解直角三角形提高题试题精选一附答案

解直角三角形提高题试题精选一附答案

一．选择题（共12小题）

1．（2014•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）

A． B． C． D．

2．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

A． B． C． D．

3．（2015•温州模拟）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）

A．

4．（2014•包头）计算sin45°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）

A．2 B．1 C． D． 2B． C． D．

5．（2014•深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）

A．600﹣250米 B．600﹣250米 C．350+350米 D．500米

6．（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（ ）

A．（6+6）米 C．（6+2）米 D．12米

7．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）

）米 B．（6+3

A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里

8．（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）

A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，

9．（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）

A．4km B．2km C．2km D．（+1）km

10．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米

11．（2014•杭州）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）

A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°

12．（2015•余姚市模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）

A． B． C． D．

二．填空题（共2小题）

13．（2014•贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．

14．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位

是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位．（≈1.4）

三．解答题（共16小题）

15．（2014•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

16．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

17．（2015•高密市三模）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度．

18．（2016•贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度

的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

19．（2014•重庆）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．

20．（2014•北海）如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）

21．（2014•仙桃）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．

22．（2015•湖北）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=

，AC=．求：

（1）BC的长；

（2）sin∠ADC的值．

23．（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5

①求BD和AD的长；

②求tanC的值．

，∠A=30°．

24．（2014•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．

（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；

（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

25．（2014•南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．

（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

26．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

27．（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

28．（2013•和平区二模）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．

（1）当α=30°时，求x的值．

（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=

求相应的tanα值． 时，判断⊙E与A′C的位置关系，并

29．（2014•天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．

（1）计算AB的长度．

（2）通过计算判断此车是否超速．

30．（2014•宁夏）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．

解直角三角形提高题试题精选一附答案

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．（2014•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）

A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】tan∠CFB的值就是直角△BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来．就可以求解．

【解答】解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，

∵EF⊥AC，

∴EF∥BC， ∴

∵AE：EB=4：1， ∴

∴=5， =，

x． 设AB=2x，则BC=x，AC=

∴在Rt△CFB中有

CF=

则tan∠

CFB==． x，BC=x．

故选：C．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

2．（2014•威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．

【专题】网格型．

【分析】作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AO的长，根据正弦的定义即可求解．

【解答】解：作AC⊥OB于点C．

则AC=， AO====2=， ． 则sin∠AOB=故选：D．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．（2015•温州模拟）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（ ）

A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．

【专题】常规题型．

【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=

【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，

根据勾股定理，AO=AC=OC=2计算即可得解． =2， ==2， ， 2所以，AO=AC+OC=20，

所以，△AOC是直角三角形，

cos∠AOB=故选B．

==．

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

4．（2014•包头）计算sin45°+cos30°•tan60°，其结果是（ ）

A．2 B．1 C． D． 2

【考点】特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．

【解答】解：原式=（

=

+

=2．

故选：A．

【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．

5．（2014•深圳）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）

）+2×

A．600﹣250米 B．600﹣250米 C．350+350米 D．500米

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】构造两个直角三角形△ABE与△BDF，分别求解可得DF与EB的值，再利用图形关系，进而可求出答案．

【解答】解：∵BE：AE=5：12，

=13，

∴BE：AE：AB=5：12：13，

∵AB=1300米，

∴AE=1200米，

BE=500米，

设EC=x米，

∵∠DBF=60°，

∴

DF=x米．

又∵∠DAC=30°，

∴AC=CD．

即：1200+x=（500+x），

解得x=600﹣250．

∴DF=x=600﹣750，

∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．

答：山高CD为（600﹣250）米．

故选：B．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助坡比、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

6．（2014•百色）从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（ ）

A．（6+6）米 B．（6+3）米 C．（6+2）米 D．12米

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】在Rt△ABC求出CB，在Rt△ABD中求出BD，继而可求出CD．

