演绎推理(教案)上课用

新授课:2.1.2 演绎推理

教学目标

重点: 了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 难点: 掌握演绎推理的基本方法.

知识点:理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理. 能力点:通过典型例子,让学生亲身体验演绎推理的实施步骤与必要性.

教育点:通过大量的实例,体会一般到特殊的探究路程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情,培养学生的

归纳概括能力.

自主探究点:如何发现推理过程中的错误. 考试点:用三段论解决问题.

易错易混点:演绎推理和合情推理的联系与区别. 拓展点:引导学生总结“三段论”的基本思想.

一、引入新课

(一)复习回顾:合情推理

1.归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.

2.一般过程:从具体问题出发------观察、分析、比较、联想------归纳、类比------提出猜想. 3.合情推理的结论不一定成立. (二)创设情境:

歌德是18世纪德国的一位著名的文艺大师.有一位与其文艺思想相左的文艺批评家,生性古怪,态度傲慢.—天,歌德与他“狭路相逢”,不期而遇.这位文艺批评家见歌德迎面走来,不仅没有有礼貌地打招呼,反而目中无人,高傲地往前直走,并卖弄聪明地大声说:“我从来不给傻子让路!”面对这十分尴尬的情景,歌德镇定自若、笑容可掬,谦恭地闪避一旁,并机智而礼貌地答道:“呵呵,我可恰恰相反.”故作聪明的文艺批评家顿时怔然,讨了个没趣,只得默然离去.

在这故事里,无论是文艺批评家还是歌德,各自都只说了一句,而且话语非常简练,极为深刻,话中有理,语中有刺.他们的对话,体现了演绎推理的三段论法.

【设计意图】通过已学知识的回顾,进一步认识归纳推理和类比推理这两种合情推理的基本方法.通过一个有趣的小故事,激发了学生的学习热情,提高了学生的发散思维能力;同时又让学生初步感知演绎推理,体会到学习数学的实用性,使学生保持良好的、积极的情感体验.学生会觉得有趣,增加对逻辑推理的兴趣,对学好逻辑推理是有帮助的.

二、探究新知

在日常生活和数学学习中,我们还经常以某些一般的判断为前提,得出一些个别的、具体的判断.例如:

(1)所有的金属都能够导电,铀是金属,所以铀能够导电;

(2)太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,天王星是太阳系的行星,因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运

行;

(3)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除; (4)三角函数都是周期函数,tanα是三角函数,所以tanα是周期函数;

(5)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180.

探究一:演绎推理的概念.

观察上述例子,它们的推理有什么特点?有什么样的推理形式?

1.演绎推理的概念:上面的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.演绎推理是由一般到特殊的推理.

【设计意图】通过大量的例子让学生明确每一个例子的推理特点,从中概括出演绎推理的推理过程,得出演绎推理的含义,结合具体例子体会演绎推理是由一般到特殊的推理;把问题留给学生去解决,充分调动学生的学习积极性.

探究二:演绎推理的一般模式.

观察上述例子,它们都由几部分组成,各部分有什么特点?

上面列举的演绎推理的例子都有三段,称为三段论.第一段是已知的一般性原理,称为“大前提”,如“所有金属都能够导电”;第二段是所研究的特殊情况,称为“小前提”,如“铀是金属”;第三段是对特殊情况作出的判断,称为“结论”,如“铀能够导电”. 2.三段论是演绎推理的一般模式:

(1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

问题1:请同学们分别指出例子中的三段论.

问题2:小故事中的演绎推理的三段论分别是什么? 文艺批评家推理的三段论:

大前提 我从来不给傻子让路!

小前提 (你歌德是傻子——省略).

结 论 (我不给你让路——行动表明,省略). 歌德推理的三段论:

大前提 我可恰恰相反(即我只给傻子让路). 小前提 (你文艺批评家是傻子——省略). 结 论 (我给你让路——行动表明,省略).

虽然歌德和文艺批评家都只讲了大前提,但由于是当面对话,且辅有一定动作,所以小前提和结论都省略了.但“听话听声,锣鼓听音”,谁都能准确无误地理解对方的意思.

