湘教版2012年版数学教材九下第一章(word版)

目录

第1章 二次函数 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 1.1 二次函数 „„„„„„„„„„„„„„„„„2 1.2二次函数的图象与性质 „„„„„„„„„„„„„„5 *1.3不共线三点确定二次函数的解析式 „„„21 1.4二次函数与一元二次方程的联系 „„„„24 1.5二次函数的应用 „„„„„„„„„„„29 IT 教室 用几何画板研究二次函数图象一与性质 „„33 小结与复习 „„„„„„„„„„„„„„„35 综合与实践

汽车能通过隧道吗? „„„„„„40

第2章 圆 „ „„„„„„„„„„„„„„42 2.1圆的对称性 „„„„„„„„„„„„„43 2.2圆心角、圆周角 „„„„„„„„„„„47 2.3垂径定理 „„„„„„„„„„„„„„58 2.4过不共线三点作圆 „„„„„„„„„„61 2.5直线与圆的位置关系 „„„„„„„„„64 2.6弧长与扇形面积 „„„„„„„„„„„77 2.7正多边形与圆 „„„„„„„„„„„„83 小结与复习 „„„„„„„„„„„„„„„87

数学与文化最美的平面图形——圆 „„„„92

第3章 投影与视图 „„„„„„„94 3.1投影 „„„„„„„„„„„„„„„95 3.2直棱柱、圆锥的侧面展开图 „„„„„101 3.3三视图 „„„„„„„„„„„„„„„105 小结与复习 „„„„„„„„„„„„„„„114

第4章 概率 „„„„„„„„„„„„118 4.1随机事件与可能性 „„„„„„„„„„119 4.2概率及其计算 „„„„„„„„„„„„124 4.3用频率估计概率 „„„„„„„„„„„134 IT 教室 用Excel 模拟掷硬币试验 „„„„„140 小结与复习 „„„„„„„„„„„„„„„141 数学与文化漫谈小概率事件 „„„„„„„145

数学词汇汉英对照表 „„„„„„„„„„„„„„„„147

第1章 二次函数

物体运动的轨迹并不总是呈直线形的，有时会成为一条曲线．例如在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似． 那么什么是二次函数呢? 二次函数的图象有什么特征? 二次函数具有哪些性质? 学完本章知识，你将能回答上述问题，并能运用二次函数的知识去解决一些实际问题．

动脑筋

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，如图1-1所示．已知篱笆墙的总长度为100 m，设与围墙相邻的一面篱笆 墙的长度为x (m)，那么矩形植物园的面积S (m2) 与x 之间有何关系?

由于与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为x m ，可知，与围墙相对的一面篱笆墙的长度为(100-2x )m ．于是矩形植物园的面积S 与x 之间有如下关系： S =x (100—2x ) ，0

22x +100x 即 S =-，0

①式表示植物园面积S 与围墙相邻的一面篱笆墙长度戈之间的关系，而且对于戈的每一个取值，S 都有唯一确定的值与它对应，即S 是x 的函数．

动脑筋

某型号笔记本电脑两年前的销售价为6 000元．现降价销售，若每年的平均降价率为x ，怎样用x 来表示该型号电脑现在的售价y (元)?

笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前(1-x ) 倍，于是我们得到售价y 与平均降价率x 之间有如下的关系：

y =6000(1-x ) 2，0

2

0-120x 0+0 即 y =600x

60

②式表示两年后的售价y 与平均降价率x 之间的关系，而且对于戈的每一个取值，

y

都有唯一确定的值与它对应，即y 是x 的函数．

说一说

① 与②式有什么共同点? 它们与一次函数的解析式有什么不同?