【解答】解：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6米，

∴BC=6米，

在Rt△ABD中，

∵tan∠BAD=，

米，

∴BD=AB•tan∠BAD=6

∴DC=CB+BD=6+6（米）．

故选：A．

【点评】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．

7．（2014•临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）

A．20海里 B．10海里 C．20海里 D．30海里

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．

【解答】解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，

∴∠DAB=15°，

∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．

又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，

∴∠CBA=45°．

∴在直角△ABC中，sin∠ABC=∴BC=20海里．

故选：C．

==，

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．

8．（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）

A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2，

【考点】解直角三角形．

【专题】新定义．

【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；

B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．

【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；

222B、∵1+1=（），是等腰直角三角形，故选项错误；

C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．

故选：D．

【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．

9．（2014•苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）

A．4km B．2km C．2km D．（+1）km

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB=AD=2．

【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，

∴AD=OA=2．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，

∴BD=AD=2，

∴AB=AD=2．

即该船航行的距离（即AB的长）为2km．

故选：C．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

10．（2014•衡阳）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ）

A．26米 B．28米 C．30米 D．46米

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．

【解答】解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，

∴AE=1.5BE=18米，

∵BC=10米，

∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，

故选：D．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．

11．（2014•杭州）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）

A．3sin40° B．3sin50° C．3tan40° D．3tan50°

【考点】解直角三角形．

【分析】利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．

【解答】解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，

又∵tanB=，

∴AC=BC•tanB=3tan50°．

故选：D．

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

12．（2015•余姚市模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）

A． B． C． D．

【考点】锐角三角函数的定义．

【专题】压轴题；网格型．

【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．

【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4， ∴斜边为∴cos∠ABC==2=． ．

故选B．

【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．

二．填空题（共2小题）

13．（2014•贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=

．

【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．

【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．

【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，

由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，

可以得知△ABC是等腰三角形， 由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，

即CE==， sinA===，

故答案为：．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

14．（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位．（≈1.4）

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】调配问题．

【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56﹣BE）÷EF+1，列式计算即可求解．

【解答】解：如图，BC=2.2×sin45°=2.2×

CE=5×sin45°=5×≈3.5米， ≈1.54米，

BE=BC+CE≈5.04，

EF=2.2÷sin45°=2.2÷≈3.1米，

（56﹣5.04）÷3.1+1

=50.96÷3.1+1

≈16.4+1

=17.4（个）．

故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．

故答案为：17．

解答错误

【点评】考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

三．解答题（共16小题）

15．（2014•上海）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．

（1）求sinB的值；

（2）如果CD=，求BE的值．

【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；

（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴CD=BD，

∴∠B=∠BCD，

∵AE⊥CD，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

又∠ACB=90°

∴∠BCD+∠ACH=90°

∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，

∵AH=2CH，

∴由勾股定理得AC=CH，

∴CH：AC=1：，

∴sinB=

（2）∵sinB=， ；

∴AC：AB=1：，

∴AC=2．

∵∠CAH=∠B，

∴sin∠CAH=sinB==，

22设CE=x（x＞0），则AE=x，则x+2=（

∴CE=x=1，AC=2，

222在Rt△ABC中，AC+BC=AB，

∵AB=2CD=2，

∴BC=4，

∴BE=BC﹣CE=3．

x）， 2

【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大．

16．（2014•重庆）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

【考点】解直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACD中由勾股定理得AC，然后利用正弦的定义求解．

【解答】解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD•tan∠BAD=12×=9，

∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，

∴AC=

∴sinC=

=． ==13， =，

【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．

17．（2015•高密市三模）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．

（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．

【解答】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：

由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，

在Rt△ABD中，

∵AB=30海里，∠BAC=30°，

∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，

在Rt△BCD中，

∵BD=15海里，∠BCD=45°，

∴CD=15海里，BC=15海里，

∴AC=AD+CD=15+15海里，

即A、C间的距离为（15+15）海里．

（2）∵AC=15+15（海里），

轮船乙从A到C的时间为由B到C的时间为

∵BC=15海里， +1﹣1=， =+1，

∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．

18．（2016•贵阳模拟）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．

【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，

∴CO=AO•tan60°=100（米）．

设PE=x米，

∵tan∠PAB=

=，

∴AE=2x．

在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100

∵PF=CF，

∴100+2x=100﹣x，

解得x=

答：电视塔OC高为100（米）． ﹣x，PF=OA+AE=100+2x， 米，点P的铅直高度为（米）．

【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

19．（2014•重庆）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．若AB=12，CD=6，tanA=，求sinB+cosB的值．

