平面向量应用举例
平面向量应用举例
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:
平面几何问题――→向量问题――→解决向量问题――→解决几何问题 2.平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合,当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题. 此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) →→
(1)若AB∥AC,则A,B,C三点共线.( √ )
(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决.( √ ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算.( √ )
→→
(4)在△ABC中,若AB·BC
→(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:OP=
设向量
运算
还原
→→→
OA+t(AB+AC),tR,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √
)
1.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),则这个三角形是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B
→→
解析 ∵AB=(2,-2),CB=(6,6), →→∴AB·CB=12-12=0,
→→
∴AB⊥CB,∴△ABC为直角三角形.
π
2.(2014·山东)已知向量a=(13),b=(3,m).若向量a,b的夹角为则实数m等于( )
6A.23 3 C.0 D.-3 答案 B
解析 ∵a·b=(13)·(3,m)=3+m, π又a·b12+32×3+m×cos ,
6π
∴33m12+32×3+m×cos ,
6∴m=3.
y→→0,,3.平面上有三个点A(-2,y),BC(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程为__________. 2答案 y2=8x (x≠0)
yy→→
2,-,BC=x,, 解析 由题意得AB=22→→→→
又AB⊥BC,∴AB·BC=0,
yy2,-·x,=0,化简得y2=8x (x≠0). 即22
4.已知平面向量a=(1,cos θ),b=(1,3sin θ),若a与b共线,则tan 2θ的值为________. 3答案 4
解析 由a∥b得3sin θ-cos θ=0, 1
∴tan θtan 2θ=
3
3141-923
B.直角三角形 D.等腰直角三角形
题型一 向量在平面几何中的应用
例1 如图所示,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上的一点(不包括端点),E,F分别在边BC,DC上,且四边形PFCE是矩形,试用向量法证明:PA=EF.
思维点拨 正方形中有垂直关系,因此考虑建立平面直角坐标系,求出所求线段对应的向量,根据向量知识证明.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,DP=λ(0
,λ), 22
22
λ),Fλ,0), 22
2222→→
∴PA=(-λ,1-),EF=λ-1,-λ),
2222→
∴|PA|= →|EF|=
222
λ+1λ2=λ2-2λ+1, 22
22
-12+-λ2=λ2-2λ+1, 22
→→
∴|PA|=|EF|,即PA=EF.
思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
→→
(1)在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E是BC的中点,则AC·AE等于
( ) 3+3
A.
33
9B.294
→→
→→
(2)在△ABC所在平面上有一点P,满足PA+PB
+PC=AB,则△PAB与△ABC的面积的比值是( )
1123A. B. 3234答案 (1)D (2)A
解析 (1)建立如图平面直角坐标系,则A(-1-). 2∴E点坐标为31,-, 44
33
,0),C,0),B(0,22
1→→3∴AC=(3,0),AE=(),
44339→→
∴AC·AE=3×44→→
(2)由已知可得PC=2AP,
∴P是线段AC的三等分点(靠近点A), 1
易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
3题型二 向量在三角函数中的应用
例2 已知在锐角△ABC中,两向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p与q是共线向量. (1)求A的大小; (2)求函数y=2sin2B+cos解 (1)∵p∥q,
∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)(sin A-cos A) =0,
33∴sin2A=,sin A=
42
∵△ABC为锐角三角形,∴A=60°. (2)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos
C-3B
2
C-3B
2取最大值时,B的大小.
180°-B-A-3B2
=2sin2B+cos(2B-60°) =1-cos 2B+cos(2B-60°)
=1-cos 2B+cos 2Bcos 60°+sin 2Bsin 60° 13
=1B+sin 2B=1+sin(2
B-30°),
22
当2B-30°=90°,即B=60°时,函数取最大值2.
思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决.
(1)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n
=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为( ) ππA. 63ππ 36
2ππB.36ππ33
(2)△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为________. 5π
答案 (1)C (2)
6
解析 (1)由m⊥n得m·n=0, 即3cos A-sin A=0, π
A+=0, 即2cos6ππ7π
∵
又acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π∴sin C=1,C=
2πππ
∴B=π--.
326(2)∵m∥n,
∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C3a+c)=0, abc=
sin Asin Bsin C则化简得a2+c2-b23ac,
a2+c2-b235π
∴cos B=,∵0
→→→
例3 (1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A、B、C三点共线,当k
当2B-30°=90°,即B=60°时,函数取最大值2.
思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决.
(1)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(3,-1),n
=(cos A,sin A).若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为( ) ππA. 63
ππ 362ππB.36ππ33
(2)△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若m∥n,则角B的大小为________.
5π答案 (1)C (2) 6
解析 (1)由m⊥n得m·n=0, 即3cos A-sin A=0,
πA+=0, 即2cos6ππ7π∵
πππ∴A+=,即A623
又acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A
=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C,
π∴sin C=1,C= 2
πππ∴B=π--. 326
(2)∵m∥n,
∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C3a+c)=0,
abc= sin Asin Bsin C
则化简得a2+c2-b23ac,
a2+c2-b235π∴cos B=,∵0
题型三 平面向量在解析几何中的应用
→→→例3 (1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A、B、C三点共线,当k
若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________.