像①、②式那样，如果函数的解析式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数(quadratie funetion)，它的一般形式是

y =a +bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) ．

其中x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制．例如，上面第一个例子中，0

例 如图1-2，一块矩形木板，长为120 cm、宽为80 cm，在木板4个角上各截去边长为x (cm) 的正方形，求余下面积S (cm2) 与x 之间的函数解析式． 分析 本问题中的数量关系是：

木板余下面积=矩形面积一截去面积．

解 木板余下面积S 与剪去正方形边长x 有如下函数关系： S =120×80-4×x 2=-4x 2+9 600．0

写出下列函数的解析式，并指出哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数． (1)正方形的面积S 关于它的边长x 的函数； (2)圆的周长C 关于它的半径r 的函数； (3)圆的面积S 关于它的半径r 的函数；

(4)当菱形的面积S 一定时，它的一条对角线的长度y 关于另一条对角线的长度x 的函数．

2

习题1.1

A 组

1．下列函数中，哪些是二次函数，哪些是一次函数，哪些是反比例函数? (1) y =3x +l； (2) y =3x 2+2x +l； (3) y =3x 2+l； (4) y =-3x 2+x ； (5) y =

11

； (6) y =x 2．

33x

2．一长方体水池深2 m，底面矩形的周长为8 m，设底面一边长为x (m)，水池的容积为y (m2) ，求y 关于x 的函数解析式．

3．如图，一块矩形田地长100 m，宽80 m， 现计划在田地中修2条互相垂直且宽度为x (m)的 小路，剩余面积种植庄稼，设剩余面积为y (m2) ，求 y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

B 组

4．如图为一隧道的截面示意图，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，且矩形的竖直的边长为2. 5 m．设隧道截面积为S (m2) ，截面半圆的半径为r (m)，试写出S 关于r 的函数解析式．

1.2 二次函数的图象与性质

我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢?

探究

画二次函数y =x 2，的图象．

列表：对于二次函数y =x 2，其自变量x 可以取任意实数．因此让x 取0 和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：

描点：在平面直角坐标系内，以x 取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标．描出相应的点．如图1-3．

可以证明y =x 2的图象关于y 轴对称；图象在y 轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．

连线：根据前面的分析，我们可以用 一条光滑曲线把原点和y 轴右边各点顺次 连接起来；然后利用对称性，画出图象在

y 轴左边的部分(把y 轴左边的点和原点 用一条光滑曲线顺次连接起来) ．这样就得 到了y =x 2的图象，如图l-4．

观察

观察图l-4，函数y =x 2的图象除了具有关于y 轴对称和“右升”外，还具有哪些性质?

从图l-4中可以看出，二次函数y =x 2的图象是一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是原点(0，0) ；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“左降”； 当x =0时，函数值最小，最小值为0．

一般地，当a >0时，y =ax 2的图象都具有上述性质．于是我们画y =ax 2(a >0)的图象时，可以先画出图象在y 轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分．在画右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤． 例1 画二次函数y = 解 因为二次函数y =横坐标0开始取值． 列表:

12

x 的图象． 2

12

x 的图象关于y 轴对称，因此列表时，自变量x 可以从原点的2

描点和连线：画出图象在Y 轴右边的部分．如图1-5(1)．

利用对称性，画出图象在Y 轴左边的对称点，并用一条光滑曲线把Y 轴左边的点和原点顺次连接起来，这样就得到了y =

12

x 的图象．如图l-5(2)． 2

练习

1．画出二次函数y =6x 2的图象，并填空：

(1) 图象的对称轴是 (2) 图象的开口向

(3) 图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而；图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ． 2．在同一直角坐标系中画出二次函数y =3x 2及y =不同点．

12

x 的图象，并比较它们的共同点与4

探究

我们已经会画y =在y =

121

x 的图象，能不能从它得出二次函数y =-x 2的图象呢? 22

1211

x 的图象上任取一点P (a ，a 2) ，它关于x 轴的对称点Q 的坐标是(a ，-a 2) ，222

如图1-6所示．从点Q 的坐标看出， 1

点Q 在y =-x 2的图象上．由此可

211

知，y =-x 2的图象与y =x 2的图

22

象关于x 轴对称．因此只要把y =

12

x 2

的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制” 1

出来，就可以得到y =-x 2的图象，

2

如图1-6的绿色曲线．

观察

1

观察图l-6，二次函数y =-x 2的图象具有哪些性质?

