导数典型例题(含答案)

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导数典型例题

导数作为考试内容的考查力度逐年增大. 考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点. 并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点.

一、与导数概念有关的问题

【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2) „(x -100) 在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=lim

f (0+∆x ) -f (0)

∆x (∆x -1)(∆x -2) (∆-100) -0

x →0

∆x

=

∆lim

∆x →0

∆x

=lim (Δx -1)(Δx -2) „(Δx -100)=（-1）（-2）„（-100）=100！ ∴选D.

∆x →0

解法二 设f (x )=a 101x 101+ a100x 100+„+ a1x +a 0，则f ＇(0)= a1，而a 1=（-1）（-2）„（-100）=100！. ∴选D.

点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限. 解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解.

【例2】 已知函数f (x )=c 0

1

1n +c n x +

2c 221k k 1n n

n x + +k c n x + +n

c n x ，n ∈N *，则 lim

f (2+2∆x ) -f (2-∆x )

∆x →0

∆x 解 ∵

lim

f (2+2∆x ) -f (2-∆x )

=2x →0

∆x

lim

f (2+2∆x ) -f (2)

+

∆∆x →0

2∆x

) ]-f (2)

-lim

f [2+(-∆x ∆x →0

-∆x

=2f ＇(2)+ f＇(2)=3 f＇(2)，

又∵f ＇(x )=c 1

+c 2+c k k -1n n -1n n x + n x + +c n x ，

∴f ＇(2)=

12（2c 122+ +2k c k n n

11n +2c n n + +2c n n ）=2[(1+2)-1]= 2

(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如

0-m ∆x ) -f (x 0) ，且其定义形式可以是

f (x 0-m ∆x ) -f (x 0)

-lim

f (x ∆x →0

-m ∆x

lim

∆x →0

-m ∆x

，也可以是

lim

f (x ) -f (x 0) 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关

∆x →0

x -x （令Δx =x -x 0

知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖.

【例3】 如圆的半径以2 cm/s的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .

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解 ∵S =πR 2，而R =R (t ) ，R 2

t '=2 cm/s，∴S t '=(π

R ) 't =2πR ·R 't =4πR ，

∴S t '/R =10=4πR/R =10=40π cm 2/s.

点评 R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的（R 是中间变量），此题易出现“∵S =πR 2，S ＇=2πR ，S ＇/R =10=20π cm 2/s”的错误. 本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率，它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.

二、与曲线的切线有关的问题

【例4】 以正弦曲线y =sinx 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是

A. ⎢⎡0,

π⎤∪⎡3π⎢⎤⎡π⎤⎡π3π⎣4⎦⎣4, π⎥⎦ B. [0, π] C. ⎡π3π⎢⎤

⎣4, 4⎥⎦ D. ⎢⎤

⎣0, 4⎥⎦∪⎢⎣2, 4⎦

解 设过曲线y =sinx 上点P 的切线斜率角为α，由题意知，tan α=y ＇=cosx . ∵cos x ∈[-1，1]， ∴tan α∈[-1，1]，又α∈[0, π)，∴α∈⎡π⎢⎣0, ⎤4⎡3π⎤

⎦

∪⎢⎣4

, π⎥⎦

.

故选A.

点评 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f ＇(x 0) 表示曲线，y =f (x ) 在点（x 0，f (x 0) ）处的切线斜率，即k =tanα(α为切线的倾斜角) ，这就是导数的几何意义. 本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.

【例5】 曲线y =x 3-ax 2的切线通过点（0，1），且过点（0，1）的切线有两条，求实数a 的值.

解 ∵点（0，1）不在曲线上，∴可设切点为（m , m 3-am 2）. 而y ＇=3x 2-2ax ， ∴k 切=3m 3-2am ，则切线方程为y =(3m 3-2am ) x -2m 3-am 2. ∵切线过（0，1），∴2m 3

-am 2

+1=0.(*)

设（*）式左边为f (m ) ，∴f (m )=0，由过（0，1）点的切线有2条，可知f (m )=0有两个实数解，其等价于“f (m ) 有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ≠0”.

由f (m )=2m 3-am 2+1，得f ＇(m )= 6m 3-am 2=2m (3m -a ) ，令f ＇(m )=0，得m =0，m =a

3

， ∴a ≠0，f (0)·f (

a 13)=0，即a ≠0，-27

a 3+1=0，∴a =3.

点评 本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化. 三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0，且极小值小于0”. 另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.

