(x)A|
limn
0f(i1
i)xiI0,0,
对[a,b]的任意分法及i[xi1,xi],
I称
当时,有|f(i)xiI|
i1
n
注意两个任意——对区间的分法任意和i在子区间的取法任意。 正因为此,使黎曼和的极限比通常函数的极限复杂得多。
对函数极限,当0|xx0|时,对每个x来说,f(x)是唯一确定的;而对黎曼和极限,当时,f(i)xi不是唯一确定的,这时,区间的分法有无穷多种,对每一个分
n
i1法,i的取法又有无穷多种。
等价定义:设f(x)在[a,b]有定义,I是一个确定的数,若
0
,
0
,对
[a,b]
的任意分法及i[xi1,xi],当时,|n
f(i1
i)xiI|
则称I为f(x)在a,b的定积分,记作I
b
a
f(x).并称f(x)在a,b可积。
变力f(x)使质点沿直线从a移到b时所作的功是f(x)在a,b的定积分
(f(x)作用的方向与位移的方向重合)
Wb
af(x)dx
变速直线运动的质点所走过的路程是速度v(t)在时间区间a,b上的定积分,即Sb
av(t)dt
定积分的几何意义
b
a
f(x)dx
当f(x)0时,b
af(x)dx是曲边梯形的面积
当f(x)0(axb)时,b
af(x)dx是曲边梯形的面积的负值
有
定积分可视为对连续量求和
离散量求和 ai 自变量i从1离散地变到n
i1n
连续量求和
b
a
f(x)dx 自变量连续地从a变到b
对积分变量x的说明:
a, i只是求和指标,是哑元用什么字母表示无关
ii1
n
110011001222
i1ik1kn1n
100
ba
同理
b
a
f(x)dxf(t)dtf(u)du
a
b
注意:这与不定积分有本质的区别,不定积分中,积分变量是不能随便改的
两个规定: 1、
当ab时,规定
b
a
f(x)dx0
a
2、 当ab时,规定
b
a
f(xdx)fx(dx)
b
这个等式不论a,b谁大谁小均成立
微积分基本定理
定理7.11(微积分基本定理) 设f(x)在a,b上可积,F(x)在a,b连续,且是f(x)在a,b的任意一个原函数,即F(x)f(x),x[a,b,]则 上式称为牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式.
定积分af(x)dx的两重含义:
limf(i)xif(x)dxF(b)F(a)
0
i1
a
n
b
b
a
f(x)dxF(b)F(a).
b
1、 从第一个等式看,定积分是黎曼和的极限,其背景是求连续量连续作用的总
和或积累. 2、
由此我们可以看到微积分基本定理的意义:
1、从上述2知,f(x)dx含有微分的意思.但从定积分的定义来看,定积分是作为求连续量连续作用的总和或积累引入,是黎曼和的极限,很难看出与微分有联系.而不定积分才是作为微分运算的逆运算引入.因此,意义之一是它在理论上,把积分学中的两种积分统一到一起.
2、在计算上使定积分的计算大大前进了一步,将求黎曼和的极限转化为求不定积分,使定积分的计算成为可能,而且可以机械化的进行.
微积分基本定理深刻揭示了微分和积分两者的关系,这是微积分发展历史中的转折点.在此之前,人们计算每一个定积分都要探求一种特殊的方法才能把它算出来.但是,有了微积分基本定理之后,人们可以用统一的求原函数的方法计算定积分.这样微积分才真正开始成为一门独立的学科.因此,把这定理称为微积分的基本定理是一点也不过分的.
从第二个等式看,它是微分为f(x)dx的函数F(x)在a,b两点的函数值之差.