2

1

从图1-6中可以看出，二次函数y =-

x 2的图象是一条曲线，它的开口向下，图象的对

2

称轴是y 轴，对称轴与图象的交点是原点(0，0) ；

图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“左升”： 图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而减小，简称为“右降”； 当x =0时，函数值最大，最大值为0．

一般地，当a

1

例2 画二次函数y =-x 2的图象．

4

解 列表：自变量x 从原点的横坐标0开始取值．

描点和连线：

画出图象在y 轴右边的部分．

利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分． 1

这样就得到y =-x 2的图象，如图l-7．

4

说一说

如图1-8，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y =ax 2(a

以棒球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x 轴的正方向水平向

右，y 轴的正方向竖直向上，则可以看出棒球在空中经过的路线是形如y =ax 2(a

一般地，二次函数y =ax 2的图象 关于y 轴对称，抛物线与它的对称轴 的交点(0，0) 叫作抛物线y =ax 2的顶点．

练习

1． 画出二次函数y =-10x 2的图象，并填空：

(1) 对称轴是，顶点是； (2) 抛物线的开口向；

(3) 抛物线在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而； 在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ． 2．在同一直角坐标系中画出二次函数y =-0.3x 2与y =-8x 2的图象，并比较它们的共同点与不同点．

探究

把二次函数y =

12

x 的图象E 向右平移1个单位，得到图形F ，如图1-9． 2

由于平移不改变图形的形状和大小，因此图象E 在向右平移1个单位后：

在抛物线y =的坐标是什么?

1

记b =a +1，则a =b -1，从而点Q 的坐标为 (b ，y =(b -1) 2) ．这表明：点Q 在函数

211

y =(x -1) 2的图象上．由此得出，抛物线F 是函数y =(x -1) 2的图象 22

1从上面的过程可以说明：函数y =(x -1) 2的图象是抛物线F ，它的开口向上，顶点是O ′

2

121

x 上任取一点P (a ，a 2) ，那么在向右平移1个单位后，点P 的像点Q 22

(1，0) ，对称轴是过点O ′ (1，0) 且平行于y 轴的直线l ′．直线l ′是由横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l ′记作直线x =1．

类似地，我们可以证明下述结论：

由于我们已经知道了二次函数y =a (x -h ) 2的图象的性质，因此今后在画y =a (x -h ) 2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分。在画图象的右边部分时，只需“列表、描点、连线”三个步骤．

例3 画函数y =(x -2) 2的图象．

解 抛物线y =(x -2) 2的对称轴是直线x =2，顶点坐标是(2，0) ．

列表：自变量x 从顶点的横坐标2开始取值．

描点和连线：

画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性，画出图象在对称轴 左边的部分．

这样就得到了y y =(x -2) 2的图象，如图1-10．

练习

1．填空：

1

(1) 抛物线y =(x -5) 2的对称轴是，顶点是；

3

(2) 抛物线y =-(x +2) 2的对称轴是 1

2．分别画出二次函数y =-(x -1) 2，y =(x +1) 2的图象．

2

探究

1

如何画二次函数y =(x -1) 2+3的图象?

2

11

我们先来探究二次函数y =(x -1) 2+3与y =(x -1) 2之间的关系．

22

11

从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数y =(x -1) 2+3的值都要比函数y =(x -1) 2

2211

的值大3，由此可见函数y =(x -1) 2+3的图象可由二次函数y =(x -1) 2的图象向上平移3

221

个单位而得到(如图1-11) ．因此，二次函数y =(x -1) 2+3的图象也是抛物线，它的对称轴

211

为直线x =1(与抛物线y =(x -1) 2的对称轴一样) ，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物线y =(x -1) 2

22

的顶点(1，0) 向上平移3个单位得到的) ，它的开口向上．

一般地，二次函数y =a (x -h ) 2+k 的图象是抛物线，它具有下述性质：

由于我们已经知道了二次函数y =a (x -h ) 2+k 的图象的性质，因此画y =a (x -h ) 2+k 的图象的步骤如下：

第一步 写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点； 第二步 列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值) ，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；

第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分(这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和顶点) ．