→→(2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足OM·CM=0,
y则=________. x
答案 (1)2x+y-3=0 3
→→→解析 (1)∵AB=OB-OA=(4-k,-7),
→→→→→BC=OC-OB=(6,k-5),且AB∥BC,
∴(4-k)(k-5)+6×7=0,
解得k=-2或k=11.
当k
→→(2)∵OM·CM=0,∴OM⊥CM,
∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx, 由|2k|y,得k=,即=x1+k思维升华 向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值问题,在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用.
跟踪训练3 (2013·湖南改编)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为________.
答案 2+1
解析 方法一 ∵a,b是单位向量,∴|a|=|b|=1.
又a·b=0,∴a⊥b,∴|a+b|=2.
∴|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.
∴c2-2c·(a+b)+1=0.
∴2c·(a+b)=c2+1.
∴c2+1=2|c||a+b|cos θ(θ是c与a+b的夹角).
∴c2+1=22|c|cos θ≤22|c|.
∴c2-2|c|+1≤0. ∴2-1≤|c|≤2+1.
∴|c|2+1.
方法二 建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,且a与b是单
→→→位向量,∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y).
∴c-a-b=(x-1,y-1),
∵|
c-a-b|=1,
∴(x-1)2+(y-1)2=1,
即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.
而|c|x+y,
∴|c|的最大值为|OM|+1,
即|c|max2+
1.
三审图形抓特点
→→典例:如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD=xAB
→+yAC,则x=________,y=________.
审题路线图
图形由一副三角板构成
↓(注意一副三角板的特点)
令|AB|=1,|AC|=1
↓(一副三角板的两斜边等长)
|DE|=|BC|=2
↓(非等腰三角板的特点)
|BD|=|DE|sin 60°=236= 22
↓(注意∠ABD=45°+90°=135°)
→→AD在AB上的投影即为x
↓x=|AB|+|BD|cos 45°=1+
→→↓AD在AC上的投影即为y
↓y=|BD|·sin 45°=63222623=1+222
→→→→→解析 方法一 结合图形特点,设向量AB,AC为单位向量,由AD=xAB+yAC知,x,y分别
→→→为AD在AB,AC上的投影.又|BC|=|DE|=2,
6→→∴|BD|=|DE|·sin 60°=. 2
→→∴AD在AB上的投影
x=1+6623
cos 45°=1+×1, 2222
→→AD在AC上的投影ysin 45°=22
→→→→→→方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD,
→→→→∴AB+BD=xAB+yAC,
→→→∴BD=(x-1)AB+yAC.
→→→→→又AC⊥AB,∴BD·AB=(x-1)AB2.
→→→设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|=2.
又∠BED=60°,
6→→→∴|BD|=显然BD与AB的夹角为45°. 2
→→→∴由BD·AB=(x-1)AB2, 得61×cos 45°=(x-1)×12. 2
3+1. 2∴x3→→→同理,在BD=(x-1)AB+yAC两边取数量积可得y=. 2
答案 1+33 22
温馨提醒 突破本题的关键是,要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)
.根据图形的特点,利用向量分解的几何意义,求解方便快捷.方法二较方法一略显繁杂.
方法与技巧
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.
失误与防范
1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.
2.注意向量共线和两直线平行的关系.
3.利用向量解决解析几何中的平行与垂直,可有效解决因斜率不存在使问题漏解的情况.
A组 专项基础训练
(时间:45分钟)
1.(2014·福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内
→→→→任意一点,则OA+OB+OC+OD等于( )
→A.OM
→C.3OM
答案 D
解析 因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点,所以点M是AC和BD的中点,由平行
→→→→→→→→→→→四边形法则知OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM.
→→→→→2.平面四边形ABCD中,AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,则四边形ABCD是( )
A.矩形
C.正方形
答案 D
→→→→→→→→→→解析 AB+CD=0⇒AB=-CD=DC⇒四边形ABCD是平行四边形,(AB-AD)·AC=DB·AC→→=0⇒DB⊥AC,所以平行四边形ABCD是菱形.
→→→→23.在△ABC中,(BC+BA)·AC=|AC|,则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形
C.直角三角形
答案 C
→→→→2解析 由(BC+BA)·AC=|AC|,
→→→→得AC·(BC+BA-AC)=0,
→→→→→→即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0,
→→∴AC⊥BA,∴A=90°.
→→又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,
故△ABC一定是直角三角形.
→→4.已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA·PB=x2-6,则点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 B.梯形 D.菱形 →B.2OM →D.4OM
C.双曲线
答案 D D.抛物线
→→解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y),
→→∴PA·PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2-6,
∴y2=x.
π5.若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
→→M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且OM·ON=0(O为坐标原点),
则A等于( )
π777A. π C.π D. 61263
答案 B
π7解析 由题意知MA),N(,-A), 1212
→→π7又OM·ON=×π-A2=0, 1212
∴A=7 12
15→→6.已知在△ABC中,AB=a,AC=b,a·b
答案 150°
→→解析 ∵AB·AC
115又S△ABC=a||b|sin∠BAC=. 24
1∴sin∠BACBAC=150°. 2
7.已知|a|=2|b|,|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x-a·b=0有两相等实根,则向量a与b的夹角是________.