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】先在Rt△ACD中，由正切函数的定义得tanA=AD=8，再解Rt△BCD，由勾股定理得BC=

此求出sinB+cosB=．

【解答】解：在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴tanA==

=， =，求出AD=4，则BD=AB﹣=，cosB==，由=10，sinB=∴AD=4，

∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8．

在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，BD=8，CD=6，

∴BC=

∴sinB=

=10， =，cosB==，

∴sinB+cosB=+=． 故答案为：

【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中．

20．（2014•北海）如图是某超市地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果保留小数点后两位；参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】通过解Rt△BAD求得BD=AB•tan∠BAE，通过解Rt△CED求得

CE=CD•cos∠BAE．然后把相关角度所对应的函数值和相关的线段长度代入进行求值即可．

【解答】解：由已知有：∠BAE=22°，∠ABC=90°，∠CED=∠AEC=90°

∴∠BCE=158°，

∴∠DCE=22°，

又∵tan∠BAE=，

∴BD=AB•tan∠BAE，

又∵cos∠BAE=cos∠DCE=

∴CE=CD•cos∠BAE

=（BD﹣BC）•cos∠BAE

=（ AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE

=（10×0.4040﹣0.5）×0.9272

≈3.28（m）．

【点评】本题考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中正确计算BD的值是解题的关键．

21．（2014•仙桃）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．

，

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．

【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，

在Rt△BFD中，

∵∠DBF=30°，sin∠

DBF==，cos∠

DBF==，

∵BD=6，

∴DF=3，

BF=3，

∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，

∴四边形BFCE为矩形，

∴BF=CE=3，CF=BE=CD﹣DF=1，

在Rt△ACE中，∠ACE=45°，

∴AE=CE=3，

∴AB=3+1．

答：铁塔AB的高为（3+1）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．

22．（2015•湖北）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=

（1）BC的长；

（2）sin∠ADC的值．

，AC=．求：

【考点】解直角三角形．

【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=

根据tanB=，求出BE的长即可； ，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，

（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．

【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，

∵cosC=，

∴∠C=45°，

在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，

∴AE=CE=1，

在Rt△ABE中，tanB=，即∴BE=3AE=3，

∴BC=BE+CE=4；

（2）∵AD是△ABC的中线，

∴CD=BC=2，

∴DE=CD﹣CE=1，

∵AE⊥BC，DE=AE，

∴∠ADC=45°， =，

∴sin∠ADC=．

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．

23．（2014•柳州）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=6，AC=5

①求BD和AD的长；

②求tanC的值．

，∠A=30°．

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）由BD⊥AC得到∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据含30度的直角三角形三边的关系先得到BD=AB=3，再得到AD=BD=3；

（2）先计算出CD=2，然后在Rt△BCD中，利用正切的定义求解．

【解答】解：（1）∵BD⊥AC，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，

∴BD=AB=3，

∴AD=BD=3；

（2）CD=AC﹣AD=5﹣3==2=， ． 在Rt△BCD中，tan∠C=【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．

24．（2014•哈尔滨）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．

（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；

（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．

【解答】解：（1）根据题意得：BD∥AE，

∴∠ADB=∠EAD=45°，

∵∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠ADB=45°，

∴BD=AB=60，

∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；

（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，

∴AF=BD=DF=60，

在Rt△AFC中，∠FAC=30°，

∴CF=AF•tan∠FAC=60×=20，

又∵FD=60，

∴CD=60﹣20，

∴建筑物CD的高度为（60﹣20）米．

【点评】考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．

25．（2014•南京）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．

（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．

【解答】解：设梯子的长为xm．

在Rt△ABO中，cos∠ABO=，

∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．

在Rt△CDO中，cos∠CDO=，

∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．

∵BD=OD﹣OB，

∴0.625x﹣x=1，

解得x=8．

故梯子的长是8米．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．

26．（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】压轴题．

【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，则可求得∠ACB的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案．