1

例4 画二次函数y =(x +1) 2-3的图象．

2

解 对称轴是直线x =-1，顶点坐标为(-l ，-3) ．

列表：自变量x 从顶点的横坐标-l 开始取值．

描点和连线：

画出图象在对称轴右边的部分． 利用对称性，画出图象在对称轴左边 1

的部分．这样就得到了y =(x +1) 2-3的图

2

象，如图1-12．

例5 已知某抛物线的顶点坐标为(-2，1) ，且与y 轴相交于点(0，4) ，求这个抛物线所表示的二次函数的解析式．

解 由于点(-2，1) 是该抛物线的顶点，可设这个抛物线所表示的二次函数的解析式为

y =a (x +2) 2+1．

由函数图象过点(0，4) ，可得

2

) +，1 4=a (0+2

解得 a =

3

4

因此，所求的二次函数的解析式为

33

y =(x +2) 2+1=x 2+3x +4．

44

练习

1．说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向： 21

(1) y =(x -9) 2+7； (2) y =-(x +18) 2-13．

53

2．画出二次函数y =-2(x -2) 2+3的图象．

3．已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2) ，且经过点(-1，0) ，求这个抛物线所表示的二次函数的解析式．

动脑筋

如何画二次函数y =-2x 2+6x -1的图象?

2

2x +6x -1配方： y =-

=-2(x 2-3x ) -1

33⎤⎡

=-2⎢x 2-3x +(-) 2-(-) 2⎥-1

22⎦⎣39

=-2(x -) 2+2⨯-1

24

37

=-2(x -) 2+

22

故对称轴是直线x =

337

，顶点坐标是(，) ． 222

3

列表：自变量x 从顶点的横坐标开始取值．

描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．

利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到了函数y =-2x 2+6x -1 的图象，如图l-13．

说一说

观察图l-13，当x 等于多少时，函数y =-2x 2+6x -1的值最大? 这个最大值是多少?

一般地，有下述结论：

二次函数y =ax 2+bx +c ，当x 等于顶点的横坐标时，达到最大值(a 0)，

这个最大(小) 值等于顶点的纵坐标． 1

例6 求函数y =-x 2+2x -1的最大值．

2

1

解 配方：y =-x 2+2x -1

2

1

=-(x 2-4x +22-22) -1

211

=-(x -2) 2+⨯4-1

221

=-(x -2) 2+1．

2

顶点坐标是(2，1) ，于是当x =2时，y 达到最大值1．

一般地，对于二次函数y =ax 2+bx +c 进行配方：

y =ax 2+bx +c

b 24ac -b 2

=a (x +) +，

2a 4a

b 4ac -b 2

顶点坐标是(-，) ．

2a 4a

b 4ac -b 2

因此，当x =-时，函数达到最大值(a 0)：．

2a 4a

练习

1．写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象． 1

(1) y =3x 2-6x +1； (2) y =-x 2+x +1．

4

2．求下列二次函数图象的顶点坐标： 1

(1) y =x 2-3x +2； (2) y =-x 2-2x +1．

3

3．用配方法求第2题中各个二次函数的最大值或最小值．

习题1.2

A 组

1．画出F 列二次函数的图象： (1) y =2x 2； (2) y =-3x 2；

32

(3) y =-x 2 (4) y =x 2

43

2．写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象． 11

(1) y =-x 2+3x ； (2) y =x 2-4x

4231

(3) y =(x -) 2； (4) y =-(x +2) 2

42

3．写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向，并画出它们的图象． 1

(1) y =(x +3) 2-2； (2) y =2(x -3) 2+5；

314

(3) y =-3(x +) 2-6； (4) y =-(x -2) 2+1．

25

4．已知某抛物线的顶点坐标为(2，3) ，且与y 轴相交于点(0，1) ，求这个 抛物线所表示的二次函数的解析式．

5．写出下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并画出它们的图象． 1

(1) y =2x 2-4x +1； (2) y =-x 2+2x +1．

2

(3) y =-3x 2+9x -5； (4) y =x 2-5x +7． 6．二次函数y=2xz一8x+6的图象大致是( )

7．用配方法求下列二次函数的最大值或最小值： (1) y =x 2+10x -7； (2) y =-x 2+5x +2； 12

(3) y =x 2-2x +3； (4) y =-x 2+2x -6．

53

B 组

8．在二次函数y =

121

x 的图象上任取一点P (a ，a 2) ． 22

(1)点P 关于Y 轴的对称点Q 的坐标是什么? (2)点P 关于y 轴的对称点Q 在y = (3)从第(2)小题的结论得出，y = 9．填空：

对于二次函数y =ax 2+bx +c ．

(1)当a >0时，图象的开口向，对称轴为．顶点坐标为． 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x = 时，y 取最．

(2)当a 时，y 随x 的增大而减小；当x = 时，y 取最

10．某农场种植一种蔬菜，销售员李平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图所示，图中的抛物线(部分) 表示这种蔬菜每千克销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息?