答案 2π3
解析 设向量a与b的夹角为θ,
由已知可得Δ=|a|2+4a·b=0,
即4|b|2+4·2|b|·|b|cos θ=0,
12π∴cos θ=-,又∵0≤θ≤π,∴θ=23
8.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点P(x,y)满足不等式0→→→→→→≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1,则z=OQ·OP的最大值为
________.
答案 3
→→→解析 ∵OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1),
→→→→∴OP·OM=x+y,OP·ON=y,
0≤x+y≤1,即在条件下,求z=2x+3y的最大值,由线性规划知识,当x=0,y=1时,0≤y≤1
zmax=3.
9.已知△ABC中,∠C是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
证明 建立如图所示的直角坐标系,
设A(a,0),则B(0,a),E(x,y).
a∵D是BC的中点,∴D(0,). 2
→→又∵AE=2EB,
即(x-a,y)=2(-x,a-y),
x-a=-2x,a2∴解得x=y. 33y=2a-2y,
aa→∵AD=(0,-(a,0)=(-a,), 22
→→a2OE=CE=(a), 33
a2a→→∴AD·CE=-a×a× 332
112+a2=0. 33
→→∴AD⊥CE,即AD⊥CE.
π3π10.已知A,B,C三点的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),其中α(). 22
→→(1)若|AC|=|BC|,求角α的值.
π→→(2)若AC·BC=-1,求tan(α+)的值. 4
→解 (1)∵AC=(cos α-3,sin α),
→BC=(cos α,sin α-3),
→∴|AC|=cos α-3+sinα =10-6cos α,
→|BC|=10-6sin α.
→→由|AC|=|BC|得sin α=cos α,
π3π5又α∈(,,∴α=π. 224
→→(2)由AC·BC=-1,
得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,
2π2∴sin α+cos α=,∴sin(α+=343
π3πα 22
3πππ7∴
π14故tan(α+=-. 47
B组 专项能力提升
(时间:20分钟)
x,x≥y,y,x≥y,11.(2014·浙江)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,y,x
则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
答案 D
解析 由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,故A,B错.当a,b夹角为锐角时,|a+b|>|a-b|,此时,|a+b|2>|a|2+|b|2;当a,b夹角为钝角时,|a+b||a|2+|b|2;当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D.
112.(2013·浙江)设△ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B=AB,且对于边AB上任一点P,4
→→→→恒有PB·PC≥P0B·P0C,则( )
A.∠ABC=90°
C.AB=AC
答案 D
解析 设BC中点为M, B.∠BAC=90° D.AC=BC
→→→→→→PB则PB·PC=+PC2-PB-PC2 22
1→→=PM2-2, 4
1→→→→同理P0B·P0C=P0M2-2, 4
→→→→∵PB·PC≥P0B·P0C恒成立,
→→∴|PM|≥|P0M|恒成立.
即P0M⊥AB,
1取AB的中点N,又P0B=AB, 4
则CN⊥AB,∴AC=BC.故选D.
→→→13.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),若∠ABC为锐角,则
实数m的取值范围是________.
311答案 (-,)∪(,+∞) 422
→→→解析 由已知得AB=OB-OA=(3,1),
→→→AC=OC-OA=(2-m,1-m).
→→若AB∥AC,则有3(1-m)=2-m,
1解得m=2
→→由题设知,BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m).
∵∠ABC为锐角,
→→∴BA·BC=3+3m+m>0,
3可得m>4
1→→由题意知,当m=AB∥AC. 2
311故当∠ABC为锐角时,实数m的取值范围是(-)∪(,+∞). 422
14.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,→→则|PA+3PB|的最小值为________.
答案 5
解析 方法一 以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图
所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x
.
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),
→→PA=(2,-x),PB=(1,a-x),
→→∴PA+3PB=(5,3a-4x),
→→|PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25,
→→∴|PA+3PB|的最小值为5.
→→方法二 设DP=xDC(0
→→∴PC=(1-x)DC,
→→→→→PA=DA-DP=DA-xDC,
→→→→1→PB=PC+CB=(1-x)DC. 2
→→5→→∴PA+3PB+(3-4x)DC, 2
25→5→→→→→|PA+3PB|2=2+2×(3-4x)DA·DC+(3-4x)2·DC2 42
→=25+(3-4x)2DC2≥25,
→→∴|PA+3PB|的最小值为5.
15.在△ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(2-sin A,cos A),若|m+n|=2.
(1)求内角A的大小;
(2)若b=2,且c=2a,求△ABC的面积.
π解 (1)|m+n|2=(cos A2-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+2(cos A-sin A)=4+4cos(4
A).
π∵4+A)=4, 4
π∴cos(+A)=0. 4
πππ∵A∈(0,π),∴+A=,A=. 424
(2)由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A,
π即a2=2)2+(2a)2-2×42×2acos, 4
解得a=42,∴c=8.
12∴S△ABC=42×8=16. 22