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三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题

【例6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是

A. ①、② B. ①、③ C. ③、④ D. ①、④

解 由题意知导函数的图像是抛物线. 导函数的值大于0，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选C.

点评 f ＇(x )>0（或

【例7】函数y =f (x ) 定义在区间（-3，7）上，其导函数如图所示，则函数y =f (x ) 在区间（-3，7）上极小值的个数是 个.

解 如图，A 、O 、B 、C 、E 这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O 点、C 点是极小值点，故在区间（-3，7）上函数y =f (x ) 的极小值个数是2个.

点评 导数f ＇(x )=0的点不一定是函数y =f (x ) 的极值点，如使f ＇(x )=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，

其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点. 本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.

【例8】 设函数f (x ) 与数列{a n }满足关系：①a 1>α，其中α是方程f (x )=x 的实数根；②a n+1=f (a n ) ，n ∈N *；③f (x ) 的导数f ＇(x ) ∈（0，1）.

（1）证明：a n >α，n ∈N *；

（2）判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论. （1）证明：（数学归纳法）

当n =1时，由题意知a 1>α，∴原式成立. 假设当n =k 时，a k >α，成立. ∵f ＇(x )>0，∴f (x ) 是单调递增函数.

∴a k+1= f(a k )> f(α)=α，（∵α是方程f (x )= x的实数根）

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即当n =k +1时，原式成立.

故对于任意自然数N *，原式均成立.

（2）解：g (x )=x -f (x ), x ≥α，∴g ＇(x )=1-f ＇(x ) ，又∵00. ∴g ＇(x ) 在

[α, +∞)上是单调递增函数.

而g ＇(α)=α-f (α)=0，∴g ＇(x )>g (α) (x >α) ，即x >f (x ). 又由（1）知，a n >α，∴a n >f (a n )=a n+1.

点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归纳法，令人耳目一新.

四、与不等式有关的问题

【例9】 设x ≥0，比较A =xe -

x ，B =lg(1+x ) ，C =

x +x

的大小.

解 令f (x )=C -B=

x 1) 2+x

-lg(1+x ) ，则f ＇(x )=

(+x -2(1+x ) +x

>0，

∴f (x ) 为

[0, +∞)上的增函数，∴f (x ) ≥f (0)=0，∴C ≥B .

令g (x )=B -A =lg(1+x ) -xe -x

，则当x ≥0时，g ＇(x )=1-e -x (1-x 2)

1+x

≥0，

∴g (x ) 为[0, +∞)上的增函数，∴g (x ) ≥g (0)=0，∴B ≥A .

因此，C ≥B ≥A （x =0时等号成立）.

点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f (a )=φ(a ) ，要证明当x >a 时，有f (a )=φ(a ) ，则只要设辅助函数F (x )= f(a )-φ(a ) ，然后证明F (x ) 在x >a 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次，2004年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点. 五、与实际应用问题有关的问题

【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a -x ) 和x 2的乘积成正比；②当x =a

2

时，y =a 3. 并且技术改造投入比率：

x

2(a -x )

∈(0, t ], 其中t 为常数，且t ∈(0, 2].

（1）求y =f (x ) 的解析式及定义域；

（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值. 解：（1）由已知，设y =f (x )=k (a -x ) x 2，

∵当x =a 2时，y = a，即a 3

=k ·a a 232·4

，∴k =8，则f (x )=8-(a -x ) x 2.

∵0

2(a -x )

≤t ，解得0

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（2）∵f ＇(x )= -24x 2

+16ax =x (-24x +16a ) ，令f ＇(x )=0，则x =0（舍去），x =2a

3

，

当0

3时，f ＇(x )>0，此时f (x ) 在（0，3）上单调递增；

当x >2a 3时，f ＇(x )

∴当2at 2t +1≥2a 2a 323时，即1≤t ≤2时，y max =f (3)=

27

a 3

；

2at 2a 2at 32a 3t 2

当2t +1

3

. 综上，当1≤t ≤2时，投入

2a 3万元，最大增加值是3227a 3，当0

2t +1

万

32a 3t 2

元，最大增加值是(2t +1) 3

.

点评 f ＇(x 0)=0，只是函数f (x ) 在x 0处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数f (x ) 确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f (x ) 在定义区间内部又只有一个使f ＇(x 0)=0的点x 0，那么就不必判断x 0是否为极值点，取什么极值，可断定f (x 0) 就是所求的最大或最小值.

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