12

x 的图象上吗? 为什么? 2

12

x 的图象关于哪条直线对称? 2

*1.3 不共线三点确定二次函数的解析式

我们学习过用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的解析式是y =kx +b 只要求出k 和b 的值，就可以确定一次函数的解析式．

二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，因此，要确定这个解析式，就需要求出a ，b ，c 的值．

与一次函数相类似，如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值) ，将它们代入函数解析式，列出一个关于待定系数a ，b ，c 的三元一次方程组，求出a ，b ，c 的值，就可以确定二次函数的解析式．

例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1，3) ，(-1，-5) ，(3，-13) ，求这个二次函数的解析式.

解 设该二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ．

将三个点的坐标(1，3) ，(-1，-5) ，(3，-13) 分别代入函数解析式，得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：

⎧a +b +c =3

⎪

⎨a -b +c =-5

⎪9a +3b +c =-13⎩

解得a =-3，b =4，c =2．

因此，所求的二次函数的解析式为y =-3x 2+4x +2．

例2已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点? (1) P (1，-5) ，Q (-l，3) ，R (2，-3) ； (2) P (1，-5) ，Q (-l，3) ，M (2，-9) ．

解 (1)设有二次函数y =ax 2+bx +c ，它的图象经过P ，Q ，R 三点，则得到关于a ，b ，c 的一元三次方程组：

⎧a +b +c =-5⎪

⎨a -b +c =3

⎪4a +2b +c =-3⎩

解得a =2，b =-4，c =-3．

因此，二次函数y =2x 2-4x -2的图象经过P ，Q ，R 三点．

(2)设有二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过P ，Q ，M 三点，则得到关于a ，b ，c 的三元一次方程组：

⎧a +b +c =-5⎪

⎨a -b +c =3

⎪4a +2b +c =-9⎩

解得a =0，b =-4，c =-1．

因此一次函数y =-4x -1的图象经过P ，Q ，M 三点．这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P ，Q ，M 三点．

例2中，两点P (1，-5) ，Q (-1，3) 确定了一个一次函数y =-4x -1．

点R (2，-3) 的坐标不适合y =-4x -1，因此点R 不在直线PQ 上，即P ，Q ，R 三点不共线．

点M (2，-9) 的坐标适合y =-4x -1，因此点M 在直线PQ 上，即P ，Q ，M 三点共线．

例2表明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数．

可以证明：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上．还可以证明：若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点． 练习

已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过三点A (0，2) ，B (1，3），C (-1，-1) ，求这个二次函数的解析式．

习题1.3

A 组

1．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过三点A (-l，0) ，B (0，2) ，c (2，0) ，求这个二次函数的解析式．

2．已知二次函数y =ax 2+bx +c 中的部分自变量x 与所对应的函数值y 如下表：

求当x =1时，y 的函数值．

3．已知二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标分别是x 1=-3, x 2=1，且与y 轴的交点为(0，-2) ，求这个二次函数的解析式·

B 组

4．已知二次函数的图象经过一次函数y =-x +3的图象与x 轴、y 轴的交点，且过点(1，1) ，求这个二次函数的解析式．

5．已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点? (1) P (1，6) ，Q (2，11) ，R (一1，14) ； (2) P (1，6) ，Q (z，11) ，M (一1，一4) ．

1.4 二次函数与一元二次方程的联系

探究

画出二次函数y =x 2-2x -3的图象，你能从图象中看出它与x 轴的交点吗? 二次函数y =x 2-2x -3与x 2-2x -3=0有怎样的关系?

