02-09 热应力计算
§2-9 热应力计算
● 当物体温度发生变化时，物体将由于膨胀而产生线应变αT ，其中
◎ α为材料的线膨胀系数；
◎ T 表示弹性体内任意点的温度改变值(从整个物体处于初始均匀温度状态算起) 。
☆ 在平面问题中，它是坐标x,y 及时间t 的函数。
● 如果物体各部分的热应变均匀且不受任何约束，则虽有变形却不会引起应力。
● 如果物体各部分的温度不均匀，或表面与其他物体相联系，即受到一定的约束，热变形不
能自由地进行，就将产生应力。
✧ 这种由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力”。
● 热应力问题与一般应力分析问题相比较，主要是应力-应变关系上稍有差别。
考虑热应力问题的应力-应变关系是：
{σ}=[D ]({ε}-{ε0})✧ 相当于有一个初应变。（图示）
其中负号是因为热应变对其它应变起抵消作用。 将(2-15)式代入即可写成：
{σ}=[D ]([B ]{δ}-{ε0})e
● 对于平面应力问题，其中
{ε0}=αT [11
0]T
（各个方向自由一致，厚度方向的应变不受限制，所以对应力没有作用。） ● 对于平面应变问题，其中
{ε0}=(1+μ) αT [11
0]T
（各个方向自由一致，厚度方向的应变受限制，在平面方向的反映为波桑效应。） ● 于是，如果考虑到热应力，弹性体内应力的虚功将为
⎰⎰{ε}[D ]([B ]{δ}-{ε0})tdxdy
1
*T e
({δ})(⎰⎰[B ][D ][B ]{δ}tdxdy -
*T T e
T [B ][D ]{ε0}tdxdy ⎰⎰
代替(2-27)式，应当是
{F }=
e
⎰⎰[B ][D ][B ]tdxdy {δ}-
T e
T [B ][D ]{ε0}tdxdy ⎰⎰
也就是
{F }+
e
T e
(2-65) [B ][D ]{ε}tdxdy =[k ]{δ}0⎰⎰
● 上式左边第二项是由于考虑温度变化而增添出来的，它在(2-65)式中是处于节点力的地
位，相当于考虑温度变化而施加于节点的一个假想的等效节点力，称为热载荷
{H }=
e
⎰⎰[B ][D ]αT {ε
t
}tdxdy ✧ 对于平面应力问题将(2-61)式代入得
{H }=
e
⎰⎰[B ][D ]αT [1
t
1
0]tdxdy T
将(2-17)式和平面应力弹性矩阵[D]代入上式，得
e
{H }=
E αt 2(1+μ) ∆
[b
i
c i b j c j b m c m
]⎰⎰Tdxdy
T
如果温度T 的分布函数为已知时，上式中的积分总可用数值积分求得。特别是当T 是的多项式时，则容易写出精确积分的表达式。对于Ｔ为线性分布时（在单元内常这样处理），则有
⎰⎰
Tdxdy =
13
(T i +T j +T m ) ∆其中T i 、T j 、T m 分别为节点i,j,m 处的温度。在此情况下，热应力的等效节点载荷列阵为
E α(T i +T j +T m ) t
6(1-μ)
{H }=
e
[b
i
c i b j c j b m c m
]
T
根据节点位移计算单元应力就有
{σ}=[D ][B ]{δ}-
e
E α(T i +T j +T m )
3(1-μ)
[1
1
0] (2-71)T
● （由(2-60)和（2-69）式，以平均温度代替随机温度） ✧ 对于平面应变问题
只要在平面应力问题的公式中用E /(1-μ) 代替E , μ/(1-μ) 代替μ以及(1+μ) α代
2
2
替α便可得到。经过这样的替换以后，等效节点热载荷的公式为
E α(T i +T j +T m ) t
6(1-2μ)
{H }=
e
[b
i
c i b j c j b m c m
]
T
应力的公式为
e
{σ}=[S ]{δ}-
E α(T i +T j +T m )
3(1-2μ)
[1
1
0] (2-73)
T
3