【解答】解：过点B作BD⊥AC于D．

由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，

∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，

在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×在Rt△BCD中，BC===20=10（海里）， （海里）．

答：此时船C与船B的距离是20海里．

【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．

27．（2014•黄冈）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距100（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．

（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）作CE⊥AB，设AE=x海里，则BE=CE=x海里．根据AB=AE+BE=x+x=100（+1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；

（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．

【解答】解：（1）如图，作CE⊥AB，

由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，

设AE=x海里，

在Rt△AEC中，CE=AE•tan60°=x；

在Rt△BCE中，BE=CE=x．

∴AE+BE=x+x=100（+1），

解得：x=100．

AC=2x=200．

在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，

设AF=y，则

DF=CF=y，

∴

AC=y+y=200，

解得：y=100（﹣1），

∴AD=2y=200（﹣1）．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（﹣1）海里．

（2）由（1）可知，

DF=

AF=×100（﹣1）≈126.3海里，

∵126.3＞100，

所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．

28．（2013•和平区二模）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S．

（1）当α=30°时，求x的值．

（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=

求相应的tanα值．

时，判断⊙E与A′C的位置关系，并

【考点】锐角三角函数的定义；根据实际问题列二次函数关系式；勾股定理；直线与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．

【专题】综合题；压轴题；数形结合．

【分析】（1）根据等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；

（2）由直角三角形的性质，AB=2，AC=，由旋转性质求得△ADC∽△BCE，根据比例关系式，求出S与x的函数关系式；

（3）当S=时，求得x的值，判断⊙E和DE的长度大小，确定⊙E与A′C的位置关系，再求tanα值．

【解答】解：（1）∵∠A=a=30°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ABC=∠BCD=60°．

∴AD=BD=BC=1．

∴x=1；

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=∠CBE=30°．

∴AC=BC=，AB=2BC=2．

由旋转性质可知：AC=A′C，BC=B′C，

∠ACD=∠BCE，

∴△ADC∽△BEC， ∴=，

x． ∴BE=

∵BD=2﹣x，

∴s=×

（3）∵s=s△ABC ∴﹣2x（2﹣x）=﹣x+2x．（0＜x＜2） +

=， ∴4x﹣8x+3=0，

∴，．

×

=． ①当x=时，BD=2﹣=，BE=∴DE==．

∵DE∥A′B′，

∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．

∴EC=

DE=＞BE，

∴此时⊙E与A′C相离．

过D作DF⊥AC于F，则∴

∴

②当∴

∴时，， ， ． ． （12分） ，． ，． ∴此时⊙E与A'C相交． 同理可求出．

【点评】本题考查的知识点：等腰三角形的判定，直角三角形的性质，相似三角形的判定以及直线与圆的位置关系的确定，是一道综合性较强的题目，难度大．

29．（2014•天水）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速站点M距羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）．现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．

（1）计算AB的长度．

（2）通过计算判断此车是否超速．

【考点】解直角三角形的应用．

【专题】应用题．

【分析】（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；

（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．

【解答】解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，

∴AN=MN•tan∠AMN=30．

在Rt△BMN中，

∵∠BMN=45°，

∴BN=MN=30．

∴AB=AN+BN=（30+30）米；

（2）∵此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，

∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，

∵60千米/时≈16.66米/秒，

∴13.66＜16.66

∴不会超速．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，难度不大．

30．（2014•宁夏）在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，解Rt△ADC，得出DC=1；然后根据BC=BD+DC即可求解

【解答】解：在Rt△ABD中，∵

又∵AD=1，

∴AB=3，

222∵BD=AB﹣AD， ∴． ，

在Rt△ADC中，∵∠C=45°，

∴CD=AD=1．

∴BC=BD+DC=+1．

【点评】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADB与Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解题的关键．