如图l-14，二次函数y =x 2-2x -3的图象与x 轴

的交点坐标分别是(-1，0) ，(3，0) ．由交点坐标可知．

当x =-1时，Y =0，即x 2-2x -3=0，也就是说，x =-1

是一元二次方程x 2-2x -3=0的一个根．

同理，当x =3时，y =0，即x 2-2x -3=0，也就

是说，x =3是一元二次方程x 2-2x -3=0的一个根．

一般地，如果二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图

象与x 轴有两个不同的交点(x 1，0) ，(x 2，0) ，那么一

元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根x =x 1，x =x 2．

21

一般地，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象与x 轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点，这对应着一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根的三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根．反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与咒轴的位置关系．

从上面的分析可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．那么解一元二次方程能不能借助二次函数呢? 求一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的根就是求二次函数

y =ax 2+bx +c 在y =0时，自变量x 的值，也就是二次函数图象与x 轴交点的横坐标，因而我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根．由于作图或观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的．

例1 求一元二次方程x 2-2x -1=0的根的近似值(精确到0. 1) ．

分析 一元二次方程x 2-2x -1=0的根就是抛物线y =x 2-2x -1与x 轴的交点的横坐标．因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图象上找出它与x 轴的交点的横坐标．这种解一元二次方程的方法叫作图象法．

解 设二次函数y =x 2-2x -1．

作出函数y =x 2-2x -1的图象，如图1-16．

可以发现抛物线与x 轴的一个交点在-1和0之

间，另一个交点在2和3之间．

通过观察或测量，可得抛物线与x 轴的交

点的横坐标约为-0.4或2.4，即一元二次方程

x 2-2x -1=0的实数根为戈x 1≈-0. 4，x 2≈2. 4．

我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根．将二次函数y =x 2-2x -1在-1至0范围内的部分x 值所对应的y 值列表如下：

22

可以发现，当x =-0.5时，Y =0.25>0；

而当x =-0.4时，Y =-0.04

结合图象可以看出，使y =0的x 的值一定在-0.5与-0.4之间，即-0.5

题目只要求精确到0.1，这时取x =-0.4或x =-0.5作为所求的根均满足要求．但当x =-0．4时，y =-0.04，比当x =-0.5时，y =0.25更接近于0，因此选x =-0.4．

同理，借助计算器，我们可以确定一元二次方程的另一个实数根为x =2.4．

例2 如图1-17，丁丁在扔铅球 x 268时，铅球沿抛物线y =-+x + 10105

运行，其中x 是铅球离初始位置的水平

距离，y 是铅球离地面的高度．

(1) 当铅球离地面的高度为2.1 m

时，它离初始位置的水平距离是多少?

(2)铅球离地面的高度能否达到2.5 m，它离初始位置的水平距离是多少?

(3)铅球离地面的高度能否达到3 m? 为什么?

解 (1)由抛物线的解析式得

x 268 2.1=-+x + 10105即 x 2-6x +5=0

解得 x 1=1，x 2=5．

即当铅球离地面的高度为2.1 m时，它离初始位置的水平距离是1 m或5 m．

x 268 (2)由抛物线的解析式得 2.5=-+x +， 10105

即 x 2-6x +9=0，

解得 x l =-x 2=3．

当铅球离地面的高度为2.5 m时．它离初始位置的水平距离是3 m．

x 268 (3)由抛物线的解析式得 3=-+x +， 10105

即 x 2-6x +14=0，

因为△=(一6) 2-4×1×14

所以铅球离地面的高度不能达到3 m．

23

从例2可以看出，已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的某一个函数值y =M ，求对应的自变量的值时，需要解一元二次方程ax 2+bx =c =M ，这样，二次函数与一元二次方程就紧密地联系起来了．

练习 j

1．试判断下列抛物线与x 轴的交点情况：

(1)，y =x 2-x -2； (2) y =9x 2+12x +4； (3) y =x 2-2x +3．

2．用图象法求一元二次方程x 2+x -1=0的根的近似值(精确到0.1) ．

3．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的12过程．如图，已知y =x 2-x 刻画了该公司年初 63

以来累积利润y (万元) 与销售时间x (月份) 之间的关

系．试根据图象提供的信息，回答下列问题：

(1)该公司亏损期是几个月? 几月末开始赢利?

(2) 求截止到几月末公司累积利润可达到32万元；

(3)该公司第8个月末所获利润是多少?

习题1.4

A 组

1．试判断下列抛物线与x 轴的交点情况：

(1) y =4x 2+12x +5； (2) y =x 2+2x +1；

(3) y =x 2-2x +1； (4) y =2x 2+3x +2.

