基于银行排队问题的数学模型及求解_覃志奎

基于银行排队问题的数学模型及求解

覃志奎

（河池民族中等专业学校，广西 河池 547000）

【摘 要】银行的排队问题是目前各银行系统普遍存在的突出问题，文章利用数学建模的方法，根据排队论的知识建立银行排队问题的数学模型，通过对这个数学模型的求解，分析银行排队问题的解决思路，为银行服务系统提供决策参考。

【关键词】银行；排队问题；顾客；泊松分布；等待时间；服务时间 【中图分类号】F830.33

【文献标识码】A

【文章编号】1008-1151(2008)03-0024-03

（一）引言

随着社会经济的发展，现代金融业已成为社会经济运行中必不可少的一部分，银行作为金融业的主体，已成为我们现代生活关系最密切的服务系统，银行业运作的效率越来越成为我们百姓关注的焦点。但是，目前去银行办事，大家最头疼的是排队问题。而各家银行为减少排队等候时间也是八仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理人员的责任考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有很好解决。实际上，银行的排队问题蕴涵了丰富的数学、运筹学、行为学、管理学等学科的知识理论，绝不是看上去的那么简单。一般地，银行的排队问题是由顾客数量，服务水平和服务窗口数量等因素综合决定，服务水平可通过银行内部管理实现，顾客多，要减少排队等候时间就要增加服务窗口，就要增加投入，而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一个平衡点，使三者达到最佳的平衡状态。

客的到达无关。

服从泊松分布要求满足4个条件：平稳性、无后效性、普通性、有限性。即：

①平稳性：在某一时间间隔内到达的顾客数概率只与这段时间的长度和顾客数有关；

②无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数是相互独立的；

③普通性：在同时间点上最多到达1个顾客，不存在同时到达2个以上顾客的情况；

④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限位顾客，不可能有无限个顾客到达。

可见，在银行的排队问题中，顾客流量可以说是满足泊松分布条件的，在实际系统模型中，一般都要假设顾客的到达是服从泊松分布的，实践证明：这种假设是有效的。

泊松分布函数为：

k

e-λ/ k! (λ为常数， k=0,1,2,… ) P{X = k} = λ

（二）银行排队问题分析

银行排队问题作为排队系统，其基本结构由输入过程（顾客流量）、服务时间（业务办理时间）、服务机构（服务窗口设置）和排队规则等四个部分构成。

1.顾客流量分析

顾客流量是指单位时间内到银行办理业务的顾客数。顾客到达的方式通常是一个一个到达的，当然也有成批到达的，但顾客的到达总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到达规律可以用概率来描述，即顾客的到达或到达时间间隔符合一定的概率分布，通常假设为相互独立且遵从同一概率分布的随机变量。常用的分布规律有：泊松分布、爱尔朗分布、等长分布等。在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的，服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，当顾客以泊松分布到达时，顾客在各个时刻到达的可能性相同并与其它顾

【收稿日期】2008-01-13

即在时间T内有k位顾客到达的概率为： P =（λT） e均到达速率。

2.服务时间

银行对顾客是一个一个进行服务的，且对每一个顾客的服务时间长短不一。将服务时间看作随机变量，那么它们是相互独立且遵循同一分布的。因此，顾客接受服务的时间规律往往也是通过概率分布描述的。常见的服务时间分布有定长分布、负指数分布和爱尔朗分布。一般来说，简单的排队系统的服务时间往往服从负指数分布。其分布函数为：

F（t）=1-e µ

- t k

-λT

/ k! ，

其中，λT是在时间T内顾客到达的平均顾客数，λ为平

t≥0

其中µ＞0为常数，代表单位时间内的平均服务率。则平均服务时间可表示为：1/µ 。

【作者简介】覃志奎（1970－），男，广西河池人，河池民族中等专业学校讲师，计算网络管理员技师，从事数学、计算机科学的教学与研究。

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3.服务机构

服务机构是指服务台的个数。其类型有：单服务台、多服务台；对银行排队系统来说，一般是属于多服务台并联。如图1示。

4.排队规则

银行的排队规则是一种“先到先服务（First-Come- First-Served,即FCFS）”的规则，即先到达的顾客，优先得到服务。对多台服务窗口的情况，通常顾客到达后总是排在最短的队列后面，所以我们可以认为每个服务台的队伍是趋于一样长的，目前，许多银行设立了排队机，这种情况也是一致的。为了说明问题，我们首先认为银行的排队是一种无损等待制，即顾客到达后服务窗口无空闲时就进入队列排队，并没从系统中流失，队列没有无故损失。

