初二动点问题(含答案)

动态问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想

1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。 当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形

. 8

2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN的最小值为 5

，∠B =60°，BC =2．点O 是AC 的中点，过3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°

点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作

CE ∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．

（1）①当α=EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；

②当α=EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当α=90°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；

（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.

∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600, BC =2, ∴∠A =300.

1AC

2∴AB =4,AC

∴AO =. 在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.

∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形，

（备用图） ∴四边形EDBC 是菱形

4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.

M M C C

B B A D 图1 图3

N 图2

(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB

② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE

(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD.

5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF =90，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE =EF ．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

D 解：（1）正确． A

D 证明：在AB 上取一点M ，使AM =EC ，连接ME ． A F

∴BM =BE ．∴∠BME =45°，∴∠AME =135°．

F CF 是外角平分线，∴∠DCF =45°，∴∠ECF =135°． E C G ∴∠AME =∠ECF ． 图1 C G ∠AEB +∠BAE =90°，∠AEB +∠CEF =90°， D A

． ∴AE =EF ． ∴∠BAE =∠CEF ． ∴△AME ≌△BCF （ASA ）

F

（2）正确．

证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN =CE ，连接NE ．

E C G

∴BN =BE ． ∴∠N =∠PCE =45°． N 图2

D 四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BE ． A D A ∴∠DAE =∠BEA ． ∴∠NAE =∠CEF ． ∴△ANE ≌△ECF （ASA ）． ∴AE =EF ． C G G

图3

6、如图, 射线MB 上,MB=9,A是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3, 动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；

（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值

7、在等腰梯形ABCD 中,AD ‖BC,E 为AB 的中点, 过点E 作EF ‖BC 交CD 于点F.AB=4,BC=6, ∠ B=60°。

（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ‖AB 交折线ADC 于点N ，连接PN ，设EP=x

①当点N 在线段AD 上时，△PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由

②当点N 在线段DC 上时，是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的X 的值，若不存在，请说明理由。

① ②1°

① ②1° 2°

3°2° 3°

8、如图，已知△ABC 中，AB =AC =10厘米，BC =8厘米，点D 为AB 的中点．

(1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ 解：（1）①∵t =1秒， ∴BP =CQ =3⨯1=3厘米， ∵AB =10厘米，点D 为AB 的中点， ∴BD =5厘米．

又∵PC =BC -BP ，BC =8厘米， ∴PC =8-3=5厘米， ∴PC =BD ． 又∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△BPD ≌△CQP ． ②∵

v P ≠v Q

， ∴BP ≠CQ ， 又∵△BPD ≌△CQP ，∠B =∠C ，则BP =PC =4，CQ =BD =5，

∴点P ，点Q 运动的时间

t =

BP 4

=33秒， ∴

v Q =

CQ 515

==44t

3厘米/秒。

8015

x =x =3x +2⨯10

3秒． （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得4，解得

80

⨯3=80

∴点P 共运动了3厘米． ∵80=2⨯28+24，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， 80

∴经过3秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇．

7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，过点E 作EF ∥BC 交CD 于点

F ．AB =4，BC =6，∠B =60︒. 求：（1）求点E 到BC 的距离；

（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM ⊥EF 交BC 于点M ，过M 作MN ∥AB 交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP =x .

M N ①当点N 在线段AD 上时（如图2），△P

改变，请说明理由；

的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若

②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使△PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由

A B

图1 A B

图4（备用）

D F C

B

图5（备用）

D F C

B

A N

D F C B

图2

D F C A

D N F

C

M

M 图3

（第25题） A

解（1）如图1，过点E 作EG ⊥BC 于点G ． ∵E 为AB 的中点， ∴

BE =

1

AB =2．2

在Rt △EBG 中，∠B =60︒， ∴∠BEG =30︒．

∴即点E 到BC

BG =

1

BE =1，EG ==2

A B

D F C

图1 A B

图2

C

N

D F

（2）①当点N 在线段AD 上运动时，△PMN 的形状不发生改变．

∵PM ⊥EF ，EG ⊥EF ， ∴PM ∥EG ．∵EF ∥BC ， ∴EP =

GM ，PM =EG = 同理MN =AB =4．如图2，过点P 作PH ⊥MN 于H ，∵MN ∥AB ，

G

1PH =PM =∴∠NMC =∠B =60︒，∠PMH =30︒．∴

2335

cos30︒=．则NH =MN -MH =4-=．∴MH =PM

2 22

在Rt △

PNH 中，PN == =∴△PMN 的周长

=PM +PN +MN 4．

②当点N 在线段DC 上运动时，△PMN 的形状发生改变，但△MNC 恒为等边三角形． 当PM =PN 时，如图3，作PR ⊥MN 于R ，则MR =NR ．

3

．∴MN =2MR =3． ∵△MNC 是等边三角形，∴MC =MN =3． 2

此时，x =EP =GM =BC -BG -MC =6-1-3=2．

类似①，MR =

A B

R

G

M 图3

C

B

G

图4

M

D N F

A P D F N C

B

A

F （P ）

N

C

M

D

G

图5

当MP =MN 时，如图4

，这时MC =MN =MP =

此时，x =EP =GM =6-1=5当NP =NM 时，如图5，∠NPM =∠PMN =30︒．又∠MNC =60︒， 则∠PMN =120︒，∴∠PNM +∠MNC =180︒． 因此点P 与F 重合，△PMC 为直角三角形．

．∴MC =PM tan 30︒=1 此时，x =EP =GM =6-1-1=4．综上所述，当x =2或4

或5-时，△PMN 为等腰三角形．

(