2．用图象法求一元二次方程y =2x 2-2x -3的根的近似值(精确到0.1) .

3．求抛物线y =2x 2-2x +5上纵坐标为8的点的横坐标.

B 组

4．当t 取什么值时，抛物线y =5x 2+4tx +t 2-1与x 轴有一个交点?

5．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿 1抛物线y =x 2+3.5运行，然后准确落入篮筐 5

24

内．已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m．

(1)球在空中运行的最大高度为多少米?

(2)如果该运动员跳投时，球出手时离地

面的高度为2．25 rn，请问他距篮筐中心的水平距离是多少米?

1.5 二次函数的应用

拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画．

为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴．

建立直角坐标系，如图1-19．由于顶点坐标是(0，0) ，因此

这条抛物线的形式为y =ax 2．

已知水面宽4 m时，拱顶离水面高2 m，因此点A (2，-2)

在抛物线上．由此得出

-2=a ⋅22，

1 解得．a =- 2

1 因此，这个函数的解析式是y =-x 2，其中x 是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高2

度的相反数．这样我们从水面宽度的变化情况可以了解到拱顶离水面高度的变化情况． 由于拱桥的跨度为4.9 m，因此自变量戈的取值范围是：-2.45≤x ≤2.45．

想一想，当水面宽4.6m 时，拱顶离水面几米?

25

由于做窗框的铝材长度已确定，而窗框的面积S 随矩形一边长的变化而变化．因此设窗框的宽为x m ，则窗框的高为

则窗框的透光面积为

S =x ⋅

将上式进行配方，

3348 S =-x 2+4x =-(x -) +． 22338-3x 38=-x 2+4x ，0

当x =48时，S 取最大值． 33

8-3⨯4

3=2(m)． 这时高为2

48 则当窗框的宽为要m ，高为2 m时，窗框的透光面积最大，最大透光面积为要m 2． 33

例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件．根据销售经验，提高销售单价会导致

销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应

减少10件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获

得最大利润?

解 设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元．

每月减少的销售量为10x (件) ，实际销售量为180-10x (件) ，单件利润为(30+x-20) 元，则 y =(10+x )(180-10x ) ，

即 y =-10x 2+80x +1800 (x ≤18) ．

将上式进行配方，

y =-10x 2+80x +1800

=-10(x -4) 2+1960．

当x =4时，即销售单价为34元时，y 取最大值1960．

26

答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元．

练习

1．如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高100 m．主塔之间的距离为900 m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数解析式．

2．小妍想将一根72 cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小? 此时的面积和为多少?

习题1.5

A 组

1．如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA 为1m ，栅栏的跨径BC 间有5根间距为0.5 m的立柱．试建立适当的直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应的二次函数解析式，并求出立柱DE 的高度．

2．如图．用长为18 m的篱笆(虚线部分) ，围成两面靠墙的矩形苗圃．

(1)设矩形的一边为x (m)，面积为y (m2) ，求y 关于x 的函数解析式；

(2)当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少?

3．某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品，并投放市场进行试销．经过调查，发现每天的销售量y(件) 与销售单价x (元) 存在一次函数关系y =-10x +700．

(1)销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大? 最大利润为多少?

27

(2) 若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过35元，那么销售单价如何定位才能获取最大利润?

B 组

4．如图，正方形EFGH 的顶点在边长为2的正方形

ABCD 的边上，若设AE =x ，正方形EFGH 的面积为y ．

(1)求y 关于菇的函数解析式．

(2)正方形EFGH 有没有最小面积? 若有，试确定E 点

的位置；若没有，试说明理由．

5．如图，某跳水运动员在进行10m 跳台比赛时，身

体(看成一点) 在空中的运动轨迹是一条抛物线，已知该运动

员在离跳台的水平距离为1 m处达到最高点，高度为1 m，

试建立适当的直角坐标系，求该抛物线的解析式．

用几何画板研究二次函数图象与性质

在本章，我们采用描点法画出了二次函数的图象，并研究其性质．下面．我们借助几何画板软件来绘制二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象，并研究其性质．