行计算，得出模型中重要变量的计算表达式，对模型的定量研究提供依据。

首先讨论C＝1时的情况，此时模型变为M|M|1，即模型表示只有一个服务窗口的情况，此时ρ =λ/µ,当ρ

由以上分析并利用概率统计知识我们得到如下表达式： （1）处在系统中的平均顾客数(平均队长)Ls 为：

∞

∞

n

Ls=∑nPn=

n=1

ρ

1−ρ

=

λµ−λ

ρ

（2）处在队列中等待的平均顾客数(平均队列长)Lq )

1−ρ

（3）顾客在系统中平均逗留时间Ts和在队列中的平均

n=1

Lq=∑(n−1)Pn=Ls−ρ=ρLs

(Ls=

（三）建立银行排队问题的数学模型

数学模型就是把实际问题中各因素及其之间的关系用数学形式表示出来，将银行排队问题建立数学模型就是把排队问题中的各个变量符号化，并对问题的基本结构模型化。从前面的分析知，银行的排队问题的基本数学模型可表示为M|M|C模型。

M|M|C模型表示输入过程（顾客到达）为泊松输入、服务时间服从负指数分布、共有C个服务窗口的排队系统模型。该模型的主要数量指标用符号可表示为：

等待时间Tq分别为：

Ts==sTq=Ts−=q

µ−λλµλ

其次，当C≥2时，我们设每个服务窗口的平均服务率相同，即都是µ，此时整个系统的平均服务率为Cµ，则服务强度ρ ＝ λ / Cµ. 当ρ

此时，模型的性能指标如下： （1）平均队列长Lq 为:

（3）顾客在系统中平均逗留时间Ts ： Ts=

1L

1

L

Ls：表示系统中的顾客数，包括排队等候的和正在接受

服务的所有顾客（也称为平均队长）；

Lq：表示系统中排队等候的顾客数（称为平均队列长） Tq：表示顾客在系统中的平均等待时间(即平均排队等待

时间)；

⎡C−11⎛λ⎞k1⎛λ⎞CCµ⎤P0=⎢∑⎜⎜⎟⎟+C!⎜⎜µ⎟⎟Cµ−λ.

k=0k!⎝µ⎠⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎧1⎛λ⎞n

⎜n≤C,⎪⎟P0,⎜µ

⎟!n⎪⎠⎝

Pn=⎨n

⎛λ⎞⎪1

⎪C!Cn−C⎜⎟P0,n>C.⎜µ⎟

⎠⎝⎩

−1

Ts ： 表示顾客在系统中的平均逗留时间(包括等待时间

和服务时间)；

λ ：表示顾客的平均到达率（称为顾客到达速率）； µ ：表示系统的平均服务率（即服务台的平均服务速

率）；

ρ ：表示服务强度,其值为有效的平均到达率λ与平均服

务率µ 之比, 即ρ =λ/µ。

说明：

前四项主要性能指标(又称主要工作指标)的值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。

(Cρ)C

Lq=∑(n−C)Pn=ρP0.2

−C!(1ρ)n=C+1

∞

（2）平均队长Ls为: Ls = Lq + Cρ .

（四）模型的求解

数学模型求解就是利用数学方法对模型中的各个变量进

Ls

λ

25

（4）顾客在队列中平均等待时间Tq ： = Tq

Lq

λ

可见，该营业厅如果设两个服务窗口，平均约有17人排队等候，排队等待时间约37分钟，排队问题较为严重!