其实在推理过程中,有很多地方都要用到这种方式即:“三段论”. 其模式可表述为: 大前提:M是P. 小前提:S是M.

结 论:S是P.

应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提.但为了叙述简洁,如果大前提显然,则可以省略.

【设计意图】回扣引入,前后呼应,交代清楚三段论的形式特点. 探究三:演绎推理的正确性.

分析下列推理是否正确,说明为什么?

(1)自然数是整数, (2)整数是自然数,

3是自然数, 3是整数,

3是整数. (正确) -3是自然数. (大前提错误) (3)自然数是整数, (4)自然数是整数,

-3是自然数, -3是整数,

-3是整数. (小前提错误) -3是自然数. (推理形式错误)

3.演绎推理的正确性:演绎推理中只要前提和推理形式正确,结论必定正确.当大前提、小前提、推理形式

三者有一个错误时,结论就有可能错误.

【设计意图】通过学生自主探究,进一步理解和掌握演绎推理概念的内涵和外延,培养学生归纳、概括、拓展、提出问题和解决问题的能力,使学生对知识的掌握上升一个更高的层次.

三、理解新知

1.演绎推理的概念:上面的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称

为演绎推理(又称为逻辑推理).演绎推理是由一般到特殊的推理. 2.三段论是演绎推理的一般模式: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:

若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.4.演绎推理的正确性:演绎推理中只要前提和推理形式正确,结论必定正确.

演绎推理错误的主要原因是:(1）大前提不成立;（2）小前提不符合大前提的条件.在课堂上要让学

生领悟到解答演绎推理题时的方法技巧.在演绎推理题中,前提与结论之间有必然性的联系,结论不能超出前提所界定的范围.

5.三段论的三个组成部分有时是可以省略的,不必严格写出,注意把握分寸. 6.合情推理与演绎推理的区别与联系:

从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个体到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理.

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待于进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.

人们在认识世界的过程中,需要通过观察、实验等获取经验;也需要辨别它们的真伪,或将积累的知识加工、整理,使之条理化,系统化,合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色.就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会证明,也要学会猜想.

【设计意图】加深对演绎推理定义的理解,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.

四、运用新知

例1 把“函数y=x+x+1的图像是一条抛物线”恢复成三段论.

解:二次函数的图象是一条抛物线„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 函数y=x+x+1是二次函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 所以,函数y=x+x+1的图像是一条抛物线„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 【设计意图】用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.

2

2

2

变式训练:

因为指数函数y=ax是增函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 而y=()是指数函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 所以y=()是增函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 上面的推理形式正确吗?推理的结论正确吗?为什么?

答案:上述的推理形式是正确的,但大前提是错误的.这是因为指数函数y=ax(0

【设计意图】演绎推理只有在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论才一定正确.

例2 如图所示,在锐角三角形ABC中,

EAD⊥BC,BE⊥AC,

1

2

x

12

x

D,E是垂足.

求证:AB的中点M到D,E的距离相等.

A

M

B

证明 :(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90︒,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 所以△ABC是直角三角形. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论同理, △ABC也是直角三角形.

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, „„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 而M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线, „„„„„„„„„„„„„„„„小前提

1

AB. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论 21

同理,EM=AB.

2

所以,DM=EM.

所以DM=

【设计意图】本例是学生熟悉的证明题,设置的目的是挖掘其中所包含的推理思路,使学生明确演绎推理的基本过程,突出演绎推理中的“大前提”“小前提”和“结论”.针对许多学生不十分清楚证明的逻辑规则,在表述过程中杂乱无章的现象,通过本例的教学,希望有所改善. 变式训练: A 如图,空间四边形ABCD中,点E、F分别是

AB、AD的中点.求证:EF∥平面BCD. F

证明:连接E、F,B、D,

BD

因为点E、F分别是AB、AD的中点,所以EF∥BD. 又EF⊄平面BCD,BD⊄平面BCD, 所以EF∥平面BCD. C

【设计意图】事实上,许多学生能写出证明过程但不一定非常清楚证明的逻辑规则,先让学生自己写出证明过程,再标明相应的大前提、小前提和结论.另外,对什么时候省略大前提也要有个交待,避免不必要的繁琐.