(1)打开《几何画板》(版本5.02) 软件，

选择【工具栏】中的【自定义工具】，在弹出

的菜单中选择【滑块工具】，如图1．点击【基

本的水平滑块】，在工作区出现一条线段，就

得到参数a ，如图2所示．任意拖动“a ”点，

可以改变参数“a ”的大小． 同理，可得参数

b ．c ．

28

(2)同时选择参数a ，b ，c ，选择【绘图】菜单中的【绘制新函数】命令，如图3，在弹出的【新建函数】对话框中，输入“a *x ^2+b *x +c ”，如图4. 点击‘‘确定’’按钮，就可以得到二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，如图5．任意拖动参数a ，b ，c 至给定的常数，我们可以得到任意给定的二次函数的图象．

(3)任意拖动参数，观察二次函数的图象发生了怎样的变化．a 的变化对函数图象有什么影响? 你能得出什么结论? 同样，分别拖动参数b ，c ，观察图象又会发生怎样的变化． 借助计算机，我们可以利用作出的二次函数的图象来求得一元二次方程的根的近似值．例如，当抛物线与x 轴有交点时，在工具栏中选择“点工具”，构造出两个(或一个) 交点，测量出交点的横坐标，如图6，这样就得到相应的一元二次方程的根的近似值．

29

用几何画板绘制二次函数y =x 2-2x -3和y =-x 2-5x -3的图象，并试着求出一元二次方程x 2-2x -3=0，-x 2-5x -3=0的根的近似值．

1．什么形式的函数叫作二次函数? 试举例说明．

2．举例说明如何用描点法来作出一个二次函数的图象，并指出画图的步骤．

3．说出二次函数y =a (x -h ) 2+k (a ≠0) 的图象具有哪些性质．

4．如何将y =ax 2+bx +c (a ≠0) 配方成y =a (x -h ) 2+k 的形式?

*5．如何用不共线三点的坐标来求出二次函数的解析式?

6．结合抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 与x 轴的位置关系，说明一元二次 方程ax 2+bx +c =0的根的各种情况．

7．如何利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值?

8．试结合实例说明，建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么?

30

注意

1．我们可以从y =ax 2(a >0) 的图象与性质出发，得出二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象与性质，探究过程如下：

由于从二次函数y =ax 2(a >0) 的图象经过轴反射和平移可得出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，而轴反射和平移都不改变图形的形状和大小，因此二次函数y =ax 2+bx +c 的图象都是抛物线．

2．二次函数的图象都是轴对称图形．抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 关于直线x =-称．

3．结合图象讨论函数性质是数形结合地研究函数的重要方法，本章我们需认真体会这种方法的作用与价值．

4．对于现实生活中的许多问题，我们可以通过建立二次函数模型来解决．在此过程中，我们需体会函数模型在反映现实世界的运动变化中的作用，体会模型是沟通数学与现实的有效桥梁．

5．利用二次函数解决实际问题时，自变量的取值范围要结合具体问题来确定．

31

b 对2a

A 组

1．如图，一张正方形纸板的边长为4，将它剪去4个

全等的直角三角形，设这4个直角三角形短直角边的长度

为x ，四边形ABCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式．

2．画出下列二次函数的图象，并指出图象的对称轴、顶

点坐标和开口方向．

11 (1) y =-x 2； (2) y =(x -2) 2； 43

72 (3) y =-(x -3) 2+2； (4) y =(x -) 2+2； 23

(5) y =-x 2+7x -1； (6) y =x 2-10x +21．

3．填空：

(1)抛物线y =3x 2先向左平移2个单位，得到抛物线；接着向上平移1个单位，得到抛物线 ．

1 (2) 抛物线y =x 2沿着x 轴翻折并“复制”出来，得到抛物线； 3

接着向右平移5个单位，得到抛物线 ；接着向下平移2个单位，得到抛物线 ．

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为(-3，11) ，且过点(2，

解析式及它与y 轴的交点坐标．

5．用配方法求下列二次函数的最大值或最小值．

(1) y =-x 2+3x +4； (2) y =12x -2x +1． 411) ．求这个二次函数的2

*6．已知二次函数的图象与x 轴交于点(2，0) ，(-1，0) ，与y 轴交于点(0．-1) ．求这个二次函数的解析式及顶点坐标．

32

7．用图象法求一元二次方程x 2+4x -3=0的根的近似值(精确到0.1) ．

33