当C=3时，可得：ρ＝ λ / 3µ =0.475/3*0.25=0.6333

根据以上各表达式知，只要知道系统中顾客的平均到达我们就可以计算出系统中顾客的平速率λ和平均服务速率µ ，

均逗留时间和顾客排队的平均等待时间，从而可根据实际情况设置窗口数量，提高服务质量，做出相应的决策，使银行服务系统达到最佳的平衡状态。

P0=0.1278；Lq=0.6618(人)； Ls=2.5618(人)； Tq=1.3933(分); Ts=5.3933(分)。

当C=4时，ρ＝ λ / 4µ =0.475/4*0.25=0.4750

（五）实际采样数据检验模型并决策银行排队问题

系统模型的检验就是利用实际采样的具体数据对系统进行模拟，并对模型是否符合实际问题进行分析，明确系统的实用性，从而对实际问题做出定性分析。

我在本地的某银行营业厅进行观察，并采样了数据，得数据样本如下表：

数据样本 (批次)

1 2 3 4 5

6 7 8 4 3 7

9 104

4

116

125

P0=0.1453； Lq=0.1360(人)； Ls=2.0360(人)；Tq=0.2863(分); Ts=4.2863(分)。

可见，设三个服务窗口，排队人数接近1人，等候时间不到两分钟，不存在长排队现象；设四个服务窗口，减少排队人数0.6618－0.1360=0.5258(人)，考虑投入成本，开四个服务窗是不合算的。因此，该银行服务厅开设三个窗是最为合理的。

目前该服务厅开设的服务窗口为三个，不存在排队问题，实际情况与上述模型得到的结论是一致的。

到达人数

5 8 3 6 2

（人/10分钟）可得该营业厅的平均到达率是：λ＝0.475 （人/分钟）。 通过一段时间的数据采样及统计，计算均值得到该营业，即µ = 厅的每个窗口的平均服务率是：µ＝15（人/每小时）0.25(人/分钟)。

下面我们暂不说该服务厅目前设立的窗口有多少个，我们根据前面得到的模型进行模拟：分别假设服务窗口为1、2、3、4个时的排队情况进行计算。

当C=1时，即只有开一个窗口，这时ρ＝ λ / µ =0.475/0.25=1.9>1，可见系统不会平衡，排队的人会越来越多，排队等候的时间也越来越多，按每天8小时工作制算，会有108人无法办理业务。

当C=2时，ρ＝ λ / 2µ =0.475/2*0.25=0.95

1.服务窗空闲概率为：

⎡11⎛0.475⎞k1⎛0.475⎞2⎤2*0.25P0=⎢∑+⎜⎟⎜⎟⎥⎢⎣k=0k!⎝0.25⎠2!⎝0.25⎠2*0.25−0.475⎥⎦

（六）结束语

通过对以上基于银行排队问题的M|M|C模型的实际应用，我们认为该模型解决银行排队问题是有效的，它可为银行服务窗口的设置提供决策支持。当然在实际应用过程中还涉及成本投入、顾客流失等情况，对于顾客的流失问题，行为科学家发现，排队时间是影响客户流失的一条主要原因。研究结果表明，等候超过10分钟，情绪开始急躁，流失20%至30%的客户；超过20分钟，情绪表现厌烦；若超过40分钟，常因恼火而离去。行为学家的这一研究成果在建设银行的一项调查中得到了验证。因此，在考虑解决排队问题的同时，要充分考虑投入成本及顾客的流失两个因素，使之得到更好的服务效率和经济效益。

以上模型以概率理论为基础，通过数学建模，利用排队论的知识对银行排队问题进行研究，在分析银行的排队问题特征的基础上，建立了基于银行排队问题的M|M|C模型，并

−1

=[1+1.9+36.1]=0.0256

−1

用实例加以模拟，从而对银行服务窗口设置方面提供了决策依据，研究的结果具有一定的普遍性和实用性、同时也具有一定的经济、社会价值。

【参考文献】

[1] 林闯.计算机网络和计算机系统的性能评价[M].北京:清华

大学出版社,2001.4.

[2] 孟玉珂.排队论基础及应用.上海:同济大学出版社[M].1989.10.

2.平均排队人数：

(Cρ)C(2*0.95)2

Lq=ρP=*0.95*0.0256=17.5590≈17(人);0

C!(1−ρ)2!(1−0.95) 3.总人数为：Ls = Lq + Cρ =17.5590+2*0.95=19.4590≈19 (人)；

4.排队等待时间为：

Ts=

Tq=

Lq

λ

＝

17.55900.475

＝36.9663（分）

[3] 唐应辉.排队论(基础与应用)[M].成都:电子科技大学出版

社,2000.5.

[4] 盛友招.排队论及其在计算机通信中的应用[M].北京邮电

大学出版社,1998.9.

5.平均逗留时间为：

Ls

19.4590=

0.475

=40.9663(分）

λ

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