例3 证明函数f(x)=-x+2x在(-∞,1)内是增函数.

证明:满足对于任意x1，x2∈D,若x1

2

„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提

22

任取x1，x2∈(-∞,1),且x1

=(x2-x1)(x2+x1-2)

x10;x1,x2

∴f(x1)-f(x2)

所以函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)内是增函数. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 结论 思考: 例3还有其他的证明方法吗?(导数法)

变式训练:用三段论证明:f(x)=x3+x(x∈R)为奇函数.

证明:如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则函数是奇函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„大前提 f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x)(x∈R)„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„小前提 ∴f(x)是奇函数„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„结论

【设计意图】使学生学会利用演绎推理的三段论来解决问题,进一步巩固用三段论证明的方法,提高理解、运用知识的能力．

五、课堂小结

(一)知识:

1.演绎推理的概念及特点;

2.三段论是演绎推理的一般模式,包括: (1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况;

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. 3.演绎推理的正确性;

4.合情推理与演绎推理的区别与联系. (二)思想方法:一般到特殊的思想方法.

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对演绎推理概念相关知识的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.

六、布置作业

必做题:

1.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,是因为 ( )

A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

2.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线

a⊄平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 3.用三段论的形式写出下列演绎推理:

(1)若两角是对顶角,则此两角相等, 所以若∠1≠∠2,则此两角不是对顶角; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;

(3)0.332是有理数.

4.用三段论证明:在梯形ABCD中,AD∥BC ,AB=DC,则∠B=∠C. 答案: 1.B 2.A

3.(1)若两角是对顶角则两角相等(大前提), ∠1和∠2不相等(小前提), ∠1和∠2不是对顶角(结论).

(2)每一个矩形的对角线相等(大前提),

正方形是矩形(小前提), 正方形的对角线相等(结论). (3)所有的循环小数都是有理数(大前提),

0.332是循环小数(小前提), 0.332是有理数(结论).

4.证明:作DE//AB交BC于点E,

因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, 又因为AD∥BE,AB∥DE, AD

所以四边形ABED是平行四边形. 因为平行四边形对边相等,

又因为ABED是平行四边形,

B E

C所以AB=DE.

因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等, 又因为AB=DE,AB=DC, 所以DE=DC.

因为等腰三角形两底角是相等的, 又因为△DEC等腰三角形, 所以∠DEC=∠C.

因为平行线的同位角相等,

又因为∠DEC与∠B是平行线AB和DE的同位角, 所以∠DEC=∠B.

因为等于同角的两个角是相等的, 又因为∠DEC=∠C,∠DEC=∠B, 所以∠B=∠C. 选做题:

设a>0,b>0,a+b=1,求证: 1a+1

b

≥4. 证明:

1a+1b=a+ba+a+bb =1+baa+1+b

=2+(baa+

b

)

≥2+=4

当且仅当a=b=从而,

1

时取等号. 2

11

+≥4. ab

【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用演绎推理解决简单的数学证明问题;并注意巩固三段论的步骤. 选做题用三段论论证不等关系时,首先要找到论证不等关系的一般性原理(如基本不等式等),这是大前提,然后利用三段论进行推理.

七、教后反思

1.本教案的亮点是:

(1)从小故事出发,调动学生学习的积极性,让学生初步感受演绎推理的过程;另外探究新知中从问题入手,

引导学生思考探究,在得到演绎推理相关概念的同时又与合情推理做了对比,这样学生的理解和记忆将会更深刻,既突出了重点又突破了难点.

(2)例题设置难易适度,每个例题后有针对性的变式训练,便于学生巩固和掌握.另外题型涉及到用演绎推理的概念、一般模式去求解问题,培养学生分析问题和解决问题的能力.

2.本教案的弱项是:用演绎推理的一般模式---三段论解决问题时耗时,不好把握课堂的进度,可以先引导学生自己写出证明过程,再标明暗含的一般性原理.

八、板书设计